Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Положение, конечно, упрощается, если случайноевоздействие и(1) является узкополосным сравнительно счастотой ыв, В этом случае некоторые члены в (31) оказывают слабое влияние и число существенных членов сокращается. Мы рассмотрим тот частный случай, когда спектральная плотность воздействия и(1) заметно отлична от нуля лишь в полосе частот, которая имеет сравнительно малую ширину Ла ((ао и расположена вблизи малых частот. Это означает, что случайное воздействие и(1) медленно меняется по сравнению с высокочастотным колебанием, и его время изменения т„р значительно больше периода 2~ коз )) „, шО Если усреднить правые части (31) за период, то члены с тригонометрическими функциями выпадут вследствие того, что коэффициенты, стояшие передними и зависящие от А и и, почти не изменяются в течение периода. В итоге в первом приближении мы получим укороченные уравнения А= — 2 А(Ч' + 4 ЧзА'); ~=о.
Разобьем выражение (28) для д, на две части д, = 21. + 2Г (Е), (16.32) где 2р = эо (Я8 — )тС) + э,)И (ри — 7и'), (16.33) а С(г) — случайная функция 1 2 эоА4 (рн Тм (рн Тп ) 1 (16.34) 27 з .зп 417 с нулевым средним значением и корреляционной функ цией Г о>оМ ~а (ГГ ) — ~ 2 ) К[[>и -иа — ) [ра К [и, и,) — ~7 К (и, и,')— — ~7К (и', и,) + т'К [и', и,г)[.
(16.35) Если предположить, что и — нормальный стационарный.случайный процесс, имеющий функцию корреляции (ии „) ы й (а) = о% (а) и нулевое среднее значение, то К[и, и,)=й(а); К(и, и,')=О. Для вычисления выра>кения К (иа и г) — (иги а) (иг) а можно воспользоваться формулой (1.70); полагая в ней 1>=(г=1 и (а=то=(+т, (/го=О), получаем (иаи,') = 2>оа (о) -+ И (О) = 2аЯа (т) + оо. Поэтому корреляционная функция (35) будет равна (Го,) =( — ", ) а' [р%(г) + 27гоа>>о>а(о)]. (16.36) В обозначениях (33), (34) мы имеем следуюшее уравнение, описывающее флюктуации амплитуды; А=о>оА(Р.
+ а оу.А )+о>оАГ.(г). (1637) Когда время корреляции т„,р внешнего флюктуационного воздействия меньше времени релаксации амплитуды (16.38) >оооо указанное уравнение можно решать методом уравнения Фоккера — Планка. Случайную функцию ~(а) при этом 418 (16А2) можно представить как дельта-коррелированный процесс и заменить корреляционную функцию (36) на (1~,) = Кй (т), (16.39) 'л2 о ) Г,) () + -~-ото' 1 л'(ош]. По обычным правилам (2 4) выписываем уравнение Фоккера — Планка (4.162), (4.161), (4.170) та (А) = — д4 (воА (н + з ЧоА ) ш]+ соответствующее уравнению (37) . Стационарное распределение амплитуды характеризуется нулевым потоком вероятности оооА (~ + з ЧоА ~® 4 7("'о Х- Х ~ —,.4 (Аота) + А' — 1=0.
(16.41) Вводя обозначения Л— Чз н интегрируя уравнение (41), получаем стационарное распределение (А) 2Л' Аз -1 — лл' (16 43) л' (о) (см. % 4 формулы (4.49), (4.171) ). Из полученной формулы видно, что величина Л определяет как бы масштабные единицы по оси А. В самом деле, в выражении для элемента вероятности в(А)о(А амплитуда входит в комбинации АУЛоаВ г(Р=он(А)ЫА= — е аВ " 'НВ. л' (о) Форма же кривой распределения определяется величиной т, т.
е. соотяошением между )л н эквивалентной 27о 419 Рис. 16.2. Плотность распределении амплитуды при воздействии шума на сетку; ! Рентам нерааантой генерации, 11. Режим не полностью рааантой генерации, П1. Режим ратантой генерации. дисперсией флюктуационного воздействия озоК С каче ственной точки зрения, по форме кривой распределения режимы работы генератора можно классифицировать следующим образом. Если и<0 (о<0), то имеет место полное отсутствие генерации.
Точка, изображающая величину амплитуды, заведомо находится в начале координат, независимо от величины флюктуациюд1 онного воздействия, При пюложитель- 15 ных, но малых значе- 5 ниях и, когда шоК/2> 1 )р>0 (т. е. —.>Р>0), 2 " г степень 2Р— 1 у А в ,= 5 (43) отрицательна. е Однако возникающее ц5 вследствие этого бесконечное значение плютности распределе- 55 1 55 ния в нуле является ин. "И тегрируемым, т.
е. имеется конечная вероятность малых амплитуд. Это случай большой величины флюктуационных воздействий относительно прочности предельного цикла. Они настолько велики, что сильно сбивают автоколебания с устойчивого цикла, и поэтому не наблюдается каких либо преимущественных амплитуд генерации. Плотность вероятности, как видно из рис. 16.2, в этом случае является монотонной: чем меньше амплитуда, тем больше ее вероятность. Такой режим можно назвать режимом неразвитой генерации.
При меньшем относительном уровне шумов, когда ю,К) Р > ю, —,1тт. е. 1 ) т > — г1, кривая плотности рас- К1 1х пределения не монотонна. В этом случае уже существует некоторое наиболее вероятное значение амплитуды, которое равно (16.44) Однако максимум вероятности при этом значении ие сильно выражен (рис. 16.2). Амплитуда колебаний рассеивается в широкой полосе и со значительной вероятностью может быть близка к нулю. Описанный режим работы целесообразно назвать режимом не полностью развитой генерации, Наконец, при еще меньшем уровне шумов или большей прочности предельного цикла при выполнении неравенства И)ьтоК (т)1) мы имеем наиболее интересный случай — режим развитой генерации, когда изображающая точка находится преимущественно вблизи предельного цикла. Разброс вокруг наиболее вероятного значения (44) играет подчиненную роль и становится все меньше и меньше по мере дальнейшего роста т.
Вычислим моменты амплитуды, соответствующие найденному распределению. Используя (43), получаем ( а1 г( + —,) (Аь) = —" Ам+" ' '"ЫА=- — ' ' . (16.45) =г()) е а о лз г (ч) Особенно простые формулы имеем для четных моментов (,1.) ° . (А4) ( + 1) л лз (Ам) — Л-с(т+У 1) (ч+1)» (1646) Среднее значение амплитуды в отличие от наиболее вероятного значения (44) определяется выражением (А) = = г ° ' (16'47) г(~ -г 2) Пользуясь последними формулами (46), (47), находим величину дисперсии г (+-,,')1 А (Аз) (А)з л т () ' ~ ' (16'48) Из формулы (45) можно получить также следующие формулы для нечетных моментов, которые легко выражаются через первый момент; 1 л (А') = Л вЂ” з (т+,~)(ч+ —,)(А), (16.49) 421 Таким образом, в элементарных функциях не выражается лишь среднее значение (А).Однако для негоможет быть указана приближенная формула, пригодная при больших значениях т.
Пользуясь известным асимптотическим представлением гамма-функции, нетрудно получить (А) 3/ л е о" ~1+0( —,з)~, откуда вследствие (48) имеем ВА = 4'„[1+ О~ — ',)~. (16.50) (16.51) В заключение настоящего раздела свяжем параметры р, т с величинами е, Ао, фигурировавшими ранее, и приведем примерные численные оценки. Учитывая (28), (33), а также (!3.25), получаем к 1 Е / ок и = — — —, о Мтао = — 111 — 4- — ~; — 2 2 о — 21 Аок!' 3 1 к 1 — '7 = оо Атт= 8 о=8 о — 2 Аок и, следовательно, Л= 2Ак ч= 2 (1 4д-4-). (16.52) Но в силу (39) имеем к=(2 к) ~~1 Р()ы -3-2 1 ю( 1к ~ = — '1А ) ( к,к кор+~ кор)~ где 422 ккор= ~ Й (о) 11о1 око ~ 1к (к) ч(о. о о Подставляя сюда значения А,=11а, — = — Зв, находим 2~Ф=о'~~о «ор( — ) ~( — ) +1~, (16.53) времени корреляции процесса ьо первый член (А,) суммы А (~о) = А (1о — й) + йА гв А, + ЬА 1 не зависим от го(го) даже при малых (ь<( —, если только (ь)) т„,р.
Поэтому (А'А-ьГо) =(А А-ь) (Со) ' но этот член обращается в нуль, так как ьо имеет нулевое среднее значение. Следовательно, (А'АГо) = (А'А-ьГ о) + (А'ЛАЙ) = (А'ЬА~о) . Если подставить сюда найденное из (55) выражение (а ЬА (чА ь — ЛА'ь)а+А-ь ) (ойдо (,— ь то получим !, (А А"-о) = (А А-ь ) 1о(~о)ойо ' Г(Го)) ь Снова используя независимость между А и ьо(1о), записываем правую часть в виде произведения средних ь (А'А1о) = (А'А — ь) ) (Со (то) 1о (Го')) Жо'. л-ь Так как Л берется значительно большим, чем время кор- реляции, то входящий сюда интеграл равен половине коэффициента интенсивности а о (Го (~о) ~о (~о )) г "о ) (Го (~о) Го (~о + )) (~ чо и поэтому (16.59) (А'АГо) = †(А'А).
Прн переходе к (59) мы учли также, что разность 1 А — А, мала вследствие о « —,. Аналогичным же способом можно убедиться в справедливости более общего соотношения (г(ь(ы)),о))= —,( — (А(г))А())), ((660) которое является приближенным при конечном, но малом времени корреляции и точным для дельта-коррелированного процесса ~в. Оно может быть выведено также из формулы (4.167), Подставляя (59) в (58) получаем в обозначениях (57) =(ч+ 2) пв(т) — Лев(ч). (16.61) Аналогично в силу (55) будем иметь (А' — „в )=Зч(А Ав) ЗЛ(А А') +3(А Ав(о) или, если использовать (60), = З(ч + —,) ов(с) — ЗЛп (ч). (16.62) При этом вводятся в рассмотрение функции (57) все более высокого порядка, для которых в свою очередь могут быть выведены уравнения типа (61), (62).
Тем самым мы получаем бесконечную цепочку уравнений, определяющих поведение функций (57), Начальными условиями для этих уравнений являются очевидные равенства пв(0) = (А'); п,(0)= — (А');... (16.63) причем одновременные моменты (А'), (А'),... были определены раньше (45) . Указанную цепочку уравнений можно решать тем или иным приближенным способом. Один из таких способов зкалючается в обрывании цепочки, рассмотрении лишь конечного числа функций ов, ов,..., пм. Функция ом+„входящая в уравнение для ом, при этом выражается через низшие функции.
Целесообразно выражать и„+, через пм которая больше всего напоминает ее по своему поведению. Хорошие результаты дает следующий способ представления пвв~в через явь При раздвижении времен гв — 1в' — со функции пв переходят в произведение мо- ментов (16.64) 425 Выражение о„- (А) (А'-'), эв — (А) (Ав-в) (Ав) — (А) (А" ') образует коэффициент корреляции между А (14') и А" ' (1з), нормированный так, чтобы обращался в единицу при (з=(а'. Эти коэффициенты корреляции для раз.
ных й, вообще говоря, различны. Однако интуитивно ясно, что форма зависимости коэффициентов (64) от времени не должна сильно отличаться по крайней мере для близких значений л (например, 21 и 21+2). Приравняв коэффициенты корреляции (64) для 1=21 и 44=21+2, мы получим один из возможных способов представления П44+З ЧЕРЕЗ ОМ. После обрывания цепочки уравнений система оставшихся уравнений, которые являются линейными, решается обычными методами. Разумеется, чем больше число оставленных уравнений, тем с большей точностью вычисляется искомая корреляционная функция. Этосвязано, правда, с увеличением объема вычислений.
Применим изложенный метод в его простейшем варианте, оставляя лишь одно уравнение (61) и выражая о4(т) через оз(т). Приравнивая коэффициенты корреляции е, (4) — (А) (Аэ) е4'.(~) — (А) з (А4) (А) (Аэ) (Аз) (А) з н используя найденные ранее формулы для моментов 1 л (А)1 (А') = л получаем 1Х (ч "1- 1) (Аз) (ч +, ](А) ( ~з) ( 1) з т44(') л()А пз(') 2л(1А . (16.65) В силу этой аппроксимации уравнение (61) переходит в следующее уравнение: ~~4 (~) 4 )м 444 (~) — (А) (16.66) Его решение при начальном условии (63) имеет вид о,( ) = (А)'+ ПА ехр ~ — вА 426 Гв(ч+ ~) — ч — ~ ~, (16 68) На рис. 16.3 представлена зависимость времени корреляции от интенсивности шума, деленной на прочность предельного цикла (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
