Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 59
Текст из файла (страница 59)
(18.7) Упрощение входящих сюда флюктуационных членов Пайп Ф и т1 сов Ф/А может быть выполнено тем же способом, что и в разделе 4, $ ! 3, если случайный процесс ч имеет достаточно малое время корреляции в сравнении с временем релаксации: 1 Ешо (18.8) При этом условии к рассматриваемой задаче применимы стохастические методы и уравнение Фоккера- удобной для подстановки в уравнения (Э). Здесь ~)(()— случайная функция, равная Планка. Случайные возмущения, входящие в упрощен.
ные уравнения К А= 2 !1 — Ах)А+ ~ созЕ~+ 2Я + Ем ° ~о~ ) "ье Е Е =Ь вЂ” — з!п у+в гА А (18.9) дует полагать г ~з я=([ —.' (у,р)~ .,ы.,~~ ~. о 1 2к 1зг + — „~, (~) з!и ъ,| <Ь Я можно считать независимыми дельта-коррелированными нормальными случайными функциями с нулевым сред. ним значением; (Е,,) = О; (Е,Е,,) = О; (Е Е ) — (ЕчЕз ) — КЬ (т)' К=, хт(ад), (18.10) Если а, совпадает с ем, то случайные функции $ь $а связаны с функциями Ч, ~~, ц', ь', входящими в уравне ния (13.67), (13.18), (!64), соотношеннямн $! аььп) Аоц', $з аывь*.Аа~'.
Прн выводе уравнений (9) мы предполагали сину. соидальную форму сннхроннзнрующего воздействия. Между тем точно такие же уравнения справедливы. когда внешнее воздействие является периодической функцией любой другой формы, например последовательностью импульсов. Важно лишь, чтобы ее частота м, была близка к собственной частоте генерапора (синхронизацию на побочных частотах — кратных или дробных мы не рассматриваем) Любую периодическую функцию можно записать в виде тригонометрического ряда Ус (Г) = Ео+ Е~ з!п(о>..1+ Х~) + Ехз!П(2а.~+ ХЕ) + .. После подстановки его в (3) и отбрасывания внбрацнонных членов в первом приближении все члены, кроме Е~з!и (ю,Г+ Х~), выпадут.
Фаза т~ связана с выбором начала отсчета времени, ее можно обратить в нуль. Поэтому функция г, (1) в отношении ее синхронизирующего действия в первом приближении полностью эквивалентна рассмотренной ранее синусоиде Ез!ив,(, где теперь сле- Полученная основная система уравнений (9) в самом общем виде трудно поддается решению. Однако с ее помощью можно получить ряд важных частных результатов. Если бы случайные возмущения отсутствовали ($~ = = яг = 0; К = О), то при выполнении условий захватывания имел бы место синхронный режим с неизменными значениями амплитуды и фазы Аь ~рь Уравнения, определяющие указанные значения, мы получим из (9), приравнивая нулю временные производные: Е в(а,г — 1) аг= — соз(,; Ар (18.11) Ь Е 2 — а, = — з!поп ~с Ао где аг= †', Комбинируя эти уравнения, находим А, А, ' [(аг' — 1) +( — ) 1а,~=( А ) (18.12) В результате решения выведенного кубического уравнения для каждого конкретного случая могут быть найдены стационарные значения амплитуды и фазы Аь уь Уравнение (12) удобно исследовать графически, записав его в виде (х пг) Изображенный на рис, 13.! график функции х(х — 1)г пересекается прямой, которая соответствует правой части (13) и определяется параметрами Е~еАг, 2Л/зег,.
Если имеется не одна, а три точки пересечения (прямая СВ на рис, 16.!), то устойчивая амплитуда соответствует точке й! с наибольшей абсциссой В этрм смысле приводимые ниже результаты справедливы при произвольном виде синхронизирующего сигнала. Так, при синхронизации импульсами высоты Е„ и скважности 6 следует брать Е = — „Е„з!п яй. 2 Синхронный режим возможен лишь прн расстройках А, которые меньше некоторого значения, зависяц(его от амплитуды Е. Как следует из второго равенства (11), условие захватывания имеет впд м,Е Зс Ь < —,' или са с. — ', иА, а, ' (18.14) Рис. 18.1. Графическое опре деление стационарной ампли туды а~ =у' хн(АВ соотает- стнует СВ саотнетстаует «р гх Предполагая, что это условие выполняется, рассмот.
рим сначала случай малых флюктуационных отклонений от синхронного режима. Выражения в правой части (9), взятые без флюктуационных членов $ь $а, имеют малые значения вблизи точки А = Аь ф = чрь так как в самой этой точке они обращаются в нуль. Разложим эти выражения в ряд Тейлора и ограничимся линейными членами. При вычислении частных производных первого порядка по А и ф от этих выражений используем соотношения (11). Поскольку линеаризация применима лишь в случае малой интенсивности шума, флк ктуационный член $а/А при этом можно заменить на ст/Ан а член К/2А отбросить.
Описанным способом получаем следующие линеаризованные уравнения: оА = — ашс 2 оА — ЬА~йу + 1ч1 В~у= — оА — емс ~~р+ А, а аР— 1 Ее 1 с 1 (6А=А — А,; Ьр=р — фт). мсЕ где ст,= —,' — параметр системы, называемый шири2Ао ной полосы синхронизации. Если в целях кратности обозначить $А=у; А,ау=а; мо,(За,з — 1) =23; вас(а г 1) = 23 (18.15) то эти уравнения примут вид у= — ау — ах+1; а=ау — о'2+1 . (18.16) Полученная система уравнений может быть решена обычными способами.
Если мы интересуемся стационарным процессом, то начальные условия не будут сказываться. Влияние возмушений 5ь $з надо будет учитывать, начиная с самых отдаленных моментов времени (~ = — ). Применяя спектральный метод, заменим в (16) опе. ратор дифференцирования на (ы н разрешим относительно у, з систему (Ь+Ь)у+аз=1,; — Ьу+(1 +В')а=1„ как систему алгебраических уравнений. В результате получим (ь + ь') е, — ь$д Л(!ш) у11+ ух з' (г(1 )=(и+а)(и+а)+аз) (Š— краткие обозначения стояших здесь комплексных выражений). Согласно правилам преобразования спектральной плотности стационарных процессов при линейном преобразовании случайных функций имеем отсюда, учитывая независимость процессов 4,(1) и $з(т), х, = ) Е„, )'хи + ! Е,а ~'~г х~ = ! Ем )зхм + ) Ехз )~кгм к х — х — Е 1Е хм+ ЕтзЕ дхгз1 (хм=~<гз=К), Полагая здесь т = О, найдем дисперсию и коэффициент корреляции флюктуаций амплитуды и фазы (у') = — „т; (г') = А ь(ьр') = —, К ь'т -~- ы К ь 4- з1 м +а' 1 гт Ьь'+Еи аК ь' — ь а ь — ь (У~) = 4.
ьь. а, ', Й»,= ~, . (18.21) 1(ь'т+ з') (ьт+ а')Р Полученные результаты содержат величины, опреде. ленные равенствами (15), (19), и могут быть, конечно, преобразованы к другому виду. Мы этого не будем делать, но отметим, что разброс амплитуды всегда меньше разброса в перпендикулярном направлении ((ЬА')< <А1з(ьр')), так как жесткость по амплитуде (по р) больше жесткости по г (6 )6'). Знак коэффициента корреляции для у и г, который можно записать в виде 1 Я~, = - —, яааьЬ (3ь7 + 2Ььт'+ Ь4) определяется знаком расстройки Л. Особенно простая флюктуационная картина имеет место при нулевой расстройке Л = О.
В этом случае флюктуации амплитуды и фазы происходят независимо, так как система (16) расщепляется на два самостоятельных уравнения, По виду этих уравнений можно заключить, что процессы у(1) и г(1) будут иметь экспоненциальную функцию корреляции. Как известно (см. например (4.217)), дисперсия такого процесса равна интенсивности случайных толчков, деленной на удвоенную жесткость. В самом деле, полагая в (21) А=О, получаем (у') = —. (г') = — (уг) =О.
(18.22) При использовании этих формул полезно принимать во внимание следующие приближенные соотношения, вытекающие из (12) для крайних случаев малой и большой синхронизируюшей амплитуды. При Е)еАь (( 1 а,'= 1+ А, 23 = 2 „2ь' = а, А — — 2Ь„(18.23) Е, Е и при Е ) еА, )> 1 2 отсюда видно, что в первом случае жесткость по амплитуде такая же, что и у автономного генератора. Фаза имеет гораздо меньшую жесткость; это приводит к большому разбросу фазы, настолько большому, что ставится под сомнение применимость метода линеаризации. Поскольку для его применимости обязательно условие (~р')<<1, т.
е. о (18.25) то при "с "О (оос) сАо (18.26) Х=(А, +у) СОВ(сост+со, + А ) —.-А,СОВ(ос~+ у)+ -' усов(со,т+у,) — гв1п(со,т+у,) (18.27) на том же основании, 1то и линеаризация в основных уравнениях (9) Умножая (27) на аналогичное выражение, но взятое в другой момент времени, и усредняя, найдем корреляционную функцию сигнала, поскольку корреляционные функции для у и г были уже вычислены ранее. Для когерентных устройств и операций, в которых производится сравнение фазы генерирчемого сигнала с фазой синхронизирующего восдей твия, сигнал х выступает как периодически нестацнонарный. В соответствии с зтим получаемая указанным образом корре- 4со 30 асс. Н1 он становится неприемлемым, Увеличение сннхронизируюшего воздействия сопровождается увеличением жесткости по амплитуде и фазе, причем жесткость фазы, увеличиваясь быстрее, почти догоняет жесткость по амплитуде.
Это значит, что разброс фазы, уменьшаясь быстрее, чем разброс аоиплитуды, приближается к последнему. Так согласно (24) при Е(вАо )) 1 среднеквадратичный разброс фазы всего лишь в т' 3 раз превосходит относительный разброс бА/А~ амплигуды. Перейдем к вычислению корреляционной функции и спектра генерируемого сигнала к = Асов (со,с + у). При условии применимости метода линеаризации допустима лннеарнзация выражения У=А, + у+1а, х=йе [яе'" "м1].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
