Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 64
Текст из файла (страница 64)
', ~(»." ) — Зр ~ +2у„) <О; (18.115) е«а з ыл' л~ хас ~"о '"о ~~(э'~ ) 8Р ~ + Яу ~ Подсчет числа срывов синхронизации по существу оз. начает подсчет числа пересечений изображающей аачкой луча. г,<0 (г,=О). Вычислим, как часто изображающая точка касается указанной полупрямой, Искомая частота выражается формулой (76), Теперь Л=6~(гран.) есть поток вероятности, подходящий к полупрямой я~<0.
Поскольку теперь мы рассматриваем двумерный случай, то плотность потока, соответствующая уравнению (106), есть вектор с компонентами дУ К дг«дУ К де — — тв — — — и — — га —— д«, 2 да, д»~ 2 д»р ' Следовательно, поток изображающих точек, «прилипающих» к полупрямой а, < 0 (гз = О) с одной стороны (сверху), есть о (7,(гран.) = —, ~ — '~ с(г„(так как тв,(гран.) = О).
(18.116) — .», О По аналогии с предыдущим разделом входящая сюда плотность вероятности цч мало отличается от стационарного распределения (108) в местах скопления основной массы вероятности. Вблизи «захватывающей» полупрямой ее поведение существенно другое и характеризуется нулевым граничным условием та,=О при а,(0; а,=О. (18.117) В областях, заключенных между захватывающей границей и местом максимума вероятности, плотность распределения в,(гь г,) удовлетворяет тому же самоа»у 495 уравнению (107).
Чтобы найти поток (116), требуетсй найти хотя бы приближенное решение последнего уравнения с граничным условием (117). Запишем искомое решение в форме тх, (»о хз) = о (х,) щз (»ь»я), (18.! !8) где о(х,) = екр ~ — К У(хн О)~ (18.119) является функцией, удовлетворяющей уравнению Подставляя (118) в (107), находим с.тедующее точное уравнение лля функции щз(хн»з): Дзщг / 2 до 2 дУ! дют щт 2 =- — ' — ! — — + — — ) — — — — х дх,в 1о дхг К Дх~/ Д», о К д Гд х — „1 — „(и(.., .,) - <7(х, о)1 .).
(18.120) и позтому юз (»н х ) = В (» )»з +».д " (» < О) (18.122) <()(х,) — некоторая функция). Подставляя (122) в правую часть (120), получаем озщз 2 д ! дУ + К д 1 д гвз) = — В(»г)»з+ хз'-..., (18.123) дх,в К дхя 1, д», где вследствие [120), (!19), (!22) В (»1) = ' ' + — — .
(18.124) Дв)(»,) 2 Д<7(хь Г) Да(,) г<»,а К да, г<», Интегрируя уравнение (123), находим дщз 2 дУ хв д" +т д из=8(»г) — В(х,) — '+ ... (18125) Постоянной интегрирования лгы придали значение р(х,) в ре зультате сопоставления полученного равевства с (122). Иитегри- 496 Выражение, стоящее в правой части вблизи границы, приобретает малые значения. В самом деле вследствие (!!7) и, (хн 0) = 0 при х, < 0; (18.121) руя далее (!25) как линейное дифференциальное уравнение перваго порядка с граничным условием (!2!), приходим к результату и „* и — з — г 2 — Г »3 ге,(»о»о) =е ) е "~~8(»,) — В(»,) —.
+ ...1И»о. (18.126) о Входящий сюда интеграл возьмем, используя соотношение оао / 2»1з о»ов1 (г (»о»о) = ()(»„О) — 4 (1 —, ! - )»аз = и ов о во 4 х Ахг' о +»о''" Аох ) (18.127) вытекающее из вида потенциальной функции (105). Если обо- значить о ~ »!в 1 ав (» ) = ~! — ), (»1з < Аов) (18'128) Аов) ' то в силу (!26) будем иметь 2 2 »по(»о»,) = ехр (- — У(»ь»,) + —, У(»ь 0)~ ) е Х о 1 2 х (8 — —, в,в + ...)) д», = ехр ~ — к [(г (,,) — (г (»„0)) ~ х ч/к г'8 В Х йг — !х — — —.
+ ...а при а» » 1. к 'х а хао '''/ о Тем самым искомая плотность распределевия (118) выражена через функцию ()[»~), описывающую градиент вероятности вблизи границы те1(»о»о) = ~/— а/я »8(»,) В(»,) + У 2 ~.(»,) — 2Ы(»,) зи (18.129) согласно (118), (119), (!28). Все члены, кроме первого 5/а, здесь можно не учитывать, если выполняется неравенство »1в К аз(»~) 4ог >> 1, т. е.
1 —,1', >> о оаео (18.130) 32 ззк. з!! В самом деле, при етом условии уже второй член будет зна- В чительно меньше первого: — (( —, поскольку В - —, как зто ао а' Аов ' видно из (124). Остаегся лишь определить Функцию р(г,), которая является как раз самой важной, поскольку искомая частота (76) вследствие (116), (1!8), (122) выражается именно через иее: о к г л= —,, 1 (03(,)л,. (18.131) Чтобы отыскать 6(г,), используем отмеченное ранее условие близости плотности распределения (118) к стационаРному распределению (108) в местах наиболее вероятных значений. Сопоставление формул (108) и (129) (где учнтываетси лишь первый член) непосредственно дает .в и а(г,) (18.132) Согласно (131), (!28) получаем, следовательно, формулу для частоты достижения границы Л = — )~ — ) ехр (с — —,ЛУ(гы О)~ )г 1 — — А' ясЬы (18.133) Аоя з,<о Интегрирование здесь следует проводить лишь по тому отрезку полупрямой г!<О, где выполняется условие (130).
Этого вследствие (110) вполне достаточно для определения Л, если только Л,/ныв не слишком мало. В самом деле, в нашем случае функция У(2„0)/К очень быстро меняется, и в интеграле (133) область значений г= — Ао не является важной. Более того, существенный вклад в интеграл дают ли!аь узкие участки, примыкающие к точкам, где потенциал У(г!, О) имеет минимальные значения. Если принять во внимание вид потенциальной функции, изображенный на рис. 18.10, то легко придти к заключению, что такими точками могут быть лишь две точки, а именно экстремальная точка Р,, если она имеется, или начало координат.
Точка Р, характеризуется координатой г! = — Азн! (см. (114)) и потенциалом (115), Вблизи этой точки ход потенциальной функции приближенно можно представить У (г„г,) = ((з + — 3, (г, + А,а,)з — — йз'гзз, (18.134) где 3,= —.' (3 ая' — 1'; 3,' = — '' (1 — ая') ) О. (18.135) 498 — величины, играющие для точки Р2 такую же роль, что и «жесткости» (15) для точки Р, (ср. (111)).
Подставляя (134) в (133) и производя интегрирова- ние в бесконечных пределах, что возможно в силу усло- вия (110), получаем 2ов — ~и, (18А 36) Если использовать выражение (112) для У, то будем иметь 1 2 а 2 к~ив уи Л= — ( — о'Ь ') е где — 3'92' = ( —,' ) — ',— (а,2 — 1) (1 — а,'). (18.137) С увеличением амплитуды внешнего воздействия Е722А», т.
е. с уменьшением Зр,.точка Р2 (рис. 18.10) поднимается все вь1ше, Если внешняя амплитуда не слишком велика, тад что точка перевала Р2 лежит ниже точки О (т. е. если 02<0), то подавляющее большинство срывов синхронизации происходит по дну желоба, через точку Р2, что и учитывается формулой (137). Однако при значениях Зр=3,8, т. е. —,, = —,' =0,135, (18.138) точка Р, имеет тот же уровень, что и точка О, т.
е. 02=0. В этом случае следует учитывать возможность пересечь полупрямую г1 < О, (а2 = 0) вблизи начала координат. Если раньше в подавляющем большинстве случаев антисннхронная фаза 1р=п достигалась при амплитуде А,а2, то теперь эти случаи становятся такими же редкими„ как и те случаи, когда антисинхронная фаза достигается с очень малой амплитудой.
При Зр<3,8 подавляющее большинство срывов синхронизации осуществляется именно через малые амплитуды. Подобные срывы фазы выглядят так: амплитуда колебаний флюктуационным образом уменьшается почти до нуля и спустя некоторое время возрастает, приобретая прежнее 32" 499 значение. Если проанализировать кривую колебаний за тот отрезок времени, когда амплитуда была мала, то окажется, что в некоторых случаях имеется лишний илп недостающий период. Однако вследствие малых амплитуд в момент срыва синхронизации эта аномалия мало заметна, и поэтому такие срывы представляют меньший интерес.
Для полноты изложения, однако, приведем формулу для частоты таких срывов з Л=я 'Ф ЗЗ' ~2.,бз) е « . (18.139) Она получена путем подстановки У(г, О) = — —, ~,Ея, 1 в интервал (133). При 3<Зр<3,8 возможны срывы синхронизации обоих видов как через амплитуды А,ам так и через малые амплитуды, причем преобладают последние, При еще больших синхронизирующих .амплитудах (Зр<З) вообще не существует каких-либо преимущественных амплитуд в момент, когда колебания имеют антисинхронную фазу; чем меньше такая амплитуда, тем больше ее вероятность. Этому соответствует то, что уравнение (!13) имеет лишь один вещественный корень.
Послед. няя из преимущественных амплитуд антисинхронной фазы имеется при Зр = 3 и равна Аз = Ао/~ 3 = А~/2, однако практически она уже потеряна в общей массе срывов, осуществляющихся с другими амплитудами. Возвратимся к случаю, когда Зр имеет не слишком малые значения и когда антисинхронная фаза, как правило, достигается при амплитуде Аз = Аааг(Ао > Аз> >Ао/г' 3; А~>Аз>А~/2). Если фаза ~р=п достигнута, то в дальнейшем в половине случаев фаза вернется к синхронному значению попятным движением, а в другой половине случаев — сползет с седловой точки в другую сторону и в итоге, описав петлю вокруг начала координат, получит приращение 2п. Поэтому частота скачков фазы на 2п равна Л/2.
Аналогично этому частота скачков на — 2п равна той же величине. Общая частота скачков, следовательно, есть Л. Если, как и в предыду щем разделе, перейти к коэффициенту диффузии для числа периодов, то будем иметь 1 ь'в'з '-' «'ш ~' (18.140) Эта формула является обобщением на случай больших амплитуд сннхронизирующего воздействия полученного ранее соотношения (99), взятого при Л=О. С появлением отличной от нуля расстройки число срывов сянхроиизации быстро возрастает. Закончим настоящий раздел кратким приближенным рассмотрением случая больших расстроек Л вЂ” Ь,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
