Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Других возможностей не имеется. Очевидно, что среднее число выбросов, начинаю1цпхся на выбранном интервале, совпадает с Рь Мы считаем известной двумерную плот. ность в(х, х) совместного распределения координаты х(1) и ее производной х(1). Выражение йР = — еи (х (1 ), ) ~(10.1) х(1)) ЛхЛх с и 'а1 г(Р=ита(х, х)хЛИх, (х=Ь), (10.2) Отсюда получаем, с одной стороны, полную вероятность пересечения указанного отрезка Р, = ЛЬ ) ти (Ь, х) хЫх е (10.3) 265 Рис.
10.1. Начало выброса в течение опРеделЯет веРоЯт- интервала 101+ Д11. ность того, что кривая х(1) (близкая к прямой) пересечет вертикальный отрезок АВ, имеющий длину Лх (рис. 1О.1), и при этом производная будет лежать в диапазоне от х(1) до х(1) +Лх, Рассмотрим теперь вероятность пересечения не вертикального отрезка АВ, а горизонтального АС длиной Лй Если производная х(1) зафиксирована, то пересечение горизонтального отрезка длины Л( эквивалентно пересечению вертикального отрезка длины Лх=хЛЛ Поэтому вероятность пересечений отрезка АС(1(1'(Г+Л(, х= Ь) с производной в пределах от х до х+Лх равна н, с другой стороны, плотность распределения для производней в момент начала выброса тв„(х)= ' при х) О, (10.4) ) в(ь, х)хнх о тв„(х) = 0 при х ( О.
Вероятность (3), как указывалось, совпадает со срединам числом начальных точек выбросов, попавших на интервал (>, Ь+ЛЬ), т. е. со средним числом выбросов, начавшихся в течение этого интервала. Поделив Р, на М, мы получим среднюю плотность выбросов (плотность их начальных моментов) и (Г) = ) те (Ь, х) хс(х . (10.5) о Для стационарного случайного процесса х(г) последняя плотность не зависит от времени и совпадает со средним числом выбросов, приходящихся на единицу времени. В случае нестационарного случайного процесса х(Ь) для получения полного числа выбросов на отрезке от Гь до Г1 следует взять интеграл ) пе(1)Ж.
В дальней- и шем ограничимся случаем стационарных случайных функций. Конкретизируем полученные формулы для случая нормального стационарного случайного процесса с нулевым средним значением и с корреляционной функцией (хх,) =оЧ~(т). Вследствие четности корреляционной функции корреляция между координатой и ее производной в один н тот же момент времени отсутствует: (хх) = ~ — (хх,) ~ = О. (10,6) Для нормальных случайных процессов из условия некоррелированности х, х вытекает их статистическая независимость, поэгому ю(х, х) распадается на произведение одномерных функций распределения и формулы (4), (5) приобретают впд те„(х) = ( ) = . тв(х) х, (х ) 0), (10.7) (~х1) 1 ю (х) хайек йбб и„= — 2(~х!).
ы (ь) Используя обычные выражения для гауссовой плотности вероятности (3.6) и учитывая, что (х) = О, а(х) = а~/ — )с" (0), получаем так(х) = —, е ""~ (х >О), (10.8) Гизд (с)1 и, = — 'е ", где Я,= — ~ — ~ . (10.9) 2к ,~~а Мы видим, что распределение производных в момент начала выброса описывается законом Релея. Указанное в начале условие плавности функции х(1) было использовано, когда мы предполагали ее дифференцнруемой и на малом интервале близкой к прямой, Это условие связано с дифференцируемостью корреляционной функции (хх,) в нуле и с конечностью ее второй производной. 2. Среднее число серий выбросов для процессов Маркова Во всех реальных случаях, имеющих место в радиофизике, процесс х(Г) заведомо удовлетворяет условиям плавности изменения, о которых шла речь выше.
В самом деле, желательные или нежелательные емкости и индуктивности схемы осуществляют сглаживание электрического сигнала хотя бы с малой постоянной времени сглаживания т„,. Спектр сигнала быстро спадает до нуля при частотах, превосходящих частоту га, — 1/т„„, которую можно назвать верхней частотой среза (см. равд. 2 и 12 5 4). В тех случаях, когда постоянная времени сглаживания достаточно мала, а именно меньше других существенных посгоянных времени, удобно не вводить явно в рассмотрение времени сглаживания, заменяя реальный процесс на близкий к нему несглаженный процесс.
Примерами таких несглаженных процессов являются процессы без последействня, или процессы Маркова, которые, являясь удобными абстракциями, в некоторых отношениях проще сглаженных (аналитических) случайных 267 процессов, Однако, как отмечалось в э 4, процессы Маркова являются недифференцируемыми в каждой точке, поэтому рассмотрение, проведенное в предыдущем разделе, к ним неприменимо. Кривая процесса Маркова имеет бесконечную производную, которая беспрестанно меняет знак; она хаоти. ческим образом колеблется вверх и вниз с неограниченной частотой.
Если кривая,в момент времени 1 пересе кает уровень б, то в очень близкие моменты имеется бесконечное число других пересечений, Среднее число выбросов поэтому бесконечно. Возьмем для примера экспоненциально коррелированный процесс х(1), над которым произведена операция сглаживания (4.280) с постоянной времени т„,. Согласно формуле (4.284) сглаженный процесс у(1) имеет коэффициент корреляции Я (т) — „(х) О). Применяя формулу (9), находим среднее число выбро- сов сглаженного процесса Здесь Отсюда видно, что при уменьшении времени сглаживания число выбросов неограниченно увеличивается. Несмотря на неограниченно большое число точек пересечения для точного процесса Маркова, время от времени выпадают конечные не равные нулю интервалы между точками пересечения, т. е.
имеют место выбросы конечной длительности. Зтл подтверждается сказанным в 5 11. Отсюда следует, что точки пересечения располагаются сериями, каждая из которых содержит бесконечное число точек, но имеет конечнуюдлительность. Траектория процесса Маркова вследствие своей изрезанности не может дать одиночного пересечения, а дает сразу целую серию бесконечного числа пересечений. При сглаживании процесса число пересечений в каждой серии становится конечным и уменьшается с ростом т„х. Хотя 268 число пересечений в каждой серии очень сильно зависит от времени сглаживания, число серий и их расположение от него мало зависят. Серия сохранится после сглаживания, если хотя один выброс в ней по длительности прсвосходит т„,. Подробнее связь выбросов процесса,Маркова и сглаженного процесса рассматривается в равд.
5, 9 11. Поскольку выбросы каждой серии следуют быстро один за другим и могут быть не различены счетным устройством, в некоторых случаях представляет интерес подсчет не полного числа выбросов, а именно частоты следования их серий. Этим мы и займемся в настоящем разделе. Разделение последовательности выбросов на серии приобретает определенный смысл лишь тогда„ когда серии имеют большую скважность, т. е. когда средний интервал между сериями значительно' превосходит среднюю длительность серии Т,: Т„» Т,, (10.10) Это получается тогда, когда пороговый уровень Ь лежит в той области, в которой координата х(1) бывает редко, т. е.
там, где вероятность ш„ (Ь) относительно мала, Поскольку в той области, где вероятность ш„ (х) велика, можно сделать оценку 1 ш„(х) — — л (10,11) то указанное условие, которое в известном смысле эквивалентно неравенству (10), можно записать тв„(Ь) (( (10.12) Более точное условие применимости всего сказанного будет указано в дальнейшем.
Пусть процесс Маркова, для которого будем вычислять среднее число серий выбросов, описывается урав- нением (Е) =О, (ЕЕ,) =КЕ(т). (10.14) 269 х=у(х)+Е, (10.13) где Е(г) — дельта-коррелированная случайная функция, Для реального, не вполне дельта-коррелированного случайного процесса $(1), имеющего время корреляции порядка т„„коэффициент интенсивности К следует вычислять интегрированием К= ~ (11,)(.. В уравнении (13) )(х) есть некоторая заданная функция, связанная с «потенциальной функцией» У(х) соотношением л )==- "'„,". (10.15) «Потенциальная функция» должна неограниченно возрастать с увеличением /х (. Это условие означает, что имеется возвращающая сила, не позволяющая координате х(() удаляться в область бесконечных положительных или отрицательных значений. Уравнение (13) ие является самым общим уравнением, описывающим процесс без последействия в одно. мерном пространстве.
Однако более общее уравнение х, = ~, (х,) + я, (х,) 1 может быть преобразовано к виду (13) заменой перед их, менной х=~ '). Достижение уровня Ь, координа) х,(хд ' той х, (~) совершенно эквивалентно достижению уровня Ь функцией х(1), если ь=~ ~',! Поэтому для вычисления числа выбросов можно перейти от указанного уравнения к более простому уравнению (13) . Уравнение (!3) согласно сказанному в 3 4 эквивалентно следующему уравнению Фоккера — Планка: ю= — — тэ + —— д ГдУ 1 К д~в дх~дх ~ 2 дх» ' (10.16) Последнее дает возможность непосредственно получить стационарное распределение гэ»(х), удовлетворяющее 270 равенству ~за=О. Согласно (4.49) оно имеет вид ю',„(х) = Х ' ехр ~ — — (l (х)), 2 ЬТ= ~ ехр ( — —. (7(х)~ дх.
(10.17) Задавшись целью определить среднюю частоту повторений для серий выбросов, попытаемся найти обратную величину, а именно средний интервал между первыми пересечениями соседних серий. Пусть в момент (или для краткости (=0) наблюдается первое пересечение одной из серий выбросов. Условное распределение для х(Г) в последующее время ()О расплывается от дельта-функции е(х(Ь)~х(О)=Ь)=-Ь(х(Ь) — Ь) при (=О (10.18) до стационарного распределения та(х(1) ~х(0)= Ь) =та (х) при Ь)) Т„„. (10.19) Пусть постоянная времени Т„ характеризует длительность переходного процесса, т.
е. быстроту установления стационарного распределения. Пересечения порогового уровня Ь в течение этого времени мы относим к числу пересечений одной серии. Таким образом, длительность каждой серии пересечений по порядку величины меньше или равна Т„,. После установления стационарного распределения координата х(() будет догольно долго пребывать в области х — (х) — а(х), где сосредоточена основная доля вероятности (17).
Лишь спустя большой средний промежуток времени Т„„она вновь достигает уровня Ь и дает новую серию пересечений, Указанное ранее условие (10) практически эквивалентно неравенству (10.20) Тхос )) Туст Вследствие сказанного средний интервал между первыми пересечениями соседних серий приблизительно равен среднему времени, протекающему от стационарного распределения до первого достижения границы х = Ь. Как указывалось в $4 (равд, 6), задачи на первое до- 271 стижеиие границы решаются путем рассмотрения уравнения Фоккера — Планка (1б) при нулевом граничном условии (Ь, С) =0. (10.21) При таком рассмотрении условие нормировки ) я(х, О) г(х=1 выполняезся только в начальный момент С=О, когда ш(х, С) совпадает с начальным (в данном случае стационарным) распределением та(х, 0)=ю„(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
