Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 38
Текст из файла (страница 38)
ности распределения. К таким случаям относится случай линейной возвращающей силы, когда справедливо равенство (47]. Вследствие бес.соссечного числа выбросов в данном случае нельзя говорить о средних аелячннзх, например о средней длительности одного выброса (т). Однако можно подсчитать среднюю длп. тельность выбросов, рассчятзнную на единицу времени, Величины и(0) и (с) порознь не имеют смысла, однако их гроизведение есть вполне определенная величина л (0) (с) = ~ и (0) ю (с) сссс = ппс (11.66) Онч описывает ту долю времени, в течение которого имеетсн за. бвос (отношение суммарноь длительности выбросов к полному времени).
При помощи (62) и (28] выражение (68) можно записать и(0)(с) = ~и(с)асс=~ " л) 1! (1 !.69] Р !ло о Согласно (67) последнее соотношение есть не что иное, как равен- ство л (0) (с) = л (0) ~ . ] (!!.70) совершенно естественное для обычных нормированных п.потностей распределения. Прн помоши (67) можно вычислять также более высокие моментьс для длительности выбросов. При этом можно поль- 294 удовлетворяюшей услонню О(0) =1 Вместо нее можно рассматривать комбинацисо и(0](О(и] — !], сохранявшую и в данном случае полный смысл. В самом деле, умвожая (62] на есзю — 1 и интегрируя от О до со по частям, получаем ив и (0) (тл) = — ~ — а и (0) ]О (и) — !]~ .
(11.71) Подсчитаем, н;агнец, долю времеви, приводпшегося на выбросы с длительностью меньше ть По определенн|о она равна 7выб (* < Н) (о) «) пвп о Подставлян сюда (62) и интегрируя по частям, находим ч увыб (т < т~) г =1 « —;«,). пвв о (11.72) В частности, когда т, значительно меньше прочих постоянных вре- мени системы, согласно (б1) имеем Твыб( <т) / К 2 (11.73) Таким збрззоы, толя времени, приходяшегося на короткие выбросы, мала несмотря на бесконечное число таких выбросов Аналогичное соотношение справедливо и для интервалов между выбросами. 4. Связь распределения выбросов по длительности с корреляционной функцией ограниченного процесса Статистические свойства выбросов тесно связаны со свойствами случайного процесса т)((), который равен 1, когда вьаврос есть (х(() > Ь), и нулю, когда его нет (х(() < Ь).
Этот процесс, представляющий собой послеl довательность импульсов, длительность которых совпадает с длительностью выбросов,,может быть получен в результате безынерционного нелинейного преобразования исходного процесса и(() = й(х(т) — Ь) (й(г)=1 при г>0, б(г)=0 при а<0). (11.74) Ьты будем его называть ограниченным процессом. 295 зоваться обычными формулами, выражаюшнми моменты через характерист|пескую функцию, но следить за тем, чтобы моменты во всех формулах были в сочетфнин с сомножителем п(0), а характерн.
стическая функция выступала бы в комбинации л(0)(0(и) — 1]. Тзк для в-го момента будем иметь формулу Когда х(!) есть процесс Маркова, то, как можно заключить из определения такого процесса, длительность выброса или интервала статистически не зависит от длительности соседних выбросов или интервалов. Поэтому длительности импульсов и интервалов в ограниченном процессе — независимые случайные величины. Такой импульсный процесс был рассмотрен в равд.
5, в 6, где была найдена его спектральная плотность. Применяя формулу (6.130) или (6.13!), можно установить связь между корреляционной функцией й (т) ограниченного процесса и распределением по длительности выбросов и интервалов, которое описывается функциями Вь 8, или ьь иь Учитывая тождество (! -0,) (! — 0,) 1 1 1 — 0,0,, 1 1 — 0, ! — 0, ) — — +— (11.76) Если использовать (67) и учесть, что для точного процесса Маркова л(0) = , то из (76) будем иметь рЬ ~ — — „", р~ = — ~ + ~ . (11.77) и принимая во внимание, что (р + и) ' совпадает со средним полным числом выбросов (или интервалов) и(0) = (,) (11.75) записываем (6.130) в форме — — 1= — ~ ~И ') ! ( 1 р 1 п (О) (! — О, !!р)) + ! 1 1 1-з и(0) [1 — 0~(ги)) и(0) ( Вопрос о корректности использования формулы (6.130) для бесконечного значения и(0) затрагивается в равд.
5. Найденную связь между функциями А,, пь и, можно использовать. чтобы определить одну из этих функций, если известны две другие. В том частном случае, когда уровень 5 располагается симметрично и и!(т) =из(т) =п(т), формула (77) дает и'й 1 1— рЬ~ — — ~, р~ = —,п(р), 290 откуда сИ (~) — 2 = и(т), (11 78) Корреляционную функцию ?гз(т), входящую в полученные формулы, обычно можно считать известной.
В самом деле, можно воспользоваться, в частности, формулои (4.65) и получить (11.?9) В том случае, когда исходный процесс является гауссовым, целесообразно пользоваться другой формулой. Подставляя разложение (3.14) в очевидное равенство й (т) =) ) [та(х, х,) — те(л) та(х,)) с!хЫх, ь « и производя интегрирование, имеем ?з (,) — ~)~~[ф!л!( " )~* ~' о=! (П.80) Следовательно, или ь ~Из ! Ф (11.82) (В случае процесса Маркова нужно полагать тс=е ~', однако формула (82) справедлива не только для марковского процесса.) Пользуясь вторично формулой (3.14), находим отсюда нл — ~ =Дз'та(Ь, Ь), (11.81) П р и м е р 1. При Ь = О, используя (78), (82) и подставляя 77=е ~, получаем 1 и (х) = — — = (езм — 1), (11.83) что совпадает с (53). Пример 2, Пусть Ь>)а.
В области малых значеси 1 — й ний т, где 1 — )г — —, выражения 1 — Й' и —— а2 1+ й г — й можно заменить на 2 (1 — )г') и, соответственно. 2 При этом формула (82), которую можно записать в виде а ~-я гИ, ! Л 2 ' Г~-ь' — ' = = амтв, (Ь) — е ' ', (11.84) Йт 1 ~г. ~/) кз перейдет в равенство На. Они И) гг — — 3! — Р) е ит'г р1 — к (11.85) Послсднему соответствует соотношение А (т) = — тв, (Ь) ег1с (,~, У1 — И) . (11.86) Применяя формулу (2.31) из [ПЦ, находим выражение И 1 о"-Зр Р1.~ — °, Р~=-а,(Ь) о ~ч .~л+ р.,~ — тво (Ь) 2 у'О -т ярк (11.88) которое вместе с выражением (41), определяющим л,(р) прп )а = 5Ь, и аналогичным выражением, определявшим лр(р) при (а = — ()Ь, действительно, удовлетворяет равенству (77). 266 В частности для процесса Маркова в указанной области можно полагать 1 — Й= — 1 — е "=~~, поэтому нз (85) имеем и, ~ /з — '= — — атв,,(Ь)~ — е "' .
(11.87) 5. Выбросы сглаженного процесса Ввиду того, что точные процессы Марксва не реализуются на практике, представляет интерес, как полученные ранее результаты относятся к выбросам сглаженного процесса. Пусть сглаживание производится по фор- муле у (Ь) = [ 6(Ь вЂ” Ь') л (Ь') И', (11.89) причем функция веса 6(т) удовлетворяет требованиям ) 6(т) г(»=1, (11.90) 6 (т) > О, (11.91) 6(т)=0 при [т[>т„„ (11.92) «„л- [6«)[ [ (т).
Примером такой весовой функции может служить функ- ция — при [т[.(-.„„ т 1 6 (т) — Ь~гл 0 при [т[>-.гл. При экспонепциальной функции ! — е 'гл при т >О. гл 0 при т(0 6 (т) = условие (92) можно считать практически выполняющимся, начиная, скажем, с 3-.;л (6 ~») = 0 при т > тг, = = 3»,',). Нетрудно показать, что описанная операция сглаживания не может уничтожить выброс пли интервал, если их длительность превышает 2т„л. Такие выбросы или интервалы мы будем называть «длинчыми». В самом деле, в силу (89), (90), (92) имеем у ( Ь) — Ь = [ 6 ( Ь вЂ” ('~ [х ( Ь') — Ь] гй' = ге г гл 6(т — — Ь') [х(Ь') — Ь[ И'. гл — [ Твль (т < 2 „«) + Т„ц~ («< 2«~~)] ~ ъ/ д = 2«а0 (Ь) ~l тг Когда т„, достаточно мало, эта доля мала и поэтому статистика длинных выбросов и интервалов мало изменится, даже если все время, приходящееся на короткие выбросы и интервалы, отойдет к длинным выбросам или интервалам.
3) Сглаживание может, наконец, объединить соседние «длинные» выбросы (интервалы), не разделенные «длинными» интервалами (выбросами), в один. Этот эффект могкно исследовать, пренебрегая первыми двумя эффектами и исключая из рассмотрения «короткие» выбросы и интервалы. В результате получаем следующее выражение; л, (2~„,) л, (р) ль (2«гл) + л1 ( л) (11.93) для функции л~(т), характеризующей выбросы сглаженного процесса, Здесь л, (т) — соответствующая функция для несглаженного процесса. Аналогичное выражение имеет место и для интервалов.
Из (93) следует, что для «„„<<т отличием л,(т) от п,(т) можно пренебречь, Таким образом, сглаживание с постоянной времени т„, практически не влияет на распределение выбросов 3оо Но последний интеграл больше нуля вследствие (91), если х((') — Ь>О на отрезке ( — т„, <('<(+тлл Поэтому сглаженный процесс у(() заведомо дает выброс в середине «длинного» выброса несглаженного процесса. То же самое относится и к интервалам. Операция сглаживания может повлиять на «длинные» выбросы и интервалы (т>2т„,„) лишь следующим образом; 1) Она может изменить длительность выброса (или интервала) на величину, не превышающую 2«„,. Если длительность т много больше 2«„„то этот эффект несуществен.
2) Она может составить «длинный» выброс (интервал) из «коротких» выбросов и интервалов. Однако доля суммарного времени, приходящегося на «короткие» выбросы и интервалы, согласно (73) при малом т„, равна цесса. Всякий реальный случайный процесс можно характеризовать постоянной времени т„„указывающей длительность тех временных интервалов Л1( т„„ на которых процесс плавно меняется. Как следует из вышеизложенного, реальный процесс можно заменить на процесс Маркова, когда время т,, значительно меньше других постоянных времени, например т„,р, характеризующих случайный процесс.
В некоторых случаях, однако, время имеет тот же порядок, что и т,,р. Это имеет место, когда спектральная плотность флюктуаций быстро исчезает с увеличением частоты, например при или Между тем такими функциями довольно часто аппроксимнруют спектральную плотность в радиотехнике. Поэтому случай плавных флюктуаций представляет большой практический интерес. Теоретическое исследование выбросов плавных флюктуаций связано со значительными трудностями ввиду зого, что в этом случае имеют место корреляции всевозможных порядков.
Для упрощения задачи здесь будет использова~ о предположение, что пороговый уровень является высоким. Как отмечалось на стр. 279, обычно счетные. устройства работают в таком режиме, что уровень срабатывания значительно превосходит средний флюктуационный разброс б — (х) )) о(х), так что флюктуационные помехи не вносят чрезмерно больших искажений в оаботу прибора. Это оправдывает указанное предположение.
1. Распределение выбросов гладких флюктуаций по длительности Общее среднее число выбросов гладкого флюктуациоцного процесса было найдено ранее в равд. 1, 9 10. Поэтому для определения числа выбросов заданной длительности остается, в сущности, вычислить плотность распределения по длительности. 302 Для плавно меняющегося овлюктуационного процесса можно записать разложение Тейлора Х(л) — «(ло) + « (лО) (л ло) + (12.1) + ~ Х("о) (л ло) + Этот ряд очень быстро сходится при Ь вЂ” Ьо((о„, (при(г — г В близительно как ряд по степеням отношения о) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
