Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Вычитая квадрат среднего значения <П), определяемый вторым равенством (107), получаем корреляционную функцию ь (т),— Ч~1~~ ~~ ~заЯл (т) е-1 (8. 111) П р и м е р 1, Найдем в качестве примера корреляционную функцию я (т) при нелинейном преобразовании А$ 1 — 1 (г) при ~1~<1, (8.112) 0 при (1|) 1. В данном случае достаточно применить преобразование Фурье. Согласно (105) получаем 1 Р(12) =А ) е' у'1 — РЖ. — ! Обратное преобразование имеет вид — — е И. А и 1,(ц) ае ц ($.114) Этот интеграл нетрудно выразить через функцию Бесселя Х~(й): Р (111) = яА (8.1 18) Вследствие нечетности функции 71(ь)) последние интегралы отличны от нуля лишь при четных л=Згл. Вводя обозначения (11 — аа~/ (о)е з Яа-~га†Π= ') ар( —,) е ха 'Их, о (8.116) будем иметь 0 при нечетном л, л„= А 1 (8.117) — — „д,„( — ) прн л=-2т.
Пользуясь формулой (4.434.2) справочника (П), можно вычислить коэффициенты (116), выразив их через вырожденную гипергеометрическую функцию д (а) =~ Ур(ах) е ха 'дх= о ,— — —, — ("") а„--;, аРе аХ Х,,Г (, +1; Р+ 1; —,), (р+Ч) О). (8.118) После подстановки (117) в (111) получим Для гауссовых флюктуаций, имеющих характеристическую функцию (102), искомая корреляционная функция определяется формулой (111), в которой теперь коэффициенты (110) будут П риме р 2.
Пусть теперь, помимо гауссовых флюктуаций с характеристическими функциями (102) присутствует гармонический сигнал з(~) =Есоз(ч„~+с,) =Есоз Ф, имеющий фиксированную амплитуду Е и совершенно слУчайнУю начальнУю фазУ Фм не зависащУю от Ц1). Характеристическая функция суммарного сигнала х(1) =$(1)+з(!)- при этом равна произведению характеристических функций процессов ЦУ) и з(!) о (е'и ) = (епа) (е' ~"'~) = е з У,(Ей). (8.120) При вычислении <е "' > здесь произведено усреднение по случайной начальной фазе ~ро и использовано интегральное представление функции Бесселя уз(а), Аналогично для двумерной характеристической функции имеем (е'а"+ "«') = (ехр (ЫЕ+ ИД)) (ехр (Е (о.
созФ+ + Я, соз Ф,)) = ехр ~ — —, (Я'+ 2ЙЯо, + Я,') ~ Х Х/о (ЕУ'2а+ 2 созчгото11 + 2') (8 121) у. (Е т' '-" + .".' + 2'-"-', соя ар ) = = ~~~~ ( — 1)ь чауа (Ео)!, (Ей,) соз Ьо,т (8.122) «=а ('о=! .'=аз=... =2). Экспоненту ехр ( — о%(1!1,) в (12!) также разложим в ряд (108). Тогда после указанной подстановки полу- 217 Средние значения <и> и <пп,> определяются путем подстановки в (107) характеристических фуйкций (120), (121) вместо функций (102). В процессе вычисления (чти) удобно использовать известную теорему сложения бесселевых функций: чим выражение для выходной моментной функции в виде двойного ряда МР (чч) — ~~ ~ ~~,~Р(и)хо(е2)е ' (2"ы12~ Х -оо-о 1 и+о Х „, оо)о" соз до~от.
(8.123) Чтобы получить корреляционную функцию А. (т), следует вычесть член, который соответствует п = О, й = О и который равен <т1)'. Пусть для примера (х при х>0, ч= К(х) —.— ~О п и < О (8.124) Тогда Р(12) =) е ' "хох= — —, о Контур интегрирования Е совпадает с действительной осью 1гп 0=О, причем особенность в начале координат о1 = О, если она имеется в подынтегральном выражении, обходится снизу.
Если подынтегральное выражение не имеет такой особенности, то интегрирование проводится по действительным значениям 11 от — оо до + оо. Согласно (123), (125) имеем Фо (о) .= — ~)~~~ ~о" — о ~,7 (Ем) е Я" ос(2~ Х о, о-о с л-~о>о Х ( ') ооР" (о) соз оооо. (8.126) си Уо(ЕЯ) е ' — „= ся, ~.'о~ И ' 6=Ь' с (8.127) 21в Полюса в начале координат имеются лишь в двух членах этой суммы, один нз которых соответствует и 1, й=О, а другой и =О, А= 1.
Вычисление этих членов облегчается тем, что подынтегральное выражение является нечетной функцией от й; соответствующие интегралы равны: Интегралы в остальных членах выражаются через функции (118). В результате выражение (126) приводится к виду ы Е~ й ( ) = — тт'(~) + ~ соз ~+ + 4~2 Х )ю~ ( +( ) ) х ~, ь=в и1-а>~ Х з„д~ „,( — ) Й" (т) соз йа,т. (8.128) Полученное выражение справедливо, в частности, при узкополосной случайной функции 1(~) = А(~) сов(в,~+ г), имеющей коэффициент корреляции Й(т) = г(т)сова,т, (8.129) где А(1), ч (~), «(~) — медленно меняющиеся функции ~-'« -.).
В этом случае выходной сигнал ч(г) =8'(Асов(вог+~г) + Есоз(~э,1+~,)) = =д' (Вгоз (э,1+ Э)] (8.130) имеет спектральные составляющие, лежащие в узких полосах вблизи частот 1ыз (1=0, 1, 2, ...). Корреляционную функцию (128) при этом можно представить в виде разложения /г„(т) = й, (т) + й, (т) соз ~,т + й, (т) соз 2ш,т+... (8.131) с медленно меняющимися функциями й,(-), й,(т), /гт(т),... Особый интерес представляет первая функция Йо(т), получаемая из й (т) усреднением по т: 2к ~о йв( ) = —.,', ~ й„( ') с«', (8.132) Покажем, что в случае узкополосных сигналов усредненная корреляционная функция (132) приближенно совпадает с корреляционной функцией йо (о) = )т сс 'Ч 1 усредненного сигнала с-ь — ' с'о ч И) =Я ~ я(~') Л = —,' ~ ч((+х) Ь, с о (Т.= — '.,) (8.134) Из (134) имеем К Й Ъ) = —;, ~ ~ й„( + х — у) сухФ.
о о Подставляя сюда (131), представим А,(т+х — у), йо(о+х — у), ... в форме разложений ~~> —, угк> (х) (х — у)'. с-о Учитывая, что ~о то ( 1 Ф, (о) соз Ьо, (т + х — у) с(хс(у = О (А ) 0), о о т, т, ~ (х — у)" соз йо о (с + х — у) ахс(у ( о о т,т, 2то" () ) ~х — у ("сс'хасу= ( о о находим Д ) ч, ч.) =йо(')+ О(йо'То+ йс'То+ .) Отсюда вытекает (133), поскольку Ас'То((йс вследсвие условия узкополосноси, 220 Усреднение (132) выражения (123) удобнее производить до того, как в (121) произведено разложение (108) по степеням )тл.
Разлагая в ряд (!22) лишь второй множитель и учитывая (129), представим (121) в виде а' Я вЂ” — (Я»+Я»1 ( вял+ гв»л») — е Х Х ~~~ ( — 1)'ОЯКО(Е(1) 1л(ЕЯ,) сов й»ООте ' "" "" (8.135) Л-О и произведем усреднение типа (132) по т. Если г(т) при этом считать постоянным, то (135) после усреднения пе- рейдет в Разложив функцию Бесселя в ряд 1 Г 1;Ол+Л О-О по аналогии с (123), будем иметь Г »Я» 1Я (»га,) = ~ ~, ~Е(Ы)э'„(ЕЯ) е м"+"сВ~ Х л, Л-О (8.137) Первый член с п=О, Й=О равен квадрату среднего значения <т)>Я. Вычтя его из (137), получим корреляционную функцию А; (т) = АО ( ) = Г а»Я» Я вЂ” ~Е(И) У„(Е(1)е ' ЙОО+'ЙР Х Х и а)1(2 г(')Г (8.138) е ' Х ( 1)~ООУО(ЕЯ) »я(ЕЯ») 7л( — О ЮЯ»). (8.136) Л-О Когда нелинейная функция д(х) имеет вид (124), по.
стоянная составляющая (134) пропорциональна суммарной амплитуде ок 2 ~ 8'(В сов(Х+ Ф)1 пХ= — (8.139) о и поэтому формула (!38) позволяет найти корреляционную функцию амплитуды В((). Подставив (125) в (138), имеем л,, (т) = л йв(') = мо' $ — оооо о — \ ( У (ВЫ) е о ыоо~-о — оо(~1 'к' о, о=о ~ г оооо л! (л+ А)! ~ 2) и согласно (118) л. о=о о+о>о й В. МЕТОДЫ АНАЛИЗА ИНЕРЦИОННЫХ НЕЛИНЕИНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИИ. ДЕТЕКТИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ Сущность методов, применяемых прн анализе нелинейных инерционных преобразований случайных сигналов, выясним на примере диодного детектора, процессы в котором описываются нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка. Диодный детектор представляет собой последователь ное соединение нелинейного элемента, имеющего вольтамперную характеристику У = В(1'), и параллельной цепочки ВС (рис.
8.2), (Анодный детектор является более простой системой, так как в нем можно не учитывать реакцию нагрузки; задача при этом сводится к исследованию безынерционного преобразования флюктуаций, рассмотренного в,предыдущем параграфе). Пусть требуется найти статистические характеристики напряжения п(~) на цепочке )тС, когда на вход 222 детектора воздействует случайный сигнал $(1) с извест. ными параметрами. Дифференциальное уравнение для диодного детектора имеет вид 1 1 ч+ — ч = — Р(1 — ч). лс с (9.1) Строгое решение этого нелинейного дифференциального уравнения при типовых функциях Р, аппроксимирующих вольтамперные характеристики, невозможно даже в том случае, когда в правую часть уравнения входит вместо случайной функции Ц1) какая-либо регулярная функция времени (не равная постоянной).
Тем более это решение невозможно при наличии в правой части случайной функции. Ввиду этого приходится применять приближенные методы решения. Выбор того или иного метода зависит от вида функции Р(Р) от параметров системы, а также соотношения между временем корреляции т„.р входных флюктуаций и постоянной времени детектора ЯС. Можно указать следующие частные случаи и соответствующие методы их рассмотрения. 1. Если выполняется неравенство т...» йС, (9.2) то можно проводить рассмотрение в квазистатическом приближении, В перв . приближении в этом случае можно пренебречь вр'.менной производной т1 в уравнении (1). После этого задача сводится к безынерционному нелинейному преобразованию т1 =Юг (я — т1).
2. Пусть флюктуации $(1) являются узкополосными, т. е, соответствуют колебаниям частоты оь с медленно меняющимися амплитудой и фазой, и имеют поэтому большое время корреляции т„„,. Если выполняются соотношения „, »ЯС» ~ ~0 (9.3) 223 то применим метод огибающей, который является разновидностью квазистатического метода. Описанный случай охватывает детекторные каскады многих радио- приемных устройств. 3. В ряде случаев целесообразно применять метод малой нелинейности, при котором в первом приближе- нии задача рассматривается как линейная и лишь в последующих приближениях учитываются нелинейные эффекты. Этот метод применим, когда в исходном уравнении нелинейный член (или члены) мал или когда допустима линеаризация уравнения относительно отклонений от подобранного соответствующим образом нулевого приближения.
Применение указанного метода не ограничено каким-либо соотношением между постоянной времени системы и временем корреляции, он пригоден и при т„,р — )сС. 4. Если время корреляции мало ~„, « ИС, (9.4) то флюктуационный процесс можно рассматривать как процесс Маркова и пользоваться уравнением Фоккера— Планка. Такой случай может встретиться, в частности, в измерительной технике, когда требуется знать среднее значение <П> выходного сигнала, характеризующее показание прибора, и дисперсию РтЬ характеризующую погрешность измерения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
