Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 33
Текст из файла (страница 33)
При численном определении спектральной плотности можно пользоваться таблицами для гамма-функции, учитывая, что ( ' 2) ) 1 '11~+ 2) или использовать разложение о-о Для улучшения сходимости последнее целесообразно пре- образовать к виду В (и, — ) = —, + 2!и 2— ! х 1 ьт Х (2а — 1)п 1 — (а 2ьа! а(!г+ а) о-1 (9.136) 256 и, следовательно, согласно (132) Б (Р(о) — (Р), а! = — о' ~ йеВ( 2 (о)хС, 2). (9.135) 4 С /1. 11 йеВ(!з, — ) =2(п2 — за ~ „" . (9.136) 2 ! гйагг) ге()га 1 аа) ' а=! Подставляя (136) в (136), будем иметь 4 ~с~ 1 1 1 3 1 2 1+~Ф + 2.4 2(4+як) + — '[- 1 3.5 1 + 2 ° 4 б 3(9+на) ''')) (з = ю,'27). Приведенная спектральная плотность флюктуаций тока г'=г'(о) изображена графически на рис.
9.6. Согласно (101) выходное напряжение т) получается из Р(о) линейным преобразованием. По обычным пра- (9.137) вилам, используя (!35), получаем спектральную интенсивность флюктуаций на выходе Ь [т) — (т), ю] = ! !оэС+ I +-,'~ '3[Р() — (В), [= яс ИаС +1 ~ г-и!гт /1. 11 '(2 ~)~С' Ц' (9'133) Рнс 9.5. Спектральная плотность флюктуацкй тока ) = гт(о).
Чтобы найти дисперсию !)т), нужно согласно (2.15) проинтегрировать последнее выражение по частоте Пт) —,, а [ йеВ[ 2 2! як+1 о =(3 — — [ аа ж 0,363оа. 21 б) Когда время корреляции 1/7 шума отличается от ЙС, приходится решать двумерное уравнение Фоккера— зак. Зг! 257 Т [дал)+ да [[ЛС+ С ( )[ )+ ' деа + у д8 [(та) + п1 д - + 21а' д де —— О, (9.139) где 1 а — ' "1' —— ааС Решение ищем в форме еа(о, а)= ~ч.", Т„„У (о)Х„(а). (9.140) Здесь Х (а) = Р'"з " — ) 1 а $ и а т' Й! [ а ) (9.141) — собственные функции уравнения (4.68), для которыя справедливы соотношения Х 'й+ Х а ль1 "1Хл = — а [)' иХл, + у' и + 1Х,а) [. (9.142) Собственные функции У„(о) удовлетворяют уравне- нию та д„а + дп $рС+ С г'(о)[ гт[+Лтгт=О.
(9.143) Подставляя (140) в (139) и учитывая (142), (143), имеем Х ~'тТт пМтХп т Х пТт п('лтХл— т,л — па,~'"„Т „): ' [УиХл,+т'й+1Х„.„]+ т,л + 21а .~'.[ Т~,„)л 'у' и+ 1Хла,. (9.144) т,п 258 Планка (105). Для этого можно применять методы, аналогичные изложенным в п. 11, 9 4. Будем искать стационарное распределение, удовлетворяющее уравнению Производные )Та'(о) разложим по собственным функциям )га' — — ~~Р, У а где ио аяь а — — ~ У„Уа —,„ о После этого из (144) получим уравнения ()щ +,и) Т „= (27 — а) о~/и ,'~~ а зТ„„,— (9.145) — аз ~ги+ 1 ~ а, „Та „4„(9.146) 2аа + аз (21 — а) аг ~ ~Ьщ,а 1 2 Ьа, ггг,е+ гз..., (9.147) а,! (т + 0), гке обозначено 1 Ч~1ащ,у ау,а Ьщ,а — 1 ! Использование равенства (147) путем многократной подстановки всего выражения в его правую часть позволяет выразить козффициенты Тщо через Тян Тщ, з — — а (27 — а) ч'Ьщ, а Тщз+ '~ю ЗЛз+ 27 + гз (27 — г)за4 ~'„Ьщ, з 1 2 Ьзггп+ Н...
(9.148) а.т (т ~ 0). 17ч которые можно решать различными методами. Задавшись определенной точностью, можно рассматривать лишь некоторое число низших коэффициентов разложения Т,„,полагая высшие коэффициенты равными нулю. Тогда (146) даст конечную систему линейных уравнений,которые позволяют определить Т „.
При другом способе решения можно применить метод последовательных приближений, рассматривая е как малый пара~метр, и получать решение в форме разложения по степеням этого параметра. Комбинируя уравнения, полученные из (146) при и = О, и 1 и л = 2, находим Тщ з —— — а (27 — з) аз ~я~~~ Ьщ аТгьа+ Чтобы определить другис коэффициенты Тт, ь следует обрати1ься к уравнениям (146) и использовать следующий метод последовательныт приближений. Обозначая через Тт «нулевое приблн<о< жение Тт д Тт «+ <о) из (14б) имеем ато 1 — — (2т — з) с 1 + Тт, (9.149) Т з=(2< — т)е з +2 ~<ать<тм —— <о< .
М 2 %ч <о< т+ т т' 2 Г~ ат, «аде =- (21 з)вез 1 2 р< «Тоь т+ т за «+т Нулевое приближение используется для отыскания первого приближении Т д, отлича|ощегося от Т,д членами порядка «1 <Н <С< (2т — з) е Чьт <К 2 чт <О< Т.<= Т.<+ ) + ~~а.,«Ты- с« +,Р„ат,«Т т 7) ««о Т з=(2т — з)а 1 +2 ~~ат«Т«< — та« 2 Х 01, т' 2 Чьт <,1 з'3 + т лыаа ' + Х ~~Г~ ат, «Тд<з) (9.150) Описанным способом можно найти Т, д с любой степенью точности по в. Разумеется, чем более высокий порядок по е принимается во внимание, тем более громоздкими становятся вычисления.
Все коэффициенты Т,„в разложении (140) оказываются пропорциональнымй первому коэффициенту Тем который определяется из условия нормировки. При интегрировании (140) по о и $ все члены выпадают в силу (4.54), кроме первого. Поэтому ) е (ч<, 1) <ЬЖ = Т„= 1 (9.151) Для упрощения вычислений целесообразно использовать отмеченное на стр. 25! — 254 предположение, что функция г" (о), равная нулю при п(0, быстро возрастает при положительных значениях о)0. Точнее, пусть внут- о = — — (ч (о) + ~.
1 С (9.153) Соответствующее уравнение Фоккера — Планка имеет ста- ционарное распределение ( 9= 1 Р( — „р ) Р( )4 ), (9.194( 1 о которое устанавливается через некоторое время, превосходящее малую постоянную времени тт(С. Для области о(0 в уравнениях (104), (105) функцию Р(о) можно заменить на функцию Оприо. 0; з ) О. (9.155) Бесконечное значение при о)О говорит о том, что изображающая точка, подойдя к границе о=О, сразу же отражается обратно. Реально отражение происходит через время порядка /7(С, что значительно меньше постоянных времени )тС, 1/у, характеризующих процесс при о(0. После замены г" (о) на (155) уравнению (143) соответствуют собственные функции (4.70) (о(0) 2т и собственные значения Х„= —.. Согласно (145), используя формулу — — ре, (2199 — 1)11(2а+ 1)н 2~ (~) 4 ~22-(1 (~) е (/а ( 1) 2т 22244 — 1 0 261 реннее сопротивление диода в открытом состоянии Я(= = [дг/до)-( удовлетворяет условиям а«л; ас« — „'.
(9.152) Тогда при рассмотрении области о ) 0 в первом уравнении (104) можно пренебречь членами ЛС' ( 1 1 — — по сравнению с — 2"-(о) и пользоваться ИС) С уравнением в данном случае имеем а, „' ' . (9.157) ( — 1)т-ь 2 (2т — 1)П (2й + 1)П чу 2яфС т'"(2т)1(2Ь)! 2т — 2Ф вЂ” 1 Вычислив Т,„при помощи уравнения (146) с той илн иной точностью, мы будем иметь в силу (140) совместную стационарную плотность распределения входного и выходного сигналов Ь(ть 1)=Г (о, ()1...= = ~ Т,„)г (Б — ч)Х„(Е), (9.158) где функции $', Х„определяются формулами (141), (156).
При помощи подобных разложений можно исследовать также переходные процессы и двумерные плотности распределения, соответствующие различным момента м времени. ГЛАВА 3 ВЫБРОСЫ СЛУЧАЙНОИ ФУНКЦИИ И ВОЗДЕИСТВИЕ ШУМА НА ЭЛЕКТРОННОЕ РЕЛЕ Нелинейные преобразования случайной функции могут быть весьма различны. Входной сигнал, состоящий обычно из полезного сигнала и шума, подается на разнообразные радиотехнические устройства, осуществляющяе нелинейные преобразования. Некоторые преобразования имеют малую нелинейность, другие, напротив, являются типично нелинейными.
К последним относятся те системы, реакция которых меняется скачком в зависимости от величины входного сигнала. В качестве примера можно указать различные виды реле, которые имеют разрывную нелинейную характеристику. Теоретический анализ подобных систем в общем виде затруднителен. Отдельные группы нелинейных систем могут быть исследованы частными методами, имеющи|ми, однако, ограниченную область применения. В настоящей главе будут изложены некоторые аналитические методы, которые пригодны для анализа нелинейных устройств релейного типа, реагирующнх на достижение входным сигналоч х(Г) определенного фиксированного уровня Ь. Мы будем говорить, что в момент времени 1 имеет место «выброс» функции х(1), если переменная х(1).
в указа~нный момент достигла порогового уровня Ь и превысила его. Системы релейного типа осуществляют иногда подсчет выбросов. Это делается, когда требуется узнать число поступивших на вход импульсов, каждый из которых дает самостоятельный выброс. Наличие шумов во входном сигнале наряду с полезными ичпульсами может привести к появлению ложного выброса — чисто флюк- туационного, не обусловленного полезным импульсом, но дающего срабатывание реле («ложное срабатывание»). И напротив, полезныи импульс, вследствие наложения шумов, может оказаться пропущенным. Таким образом, наличие флюктуационных помех вносит ошибку в число подсчитанных импульсов. Практика ставит перед теорией задачу найти величину указанной ошибки.
Теоретическая задача часто осложняется тем, что реле обычно не может реагировать на каждый выброс и подсчитать точное число выбросов. Если выбросы следуют очень быстро один за другим, то некоторые ~из иих окажутся пропущенными вследствие недостаточной разрешающей способности прибора. Даже одиночный выброс может быть пропущен, если он очень кратковременный или маломопзный, Указанное обстоятельство требует теоретического подсчета не точного числа выбросов, а более детального выяснения их качеств, требует знания распределения выбросов по длительности или по мошности.
Из вышесказанного видно, что теория работы нелинейных систем релейного типа при наличии флюктуацпй тесно соприкасается с задачей исследования выбросов случайной функции и их свойств, Результаты исследования выбросов случайной функции могут оказаться полезными также и для многих других случаев, например, для задач, связанных с прочностью или усталостью материалов, и т. д. й 1О. СРЕДНЕЕ ЧИСЛО ВЫБРОСОВ СЛУЧАИНОН ФУНКЦИИ 1. Число выбросов плавно меняющегося случайного процесса Пусть задан случайный процесс х(1), удовлетворяющ~ий определенным условиям плавности, смысл которых будет ясен из дальнейшего.
Вследствие этих условий на достаточно малом интервале времени 1(Н(1+И график такой функции будет близок к прямой х(1') =х(1) + +х(1) (1' — 1). Поэтому точки пересечения функцией х(1) заданного уровня х = Ь не могут лежать близко друг к другу. На указанном выше интервале возможно не более одного пересечения, ЕБ1 Подсчитаем среднее число выбросов, начало которых попадает на интервал от 1 до 1+Лй Пусть Р, — вероятность того, что будет один такой, выброс, а Ре —,вероятность того, что не будет ни одного выброса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
