Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 62
Текст из файла (страница 62)
имеющая стандартный малый разброс около синхронного значения, впервые коснулась указанного уровня. В стохастическом приближении подобные задачи на первое достижение границы, как известно, решаются путем присоединения нулевого граничного условия к нестационарному уравнению Фоккера — Планка Трудность, связанную с отысканием нестационарного решения уравнения (44), нам удастся обойти благодаря использованию условий (18.64) Здесь —, — Чч есть (при Л > О) половина расстояния в между «ямой» Р~ (рис. 18.5) и ближайшей вершиной Яп приведенное неравенство исключает возможность частых срывов синхронизации.
Напомним, что описанное выше разделение пересечений на серии и подсчет числа серий имеет точное содержание лишь при неравенстве (Ьъа)((Ь'-', которое совпадает с (64), если Ь вЂ” —, Условие (64) обеспечивает применимость метода линеаризации для исследования малых отклонений Ьу от синхронного значения Однако мы интересуемся сейчас большими отклонениями, поэтому задача остается существенно нелинейной. Еслл сбратиться к результатам предыдущего раздела, то рассматриваемый случай (64) 480 можно охарактеризовать выполяением равенства (58). В самом деле, из формул (21), (23), (37) имеем 2л' АР Рс ' (18.65) ч аз Если, например, —,— ~,— 1, то 1 — — — 1 и, слелс довательно, условия (64) приводят к неравенствам В,»1; — ";,' — 1»В, '( — ';)', обеспечивающим справедливость (58).
Для вычисления частоты следования серий выбросов применим метод, изложенный в разделе 2, 8 10. Последующие рассуждения с несущественными изменениями повторяюг рассуждения указанного раздела„ Пусть первое пересечение серии наблюдалось в мо. мент й Спусгя отрезок времени М, несколько превосходящий время корреляции для фазы, фаза вернется в область стандартных отклонений, и ее условное распределение примет форму, близкую к стационарному распределению.
При достаточно большом превышении уровня Ь над среднеквадратичным отклонением о(бу) среднее расстояние между сериями намного превышает М, гозтому среднее время между первыми пересечениями серий можно вычислять как среднее время от распределения, близкого к стационарному до первого пересечения. Чтобы его найги, рассмотрим уравнение Фоккера— Планка (18.66) совпадающее с (44). Но теперь условие нормировки (51) выполняется лишь в начальный момент.
Вместо него уравнение (66) решается при граничном условии в(р„)=0, (;р„=~р,+Ь), (18.67) в соответствии с которым изображающая точка выбывает из рассмотренпяпосле того, каккоснуласьуровняЬ, как бы «прилипает» к нему. Число оставшихся в рассмотрении точек тг (18.68) 481 31 зак. зл (Р) = — ) Рг7'ЖЯ =~ Р6(!р„, Р) г71. (18.71) о Покажем, что убывание числа оставшихся изобража!ощих точек происходит приблизительно по экспоненцнальному закону.
Вследствие прежнего условия (Ьг') « Ье Форма распределения почти не меняется с течением времени, уменьшается лишь ее «амплитуда!: то(т, С)=то!(<р)о(1), 1)н!!о!!р=1). (1872) Подставляя (72) в (66), находим о 1 дб ! о я!! д!р (6! = — (Л вЂ” Л, з1п о) то, — л — '), (18.73) где Л может быть только постоянной. Отсюда получаем уравнение о + Ло = О, решением которого является экспонента, так что И, ~) =, (р) е "', (18.74) Если подставить (74) в (71), то найдем, что посто. янная Л обратна среднему времени Л= (8) (18.75) медленно убывает с быстротой, которая йахбдится йй тегрированием равенства (66): Ф (р) = — О И.) + 6 (р„— 2я).
(18.69) Здесь 6(р„) — число точек, „прилипающих" в еди ницу времени к уровню Ь. Так как мы не питере суемся частотой отрицательных отклонений, то нужно считать, что пРЯ отРицательных отклонениЯх о= !Є— 2« изобража1ощне точки не прилипают, а отражаются так что 6(о„— 2«) =0 и в салу (69) Ф= — — а(р„).
(18.70) Число точек, коснувшихся границы в интервал вре. меин между 1 и 1+ !й, т. е, продержавшихся время г до соприкосновения, равно — о!Ф' = 6(о„)ой Следовательно. среднее время до соприкосновения определяется выра- жением е, является как раз искомой частотой первых пересе вен ий. Учитывая (68), (70), вследствие разделения переменных (74), имеем Л = — ~- О (т„) = а, И„).
(18.76) тв,Ю=О. (18.78) Решение уравнения (77) при граничном условии (781 имеет вид тв, (т) = — „, ех р (йр + П, соз ~) Х 1 тг Х ~ехр( — О) — О,сов ))дф, 1 з получаемый из (49), (С,,= »„, С,= — — ~. 1 (18.79) 31« 483 Стоящий здесь поток 0,(~р„) выражается через плотность распределения ш,(4~) по формуле (45), (73). Рассмотрим подробнее, что представляет собой указанная плотность распределения, соответствуюшая режиму «стабильного убывания» числа оставшихся изображающих точек. Оставшаяся точка в основном пребывает в области значений Ь~р — п(ЬЧ~), далеких от «захватывающего» 1ровня Ь. Поэтому ее движение почти не отличается от движения в стационарных условиях. Это значит, что форма кривой ш,(4~) при 54~=о(бр) очень близка к кривой стационарно~о распределения (52).
Вблизи захватывающей границы плотность ш~ сушественно отличается от (52): она имеет меньшие значения, но больший градиент, соответсзвующий увеличенному потоку в сторону захватывающей границы. Вследствие условия о(бч~) (( Ь, лежащего в основе нашего рассмотрения, величина Л невелика; прн этом можно считать, что и малые, и большие флюктуации (о(Ь~Г) (3т( Ь) описываются прежним уравнением (48) а»~, «' д ' — — ((Π— й,зш~)тв,! =О.
(18.77) дт» Ф~ Условие нормировки для него сохраняется, но условие периодичности (50) заменяется на условие «прилипания» Ь области значений бф — о(ф), где выражение Рф-). + Р,соз ф имеет максимум, интегралы в (52) и (79) слабо зависят от ф, ибо в этой области подынтегральные выражения имеют минимум. Поэтому распределения (52) и (79) при бф — а(ф) мало отличаются от выражения гог = — ехр (Рф+ Р,соз ф) (18,80) 1 н, следовательно, друг от друга, что уже ожидалось выше. Но в указанной области можно пользоваться разложением Р; ФР,созф Ру, +Р,созф,— —,о 28фг (1881) 1 (а — 2= Р,созф,= у Р;2 —,Рг), позволяющим преобразовать (80) к виду 1 оу,уо сову,— — у'о '- о'ву' 1 г — м Со' 1 2,2 е 1' ого у (18.82) Определяя отсюда Уг и сопоставляя (79) с (80), нахо- дим нормировочную постоянную в (79) в,с Лс ~ — оу-О сову„в) ув =)Г2есо с~У'У~с У' ) оУ ос' 'Уов' (18 83) Чтобы отыскать частоту выбросов (76), остается лишь подставить найденную плотность (79) в выражение (47) для потока бв(ф„), после чего будем иметь К Л= 484 Интеграл, входящий в выражение (83), можно вычислить приближенно, используя условие Р, » 1 вследствие которого подынтегральное выражение за метно отлично от нуля лишь в узкой области, примы- кающей к ф„.
Если воспользоваться разложением Оф+Р,созф=Рф„+О,созф„+ Π— Р,аш „)(ф — ф„)— — — Ос соз фг (ф 9г) (18.85) то из (83), (84) получим Л '= — "у2.че "Х 9 1 Х ~ ехр~(0,зш р„— 0)р — —.Р,~совр„/р']сКр, (18,86) где би=Рф, +Р,созф,— Ор,— Р,созф„ является как бы «разностью потенциалов» между точкамн ф~ н ф„, взятой в отношении к энергии шума. Предполагается, что экспонента в последнем интеграле убывает настолько быстро, что принимает исчезающие значения при ф=ф, (на этом основании нижний предел интегрирования распространен до — со). Такое быстрое убывание, действительно, имеет место при выполнении условия (64) и прн оя«(), Выражение (86) записывается через интеграл вероятности ошибок 1 Л '= — (созф,~созф„~) ' ехр Ьи+ '~""~" — ~Х 11 х $ [(~ у„— ° )(~ ' ~) ), (18Вп ег1с==~ е Ыг, а=— < 2 г — и О~ в,) Наименее доступным значением фазы является значение ф, = — ф, =- я — агс зш —, (18.88) в Рс ' 485 которому соответствует „вершина" (~, потенциальной функции — Π— х),сову (рис.
18.5), и, следовательно, максимальная разность потенциалов Ли=20,соз р,— й(р,— р,)= = 2 у' Ь,' — О' — 2.0 агс соз —, (18.89) с Кривизна потенциальной функции здесь такая же, что и в самом „низком" месте Р,, где т=то но имеет противоположный знак (В,соз», = — «,-'). Полагая в (87) е„=т„получаем, что фаза, обычно находящаяся вблизи т,, увеличивается и доходит до „вершины" Я, с частотой Л = — ' соз <р,е " = — ' р~б,» — а' Х « « Х ехр ~ — 2 ~у «),' — В' †.0 агс сов — )) . (18.90) Но если изображающая точка попала на вершину, то она может скатиться с нее как в одну, так и в другую сторону и притом с равной вероятностью.
В половине всех случаев точка возвращается назад, в другой половине она скатывается вперед, преодолев, таким образом, вершину. В итоге она попадает в новую, более низко расположенную «яму» Рм и фаза получит приращение 2л. Описанные перескоки фазы вперед происходят с частотой, в два раза меньшей, чем (90): Х ехр~ — 2()/О,' — «»' — х)агссоз — ~1. (18,91) п,д Помимо перескоков «вперед», происходят также перескоки фавы «назад», которые приводят к уменьше. нию фазы на 2п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
