Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Проанализируем условия применимости изложенного метода для того "лучая, представляющего наибольшие трудности, ногда процесс $(!) имеет время корреляции порядка постоянной времени фильтра (т«ор )(С). Метод малой нелинейности пригоден, если нелинейные члены в уравнении (45) оказывают небольшое влияние по сравнению с тиьейиым членом (1п ха+!)г. Выбрав первый из нелинейных члегов, получаем условие Подставляя (64) в (62) и учитывая опенку (68), а также соотношение Ь - а(ь), получаеьо неравенство ач' 1п хо » е Умножнм обе части этого неравенства на х, и, используя (40), будем иметь а)ей » хо (9.65) или агой (и (а)ой) » хо 1и хо. Вторично используя (40) и сокращая на а)ой, записываем условие малой нелинейности в виде а*о' 1и атой )) е (9.66) Следовательно, метод малой нелинейности применим при больших значениях пара~метра а1ой и не слишком большом уровне шума, В случае малого времени карреляции т„,р, к которому относится знак ( в (64), условия (бб), (бб) нужно заменить на менее ограничивающие.
Область применимости метода малой нелинейности, в основе которого лежит условие а(х)((хщ при этом несколько расширяется. 3. Метод уравнения Фоккера — Планка При достаточно малом времени, корреляции шума, когда оно меньше других постоянных времени системы, для анализа флюктуационного процесса можно применять стохастнчеокие методы и уравнение Фоккера— Планка. Проиллюстрирует их на примере уже рассмотренного ранее уравнения (36), относящегося к случаю экспоненциального детектора. В этом уравнении ЯСх+ х )пх = а)о)то(е'1) —; а1Яь, (9.67) случайное воздействие ь= е' — (е') (9.68) при малом времени корреляции т„,р можно заменить на гауссов дельта-коррелнрованный процесс р', имеющий то же самое (нулевое) среднее значение, н корреляционную функцию (ь'ь,') = КЗ (т).
(9.69) 240 Здесь коэффициент интенсивности К выбран равным коэффициенту интенсивности первоначального процесса (68): К= ] (7„)ат. (9.70) После указанной замены ~ на ~' уравнение (67) будет описывать процесс Маркова х(Г) и будет эквивалентно уравнению Фоккера — Планка 1 д та = — — [(х 1и х — т) тв] + РС дх (9.71) где мм т=а)о)г (е"') =а)Яе (9.72) [см. (39)]. Отыскание нестационарного решения полученного уравнения (71) является сложной задачей, стационарный же одномерный закон распределения может быть найден без большого труда. Применяя формулу (4.49), имеем те(х) =ДГ ' ехр ( — (,, ~хо[!их — ~ ) — 2тх[[, (9.73) Первый из них определяет координату х,, которой соответствует максимальная вероятность, Значение хо яв. ляется корнем прежнего уравнения (40) (хо1пхо — — т).
Второй параметр а определяет величину флюктуационного разброса. Так значения координат хь хо, при которых плотность вероятности убывает в 3/ е = 1,65 раз по сравнению с максимальной, могут быть найдены как корни уравнения У (х,,) — У (х.) = у. (9.75) 241 16 з . од где Ж вЂ” нормировочная постоянная. Видно, что форма кривой распределения определяется лишь двумя параметрами т=а)о)те и 7= 227С К (974) Здесь 7 (х) = х' (1 и х — 2 ] — 2тх.
11 (9.76) От распределения (73) нетрудно перейти к плотности распределения для выходного напряжения г1,,которое связано с х безынерционным нелинейным преобразованием и = (1и х) /а. Используя формулу (1.15), из (73) получаем и 1 1 тн (»1) = —, ех р ( — —. Х 2и Х [е"' (а»1 — — ) — 2теа'~ + а»11. (9.77) Вследствие наличия члена а.а в экспоненте, появлеах' ние которого обусловлено производной — , значе- »Г»1 ние »1„, соответствующее максимальной вероятности (77), 1я хэ не равно э1,= ', Оно теперь является корнем уравнения а»1 е "'" — те " — эу =О. 2аз а, (9.78) Разложим функцию, стоящую в экспоненте выражения (77) и принимающую в точке »1=»1 экстремальное значение, в ряд Тейлора — [еьэз (а»1 — —,, ) — 2те "~ + аэ1 = = — [е' ' (и»1 — 2 ) — 2лге'"4„+ а»1 + + — „[е "'" (2а»4, +1) — те'" ] а'(П вЂ” »1 )'+ ..
(9.79) Ограничиваясь первыми членами, имеем в области максимальной вероятности 1»» — »» )» з» э»» (»1) а»» (э, ) Е эк (9.80) Здесь и',„= — „, [е "" (2а»1 + 1) -,— те"'~]-' = = — „, [»7 (2+ — „)+теа""(1+ — ][ ' (9,81) 242 К=2е" ) [еом "— 1] аж. о (9.82) Для некоторых конкретных видов коэффициента корреляции И(т) последний интеграл поддается непосредственному вычислению. Так, при Й (т) =е 1~я, 7 =— ~кор (9.83) после замены переменной г= а'о'е ' находим т о = — е ']Е) (а' о) — 2!и ао — С].
(9.84) т Здесь Ер — интегральная показательная функция, а С=0,577... — постоянная Эйлера. 1бч 243 есть дисперсия некоторого эквивалентного гауссового распределения, которое близко к ш(п) в области максимальной вероятности. Когда распределение тв(о) мало отличается от нормального, величина ч приближенно совпадает с (о), а эквивалентная дисперсия о,'„ — с дисперсией Р~. Для распределений, не похожих на нормальные, указанное совпадение не имеет места, однако величины т1 остаются довольно показательными для- распределения ц 1„ь Эквивалентная дисперсия п~„ характеризует величину флюктуацивнного разброса (Ат1 = 2о„). 7Келая определить фактическое среднее значение и диспер.- сию, в этом случае можно вычислять интегралы усреднения с весом (77), прибегая, если требуется, к численному интегрированию.
Для гауссового шума о(~), имеющего (о) =О, (Ы,) =- =оот(х), согласно (54), (70) получаем Когда интеграл (82) непосредственно не вычисляется, может оказаться полезным разложение К=2е'' ~а, ) )хл(т) ~й. (9.85) о=о о Возьмем, для примера, следующие численные значения: ао = 3, а!орс =-10, тйС = — = 100. лор В этом случае та=898; 4=8,25 !Оо, Используя формулы (41), (78), (81), находим ачо = 5,16; ал! = 7,05; ао,„= 0,665, Предположим теперь, что аа н а!о)с остаются прежними, а емкость увеличивается в 1О раз, так что 7)сС = = 1000.
Тогда будем иметь д = 8,25 ° 10'; ап = 6,1; ао,„= 0,543. Из сопоставления этих результатов видно, что с увеличением емкости С среднее значение напряжения на нагрузке и его флюктуацнонный разброс уменьшатотся. Приведенные количественные оценки, относящиеся к нормальным флюктуациям с конкретной корреляционной функцией, позволяют также заключить, что при различных значениях т„,р /РС показания вольтметра, меря- щего среднее выходное напряжение, будут разными, даже если дисперсия а входных флюктуаций будет одна и та же.
Поэтому следует признать ошибочными встречающиеся в инженерной практике попытки использовать лампо'ые вольтметры для измерения флюктуационного разброса Ламповые вольтметры можно использовать ; .шь для сравнительной оценки интенсивности флюктуаций только неизменного спектрального состава, а для из. мерения фактической величины среднеквадратичного разброса следует применять термоэлектрические приборы. 4. Детектирование гармонического сигнала и шума с малым временем корреляции Метод вычисления одномерного закона распределения на выходе инерционного нелинейного элемента, изло- 244 женный в предыдуших разделах, применим также при наличии на входе гармонического сигнала Е сова,1 наряду с флюктуационными помехами $(1).
Для детектора с экспоненциальной характеристикой (33) соответствующее уравнение (36) при этом принимает вид РСх+ л (и х = а!,)секр(аЕсоз м1+ аЦ. (9 86) Рассмотрим два частных случая. !. Пусть флюктуационный процесс на входе ь(1) является медленно меняющимся по сравнению с сигналом Е соз ыс1, совершающим быстрые колебания. Период этих колебаний Тз = 2л/ыч считаем много меньше как времени корреляции т„,р шума, так и постоянной времени 14С фильтра.
Тогда уравнение (86) можно усреднить за период, после чего будем иметь 1сСх+ х !и х = а1,)с1, (аЕ) е'~. (9.87) Это уравнение отличается от (36) лишь тем, что параметр а(Ф оказался замененным на а1,й1,(аЕ), Поэтому к данному случаю применимо с соответствующей поправкой все, сказанное в предыдущих разделах 2 и 3. 2. Несколько более своеобразным является случай, когда флюктуации 5(1) узкополосные, Будем предполагать, что их полоса частот лежит вблизи частоты гармонического сигнала вм Тогда суммарный входной сигнал можно представить как колебание с некоторой результирующей амплитудой и фазой; Есозв,1+((1) =В(1)соз(м,1+ 1(1)).
(9.88) Такой сигнал был рассмотрен ранее (7.89). Если $(1) представляет собой гауссов процесс, то закон распределения для амплитуды В имеет вид (7.88). Поставив (88) в (86), можно использовать медленность изменений функций В(1), ф(1) по сравнению с колебаниями сов во1, з(п ы41.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
