Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 39
Текст из файла (страница 39)
ягл Здесь о„л — постоянная времени, характеризующая быстроту флюктуационных колебаний рассматриваемого процесса х(Ь). Выберем в качестве 1о момент начала выброса х(Ьо) =Ь. При достаточно малом времени, прошедшем с этого момента в разложении (1), можно ограничиться только тремя членами х(Ь) =Ь-;х (Ь вЂ” Ьо) + —.х ' (Ь вЂ” Ьо)' (122) (х= — х(Ьо), х=х (1о)). Кривая «(1), которая для малых интервалов ( — (о ведет себя как парабола (2), может пересечь уровень х=Ь и тем самым закончить выброс прежде, чем накопится отклонение этой кривой от параболы. Конечно, при низких уровнях срабатывания такие параболические выбросы будут составлять лишь небольшую долю всех выбросов. Однако при повышении уровня срабатывания средняя длительность выбросов уменьшается.
При достаточно высоком уровне длительность выбросов, каь правило, станет меньше т„„и подавляющее число выбросов будет иметь параборическую форму, описываемую выражением (2). Если через т обозначить длительность выброса, то х (Ьо+х) =Ь или в силу (2) (12.3) хо -1- —,хто = О. 1 з 303 Отсюда получаем, что в рассматриваемом приближений длительность выброса т очень просто связана с первыми двумя производными от флюктуационного процесса в момент начала выброса х -=-2 —. х (12.4) м„(х, х) = хю (Ь, х, х) при х)0; ю(Ь, х, х) хчх о тв„(х, х) =0 при х(0, (12.5) что вполне аналогично соотношению (10.4), Чтобы убедиться в его справедливости нужно повторить почти без изменения те рассуждения 5 10 (равд.
1), которые привели к формуле (10.4), Зная совместный закон распределения (5) первых двух производных, нетрудно найти плотность распределения для т. Используя (4), перейдем от переменных х, х к переменным х, т: тв„(х, х) Них= — та„х, — 2 — 2 — 'зс(хсзр 304 Поскольку начальная производная х положительна, последнее равенство применимо лишь ппи отрицательных значениях второй производной х(0, Только в этом случае можно не принимать во внимание членов более высокого порядка разложения (1), которые мы отбросилж Можно показать, что вторая производная х с подавляющей вероятностью имеет отрицательные значения при выполнении условия 6 — (х)р а(х). Пусть ю„ (х, х) есть совместная плотность распределения для первой и второй производной в момент начала выброса на уровне 6, Указанная плотность распределения легко выражается через трехмерную плотность распределения ю (х, х, х) для координаты и двух ее производных, взятых в один и тот же момент времени.
Соответствующее равенство имеет вид 1!осле интегрирования по х отсюда будем иметь ()=2~ .(д — 2 — —,Ш т 7 а =2) то„(та, — 2з) пЬз о (12.6) Согласно приведенному выводу последней формулы, она справедлива при малых положительных значениях т, прн которых отброшенные члены ряда (1) не играютсущественной роли.
Если уровень срабатывания достаточно высок, формула (6) справедлива для всех часто встречающихся длительностей выбросов. Исключение составляют такие большие длительности, появление которых маловероятно. Чтобы проиллюстрировать применение формулы (6), рассмотрим гауссов случайный процесс с пулевым средним значением и корреляционной функцией (хх,) = оЯ (т). (1 2.7) Вследствие предположения о плавности изменения процесса х(1) коэффициент корреляции разлагается в ряд Я (т) = 1 — — и.йзтз+ 4, тт4т~ ., (12.8) 1 з 1 (12.9) который быстро сходится при тех значениях т, которые допускают обрывание ряда (1).
Найдем для него трехмерную плотность распределепня в(х, х, х), входящую в формулу (5). Средние значения типа (хх), (хх), ... легко получить путем дифференцирования корреляционной функции (7) при после- 20 за«. зв 305 дующем приравнивании т нулю. Таким образом получаем корреляционную матрицу (х') (хх) (хх) 1 0 — Р~ (хх) (хз) (хх) а 0 яз 0 . (12.10) (хх) (хх) (хз) Мы видим, что первая производная х не коррелирована ни с х, ни с х и, следовательно, она независима от ник. Поэтому трехмерная плотность распределения распадается на произведение та(х, х, х) = — те(х)ы (х, х). (12.11) Входящие сюда одномерную и двумерную плотности распределения ге(х) и и(х, х) записываем по обычным правилам в соответствии с формулами типа (3.3), (3.5) $ 3, поскольку корреляционная матрица (11) для рассматриваемых случайных величин известна: 1 та (х) = (2~и%,) ' ехр ~ —,„зо,, (12.12) та(х, х) = Х 1 йх-з ~'Д,— НР Х ехр — '.з,а т, " р з) .
(12 13) Плотность распределения (5) начальных производных х и х, в свою очередь, распадается на произведение та„(х, х) =те„(х)та(х!Ь), (12.14) где та„(х) — плотность распределения для первой производной в момент начала выброса, которая уже была определена ранее формулами (10.4), (10.8): (12.15) 11~оран функция ю(х~Ь) есть условная плотность распре-' деления для второй производной на данном уровне Ь.
Применяя к рассматриваемому случаю формулы раздела 3, 5 3 для условного распределения гауссовых случайных величин, имеем та (х ( Ь) = [2яаз (й, — Я,')) Х (12.16) Интегрируя формулу (6) по т и используя (15), получим функцию распределения выбросов по длительности в форме с Р (т) = ~ ти (т) ат = о "Г ""1 =2 ~ ~1 — е ' '~ та( — 2г)Ь) Ж. (12.17) о Если подставить сюда (16) и воспользоватьсяформулой е Рм~'"с(з = —,' е ег1с( — Ю, (12.18) зр Р) о положив в ней (12.19) сз(я - д,з) 2 1 Г 4 з1 Р' = „з< д, и р'= — [ + — ~, (12.20) то будем иметь 2Р(т) =ег1с( — ) — (1+ 4 Язт') Х (12.21) 1 Здесь Д, Д2 т= 2С"' 307 Полученная формула (21) справедлива при достаточно малых значениях т, при которых можно ограничиться членами (2) разложения (1).
Быстрота сходи- мости ряда (!) связана с быстротой сходимости разложения (8), Поэтому условие применимости выбранной аппроксимации (2) можно записать в форме (12.22) Р т»((1; тР т'((1. Последние неравенства могут быть использованы для вывода из (21) упрощенных выражений, имеющих различную степень точности. Так, если ограничиться в выражении (1 + ТР»т'/4) ' лишь первым зависящим от т членом, т.
е. положи~ь в (21) 4 (4+ тР»т») ' = 1 — — тР»т', 1 2 (4+ ТР»«») -'" 1 — з ТР»т» (12 23) то будем иметь 2Р(.) =ег(с( — =) — !'1 — — -Р т») Х ь» Х ехр [ — — з,» Р»т'~ Х Х ег1с [ — ! ! — — ТР»т»~~! . (12.24) Ь / 1 ° т'т~ При низких уровнях срабатывания ширина области применимости полученных результатов составляетлишь малую долю от средней длительности выброса (т). С их помощью можно подсчитать лишь число редко встречающихся кратковременных выбросов. С повышением же уровня длительность выбросов уменьшается и попадает в область действия указанных формул.
Они теперь дают возможность вычислить частоту появления почти всех встречающихся выбросов, за исключением очень редких длинных выбросов. Другими словами, они теперь определяют форму почти всей плотности распределения ю(т), кроме несущественного «хвоста», где она принимает малые значения, 308 Предполагая, что выполняется условие высокого уровня срабатывания Ь2)) аь (12.25) из формулы (24) получаем для длительности выбросов релеевский закон распределения ьз г.(т) =1 — ехр~ — —, Дзр'1, ьзь, г ы та(~) = — '' ~ехр~ — — -Р;з~. (12.26) ~,' ехр~- —,,з (1 4 4 Д.
(12,27) Формулу (26) можно получить также более простым способом. Из выражения (16) можно видеть, что условное среднеквадратичное отклонение ..1 2 а (х) = [~ (х + ЯзЬ)'те (х ) Ь) Нх~ = в ~/ Р, — К,', (12.28) значительно меньше, чем условное среднее значение — Щ, вследствие условия (25). Поэтому можно считать производную в момент начала выброса неслучайной и равной — Л,Ь При этом длительность выброса (4) будет определяться исключительно величиной первой про- изводной 2 '=ть-х (12.29) которая распределена по закону (15). Простая замена переменной (29) в формуле (15) та (т) ь(т = та„( —, йз-.) —, Р,ь(н (12.30) приводит к формуле (26).
Если принять во внимание найденную в 6 1О общую среднюю частоту появления выбросов (10.9), то число выбросов, имеющих длнтельность больше тгп будет определяться выражением и (т,„) = и, [1 — Р (т,„)] = Вследствие неравенства ()« — „, 1 (12.34) 1 1 1 — В,(1Р) (~) Р+ ...
н им можно пренебречь. После этого (33) примет вид рЕ [ — — „„', р]=:ио(! — В,()р)! =и(Р) илн ол (о) — = и (-) = ло ~ та (т) й. (12.35) о Полученное соотношение отличается от формулы (11.78) лишь отсутствием коэффициента 2. Ему можно придать вид ФЙ (о) ш( )= — „ (12.36) Рассмотрим для примера гауссов случайный процесс. Согласно (35), (11.84), имеем О» 1 — Л л(т) =- — ош„(Ь) е о" 1 и (12,3?) К Но " ~/1 11О и, следовательно, — гт Когда Ь» а, 1 — Й ((1, коэфйоициент корреляции )Оо,о Й(т) можно заменить на 1 —, .
При этом фор- 2 мулы (37), (38) переходят в (26), (27), означающего, что средняя длительность выброса много меньше среднего интервала, член — ' в (33) прн р— 1 Р— — много меньше члена (=) б) Общее решение задачи вычисления распределения выбросов по длительности может быть получено при помощи теории коррелированных случайных точек, изложенном в равд. 1, 4, 5 6.
Однако поскольку результирующее выражение имеет форму ряда с бесконечным числом членов, фактически с его помощью могут быть получены лишь приближенные результаты При этом с повышением точности объем необходимых расчетов быстро возрастает. В некоторых случаях, например при средних уровнях и плавных флюктуациях, указанный метод является единственно пригодным. Пусть при б = (о = 0 начинается выброс случайной функции (х(0) = Ь, х(0) ) О). В дальнейшем кривая х(() может неоднократно пересекать пороговый уровень.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
