Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 57
Текст из файла (страница 57)
(17,70) Если мы будем увеличивать т, то равенства (69), (70) потеряют свою справедливость, когда т достигнет Если т — время, в течение которого накапливаются сдвиги фазы порядка я(т. е. а,т 1), то в силу (67) ~ (( тнор н, следовательно, в течение этого времени частота г1 не успеет значительно измениться. Поэтому для такого интервала ко Если, как и раньше, пренебречь хвостом от функции ш ( — ы — во); заходящим в область положительных частот из области отрицательных частот и не играющим, вследствие узкополосности сигнала, никакой роли, то 8 [х, м] =яА,'тва (м — м,).
(17.72) Таким образом, мы приходим к следующему выводу, что спектральная плотность определяется плотностью распределения частоты. Хотя это положение может на первый взгляд показаться тривиальным, оно справедливо лишь в случае больших независимых фазовых приращений, т. е. в случае или большой дисперсии флюктуаций частоты, или большой их длительности. П р и м ер 1. Если й(() имеет нормальный закон распределения, то вследствие (72) непосредственно имеем 6[, ]=~ —," — 'А„' 2 а~ О (17.73) Зтот результат соответствует равенству (48).
Для частного вида корреляционной функции (36) указанная значений порядка т„,р. Но раньше, чем это произойдет, корреляционная функция (хх,), так же как и выражение в правой части (69), уменьшится до пренебрежимо малых значений. В самом деле, функцию в(11) мы предполагаем удовлетворяющей определенным требованиям непрерывности и, следовательно, имеющей спектр, убывающий с увеличением частоты (в данном случае с увеличением т). Большие значения спектра (69) расположены в области т — 1/~„, а при т )) 1,~„они становятся малыми.
Можно убедиться, что (хх,) мало при ч )) 1/я путем рассмотрения промежуточных значений 1/ая (С т (( т„,р, для которых равенство (70) еще выполняется, а выражение в правой части уже успевает довольно сильно уменьшиться. Поскольку обе части равенства (70) малы в тех областях, где оно нарушается, им можно пользоваться прн вычислении спектральной плотности повсеместно.
Преобразование Фурье от характеристической функции будет, конечно, выражаться через исходную плотность распределения. Поэтому спектр корреляционной функции (70) будет иметь вид Я [х, м] = яА,' [тв, (м — м,) + тая ( — м — м,)]. (17.71) формула может быть получена из (40). В самом деле, вследствие (67) аргумент функции К~ имеет большие значения, для которых можно использовать асимптотическое выраакение и получить з 2 Оа~к Х ехр (о'„~,.' — т, т'а,',т,' + (а — в„)'1. Поскольку (" — ".)' 2ая' при и — м„<< ф„, у' о~~т,~+ (и — мь)з = а~т„ После подстановки в (23) имеем 26 з из 12 щ„а 3 " А~у' (17.74) причем и характеризуется плотностью распределения и* то(и) = е т/2~а Разрешая (74) относительно и и подставляя полученное выражение в го(и), находим то(й) =то(и) ~ — „ 1 (а <0) то отсюда вытекает (73) для значений ~ о — ь „~ << « Ф.
П р и м е р 2. Пусть теперь й йе нормальный процесс, пропорциональный квадрату гауссового процесса, Это имеет место в случае р=0, когда в силу (19) — — М'ти'= — 41 —, (А '=— и вследствие (72) ! 4!а 1,1Зво (ао — а)) ЗАоо ио — а! ХехР~ — — ! пРи а<ар; 4рзоо !З, ) 8 (х, а) =О при а) а,. (17.75) Не представляет никаких принципиальных затруднений более общий случай, когда 5+О, а также когда нужно пользоваться равенством (20), а не (23), по причине большой величины ( 1).
5. Малые независимые фазовые приращения Перейдем к рассмотрению флюктуаций частоты, имеющих время корреляции, значительно меньшее, чем время, необходимое для накопления больших фазовых сдвигов порядка и. Это имеет место при оотнор (( 1 ° успеет произойти нормализация сдвига фазы, который будет иметь нормальный закон распределения и характеристическую функцию и' ( ы")=е ' (~) (17.78) где (ьро) = 1 (т — !о'!)(ооя,,)<оо' КК„, < к =21 !оооо ), о вследствие условия (77). В соответствии с (38) из (78) имеем 1 1 о — зхо!! (хх,) = — Ао~е сова,т, (т )) т„,р). (17.79) 445 Тогда большие сдвиги фазы будут являться, по существу, стохастической суммой большого числа независимых величин. Поэтому в течение интервалов времени )) тиор (17.77) оо при [ в — в [ ( Ко.
Полученная формула позволяет исследовать обусловленное флюктуациями расширение дискретной спектральной линни, так как для этого требуется знать спектраль. ную плотность как раз в области малых частотных отклонений в — во. Из (80) видно, что нестабильность частоты приводит к расширению дискретной спектраль. ной линии до значений Ьв Кр = ) (ЯЯ,) о(к. (17.81) Часто представляет интерес впадение спектральной плотности при ббльших отклонениях от основной частоты, а именно при [в — во [> '..' так как вследствие медленности флюктуаций значение 1 1 — является довольно малым ~ — ((ов,). окор »кор Вследствие (76) в течение интервалов времени, имеющих порядок времени .корреляции, накапливаются лишь малые фазовые сдвиги Оо+» ЙЙ1 «1; е о=1+МЧ вЂ” -Ь~'+... (17.82) о Поэтому оа+» (е ' ') ж1 — — ) ) (1о(Ф) Я(Ф))йФг11' оо 1 при т((— оя (17.83) 1[оследнее равенство несправедливо лишь в полосе т «„,р, которая является узкой по сравнению с масша' Ко»1 1 табом изменения функции ехр [ — — 1, равным— 2/' ' К, — (ф„,р) '.
При вычислении спектра от (79) для частот в~Ко этой полосой можно пренебречь, так как она составляет лишь небольшую долю периода. Пользуясь выражением (79) повсеместно, получаем 5 [х, в! = — А,к (17.80) (~ — оо)к+ 4 Коа ч(~)= — „, е'= )е"у. Его корреляционную функцию (чч,"') = (1111,)е ' (17.85) можно при всех т заменить выражением (11м,): Прн т (( 1/чз это можно сделать в силу (82), а при т) 1~а„)) т„,р вследствие того, что оба выражения (86) и (86) близки к нулю и поэтому ма[ло отлиаются.
Из (86) видно, что спектральная плотность Яч, ы] совпадает со спектральной плотностью 5[0, «т] чгстоты 11(1). Поскольку процесс Ч(Г) есть производная ьт процесса ем = — г, то их спектральные плотности свя.аны между собой: Б [ть ~е] = <Р 8 [з, оз], Заменяя здесь Б [Ч, м] на Б [11, м], проходим к выводу, что процесс г с корреляционной функцией (е ') имеет спектральную плотность Б [я, и] = —, Б [Я, и!. (17.87) Это, впрочем, может быть выведено также непосредственно из (83). Чтобы получить спектральную плотность для (хх,) = 2 А,'Ке [е' ' (ФяФ,) ], Чтобы вычислить спектральную плотность при 1 и — м, ) —, найдем предварительно спектральную ~мОР плотность процесса остается умножить (87) на — и сдвинуть ио оси чаАоо 4 стог: 8 (х, в] 4 Ао 8 (х 1в во11= 1Ак 1~,1---01! 4 " (а — ар)к (17.88) ( 1 при 1в — в~ — 11.
ккар/ Вблизи основной частоты ао эта формула, дающая неограниченные значения плотности, является неправильной; вместо нее следует брать выведенную ранее формулу (80) . Если раньше спектральная плотность генерируемого сигнала выражалась через плотность распределения частоты (72), то теперь, как мы видим, она выражается через спектральную плотность флюктуаций частоты. Для случая малых независимых приращений фазы является характерным неодинаковый ход спектральной плотности при малых и больших отклонениях в в ао от основной частоты.
Такой двойственности не было при больших независимых приращениях (раздел 4). П р и м е р 1. Обратимся к рассмотренным ранее нормальным флюктуациям частоты, дающим, спектральную плотность (40). При условии (76) и при малых отклопениях (в — вь)'(( тк к аргумент функции К,(г) много меньше единицы, поэтому ее можно заменить на асимптотическое выражение г-' и получить оэк Эта формула совпадает с (80) поскольку для коэффициента корреляции (Зб) Ко — 2ао ок.
8 (х, в! = Ао' ~ — ' — — К, (кк! в — ао '). (17.90) Пусть теперь условие (77) сочетается с большими значениями (а — во)кткк )) 1. Пренебрегая величиной ооот„' по сравнению с (в — во)от„к, из (40) им".и Ьто есть не что иное, как формула (88), ибо коэффициенту корреляции (36) согласно (2.10) соответствует спектральная плотность Б [(2, ш! =4огс„'шК,(скш). П р и м е р 2, В случае нормального процесса с корреляционной функцией (41) условие (76) малых независимых приращений имеет вид Л((1. При этом ряд (471 быстро сходится.
Оставляя два первых члена этого ряда и пренебрегая величинами порядка Л', получаем 8 [х, ш1 о . (17,91) 1('" — шо)З К- ЛЗОЗ1 1(„— о)З + ЬЗ~ ' Отсюда, в частности, имеем ЛокАкз Я [х, ш[=, ( ',,„при [ш — ш,[ — р. Последние равенства совпадают с (80) и (88), так как Кз — — 2Л~ и 8 [Я, ш[= П р и м е р 3. Пусть случайный процесс ь, который определен формулой (19) и входит в уравнение (23), является существенно не гауссовским (уо ~ р).
Его корреляционная функция совпадает с корреляционной функцией (16.36) процесса (16.34). Поэтому (мш.) = (шоскз)г ~ — шоМ о) [ргД (к) + 27гог)сг (з)] = = (4иизшоогАо ) г ~277г (т) + ( ) й (т) ~ ° (17 92) Форма спектра существенно зависит от конкретного вида коэффициента корреляции Я(т), входящего в последнее выражение. Если, например, )с(т) = е ~''к то Й(т) и )сг(т) соответственно имеют спектры 2ск 4ск шэскз+ 1 шзскг+ 4 ' 29 зкк. з1с Следовательно, .4о) ~ ~ »«„в+ Ф+ (т«) ш»~«» -т- 1] и согласно формуле (88) имеем Я (х, ] =(ии»А,)'(2 — ) ', Х (')' ". 1.
(. ) ("~ — "о1-'"к-' г 4 11« / ("' — ~о)' «' т-1 ]' В то же время форма дискретной спектральной линии описывается выражением (80), где (са == 2 (я'з'"о)' ( ~, ) ~) -т- ~ —,) ] ' ((7.94) Как видно из предыдущего изложения, почти вся мощность колебаний, равная А92, сосредоточена, в дискретной спектральной линии, которая имеет спектр (80). Более широкополосные флюктуации, частоты которых попадают в область 1 1э мо! «ОД имеют малую мощность. Порядок величины спектраль- 1 ной плотности в этой ооласти равен —,А,'«',,т',,~, а их суммарную мощность можно оценить как — А,'а'„т»„~. При этом может оказаться, что неучтенные амплитудные флюктуации дадут вклад, превосходящий для этих частот указанную величину.
6. Модуляция автоколебаннй шумом Рассмотренные медленные флюктуации, нарушающие стабильный режим работы генератора и приводящие к «уходам» амплитуды и частоты, характеризуются небольшой величиной, в результате чего отклонения от стабильных значений амплитуды Аа и частоты ов малы. В некоторых случаях на генератор специально подается медленное флюктуационное напряжение значительно большей величины, например для получения колебаний, модулированных шумом (генераторы помех). Если время корреляции модулирующего шума пре восходит время релаксации амплитуды, то этот случай близок к случаю технической нестабильности, когда автоколебания модулнруются по амплитуде и частоте тех.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
