Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Если а (А)((1, то и мало отличается от постоянного напряжения Чо, имеющего место при отсутствии входного напряжения Полагая А=О в (25), имеем апое" = а%о. (9.26) Пользуясь разложениями 1,(аА)=1+ — (аА)'+ 4 (аА)'+ .. хев=х,е"'+(1+х,) е '(х — х,) [-(х — х,)'.. и учитывая (26), из (25) получаем — аА. (9.27) Следовательно, при малых значениях.аА( 0,1 на пряжение на нагрузке детектора, обусловленное наличием входного сигнала, пропорционально квадрату огибающей. Вообще при малых амплитудах на входе имеет место квадратичное детектирование независимо от вида характеристики Г(0'), Это связано с тем, что выходной сигнал является четной функцией от А (он не зависит от фазы входного сигнала и не меняется при сдвиге фазы на 180', т.
е. при замене А на — А). В разложении посте- пеням А, которое содержит, следовательно, лишь четные степени, при малых А существен лишь первый квадратичный член. Больший практический интерес представляет случай больших значений А%о и аА, когда (9.28) аЖ„(,(аА) )> 1. При этом коэффициент воспроизведения — „велик — по'о рядка единицы. Условие (28) позволяет решать уравнение (25) мето. дом последовательных приближений.
Записав его в виде х+ 1пх:=-а, (х=ао]; г=!п !аИо1о(аА)]), определяем последовательные приближения хо=- — !пх„„(а=1, 2, ...), т. е. х,=а, хо=я — 1па, 1а о хо = я — !п (а — !п а) = а — !п а +— о Ограничиваясь вторым приближением, имеем 1 ай1ото (оА! 1= — 1П ! 1 дч 1 (оА)] (9.29) Воспользуемся найденным выражением, чтобы определить коэффициенты аь ао разложения (8.42) относительно среднего значения а~мплитуды с = (А): и=а,+ а,(А — (А))+ а,(А — (А))'. Отождествляя выписанные члены с первыми членами разложения функции (29) в ряд Тейлора, имеем ао — — — (г,— !па,); а,=(1 — — ) о, о — д Юо а, = а —, + а (1 — — ) (! — — „— б') 2ЗЗ Если производить увеличение параметра а(А), то а, -~ со; Ь -~ 1 (9.31) Прн произвольной характеристике Р(о) детектирование тем ближе к идеальному, чем круче нарастает функция Р(Р) по сравнению с УЯ, т.
е. чем увереннее выполняется неравенство (9.32) 2. Метод малой нелинейности Другие методы анализа инерционных нелинейных преобразований изложим применительно к тому частному случаю, когда характеристика нелинейного элемента является экспоненциальной функцией: Р(Ь')=),е" . (9.33) Здесь )м а — постоянные, о которых шла речь выше )стр. 231).
Для указаннои характеристики уравнение (!) принимает вид 1 1о а'-ах ч+ с')= с е' (9.34) Удобно ввести новую переменную х= е'", (9.35) для которой получим уравнение ЙСх + х1п х =- а)„)се" . (9. 36) Характер флюктуационного процесса, описываемого последним уравнением, определяется величиной пара- и в соответствии с (30) коэффициент а1 будет приближаться к единице, а аэ — уменьшаться до нуля. При этом преобразование сигнала детекторным каскадом будет приближаться к идеальному детектированию, т. е. точному воспроизведению огибающей: в=а,'+А, (а,'=а,— (А)).
метра а1,)г, а также отношением времени корреляции т„р функции $(1) к постоянной времени 1сС, Большая нли малая величина указанных параметров а(чЯ, т„,рЯС позволяет применять частные аснмптотические методы анализа флюктуационного процесса. Так, условие ~„,р )> РС обеспечивает применимость квазистатического метода. Напротив, малая величина отношения т„,р ЯС служит основанием для применения стохастических методов и использования уравнения Фоккера — Планка.
Однако оба эти метода непригодны, когда т„,р — )тС. Это заставляет обратиться к другому методу, основанием для которого служат условие, наложенное на другой параметр, а именно на а(чР. Откладывая на время точную формулировку этого условия, перейдем к изложению самого метода, который назовем методом малой нелинейлости. Он характеризуется тем, что отыскиваются последовательные приближения. Нулевое приближение хз(1) определяем как решение уравнения )тСх, + хо1п х„= п),)с(е'), (9.37) получаемого путем усреднения уравнения (36).
Полагая $(1) стационарной случайной функцией, мы интересуемся стационарным процессом, начавшимся в отдаленном прошлом При этом установится стационарное значение хм для которого из (37) получаем уравнение хо 1и хо = п)о)с (е ) . (9.38) Среднее (е'~) есть частное значение характеристической функции (ем') при и= — (а. Когда 1(Г) есть гауссов процесс с нулевым средним значением, имеем (е'") =е ', (е') =е' (9.39) н уравнение (38) принимает вид и' ' х,!и х, = а),гсе Используя выражение (35), получаем следующее уравнение: а' '-' ч„е""= 1,)се ' .
(9.40) 1 для л, = — 1и х„ и (9.41) 235 Рассмотрим отклонение (9.4й) х х хо ЙСз+ (хо+ з) 1п (ха+ а) — ха 1п хо = = а(о(тг (е"' — (е") ). (9.43) Если функцию х!пх разложить в ряд Тейлора х!пх= х !пх, + (1п х, +1) н+ .(- — з — — й т г 1 в 2ха бхаг (9.44) то отсюда будем иметь ттСа+ (!пха+ 1) з= п(отгс 2 + б в ' ' °, (9 45) где ь = е" ' — (е') . (9.46) Выведенное уравнение содержит нелинейные члены —,„, — ~,,р+ . — У(~о+ ) — Х(~о) — Х (хо) (7'(х) = х! и х). (9.47) Излагаемый метод основан на предположении, что эти нелинейные члены оказывают сравнительно небольшое влияние, и в первом приближении имн можно пренебречь. Поэтому из (45) получаем уравнение первого при- ближения гтСа~ + (!и ха + 1) з, = а(огчгь, (9.48) Чтобы пояснить, как строятся высшие приближения, введем гспомогательный малый параметр а.
Представим решение в форме разложения и = х, + свг + гвх„ + ... (9.49) и снабдим малым параметром нелинейные члены. Записав (4б) в виде а ег гтСх + (1и х + 1) х = ав Ж вЂ” —. хг + — хв..., а — а ° йх„ ахов для которого получим сначала дифференциальное уравнение. Вычитая (37) из (36), находим подставляя (49) н приравнивая члены одинакового порядка по е, находим уравнения для высших приближений я,в вяз + (1и хс + 1) «з ж —— 2хо (9.50) Когда разложение в ряд Тейлора (47) проводить нецелесообразно (или оно вообще ие существует), всю линейную часть (47) в уравнении (45) можно умножить на малый параметр, В этой разновидности метода в уравнении для г, в правой части будет стоять вся нелинейная функция Г(хо+ х,) -Лхо) -у'(хо) ло После выяснения схемы построения приближений малый парзметр можно упраэднигь, положив его равным единице. В правые части уравнений (48), (50) входят только известные функции или уже найденные ранее низшие приближения.
Относительно неизвестных функций укаэанные уравнения линейны и без особого труда может быть получено их решение. Так, стационарное решение уравнения (48) имеет вид ' ®= с ~ ехр ~ ЛС И вЂ” й')1~((')гйй' (9.51) По определению (46) функция 9(() имеет нулевое среднее значение, поэтому (я,) =0. (9.52) Чтобы найти дисперсию или корреляционную функцию первого приближения аг(г), вычислим сначала корреляционную фуницию процесса ~(г) в предположении, что й(() есть стационарная гауссова функция с нулевым средним значением и корреляционной функцией Й(т) = = оз)т(т).
Вследствие (46) имеем (Е,)=(е +") — (е")'. (9.53) 237 Входящее сюда среднее значение (е ч а") выражается через двумерную характеристическую функцию Вя(и„ия). Воспользовавшись для нее известной формулой (8.102), а также учитывая (39), получаем ((К,)=е'" (е' ~~') — 11. (9.54) Теперь приступим к вычислению корреляционной функции (г,а„), которая согласно (51) равна (я,аы)= ~ —,) ) ) е ~' ' ~"+' "(Г,(1,)1(8э))И,Ж, ( 1и хо-~-1 ) Сделав замену переменных а=1 — 1,— т; а= й + 1~ 2 (9. 55) последний интеграл можно записать )м 2 2 Отсюда после вычисления интеграла по а будем иметь Полагая, в частности, ~=-0, находим дисперсию ( с ) р Хе ~ (~(.) г(. (9.57) о Если использовать (54), то получим (Ихой)а аь' ! ( ( ач% са =,„„+1Е ДС, ~~ Е о (9.58) Более точные результаты могут быть получены путем подстановки (51) в правую часть (50) и вычисления высших приближений.
Статистические характеристики выходного напряжения т1=1п(ха+а)~а теперь могут быть получены при помощи разложения этого выражения в ряд Тейлора (9 59) н подстановки в него ряда (49). Если ограничиться результатами первого приближения (51), (56), (57), то будем иметь (9.60) ((Ч Че) (тм т)а)) = я я (г1ггт) ° 1 В частности, (9.61) Здесь правые части определяются формулами (56)— (58).
гз 10.;+1)г]»( — 2, ( 2хз или ] а ] ~( 2хо (1и хо+ 1), (9.62) где в качесгве г можно взять первое приближение (51). Согласно !Ла), (40) величина х«(1пх«+ 1) мало отличается от а'а' а'м ха1п х„= аг,)2е «а!о)2е «(!) (9.63) ]так как а(Г) - еа' в силу (54)]. С другой стороны, используя (51), можно получить оценку а!е ЛС С 1пх„+ 1 ~' (9.64) где анан неравенства относится к тому случаю, когда функция ь(!) быстро меняетси, имея постоянную времени «ар ~ 1пхс ' 1 В противном случае при «ар - )гС величина г1 определяется в основном множителем е Р(г г 1 стояшим в (5!) под знаком интеграла, и в соотношении (64) слеаует брать зиак — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
