Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Учитывая (44), его можно записать в виде та(и) =((6) — о'р д~ + х дио ' (19.45) ляет собой колебания с фиксированной амплитудой й и фазой, испытывающей случайные блуждания: 1 (1) = Ь з!и (2а,1 + ф (1)); (ф) = О, (фф,) = х6 (т), (19А8) Для применимости стохастических методов теперь требуется достаточно энергичные блуждания фазы, т. е.
большое к. Нужно, чтобы в течение времени порядка 1/вой накапливался сдвиг фазы, значительно превосходящий и, иначе говоря, происходила полная смена фазы ф. Вследствие принятого вида корреляционной функции ()Ф,~ указанное условие дает — "„» 1. (19А9) Корреляционную функцию (11,) нетрудно вычислить, зная характеристическую функцию фазового приращения за время т: й( ).=( р(к )Фй$)- ', «>о), «эл1 В результате усреднения по случайной начальной фазе выпадет член, вибрационно зависящий от времени, и мы будем иметь (Ы,)= — (сов(2«л+ ф,— ф)).
Но поскольку соз (2аат+ ф, — ф) есть реальная часть от ехр 1(2в,т+ у,— ф), последнее выражение удобно вычислить, умножив (50) на е ", взяв действительную часть и положив и = 1. После этого получим 1 — — (19.51) Найденной корреляционной функции соответствует спектральная плотность (19.52) 515 Подставляя (52) в (44), находим критическое вату. хание .,заз г зз з ~1+ +94, ~. (19.53) Интересно сравнить полученный результат с критическим затуханием (33) для случая слабых блужданий фазы. Ограничиваясь значениями н (< 8ыз, согласно фор. мулам (33), (53) имеем следуюшую зависимость крнти. ческого затухания от х =— ила 1 — — при х((1, — при х)) 1.
(19.54) Найденная асимптотическая зависимость при малых и больших х изображена на рис. 19.2. Для промежуточных значений теоретический анализ затруднителен, однако, совершенно очевидно, что истинная неизвестная криЯза вая должна осущест- влять плавный пере! ход от одной крайней ~-М зависимости к другой. 'г Примерный ее ход поду казан на рисункепунк.
Б тиром. Разобранный при- мер позволяет просле- ,Х г' (з „ х дить переход от строго гармонических колебаРис. 192. Зависимость критического ннн параметров затухания от интенсивности ааужда к флюктуационным ния фазы. дрожаниям, При этом спектр колебаний параметров расширяется, будучи сначала дельта-образным, достигая затем ширины порядка (гт) ыо н потом приобретая значительно большую ширину. Нестабильность колебаний параметров монотонным обрааом ухудшает условия параметрического возбУждениЯ, ПосколькУ б„р УменьшаетсЯ, длЯ возбуждения требуется все меньшее затухание в системе, 4.
Одновременное присутствие как гармонического, так и флюктуационного параметрического воздействия Поскольку мы интересуемся основным параметрическим резонансом, который описывается первым приближением в стандартных уравнениях, то частоту т гармонической составляющей мы будем предполагать близкой к 2ооо. Если рцсстройку обозначить (19.56) а=2юо то указанное условие можно записать йооо (( мо.
(19.57) В (55) мы не выписали произвольной начальной фазы колебаний, что связано с выбором начала отсчета времени. Вывод стандартных уравнений производим почти так же, как в первом разделе. Единственное отличие будет в том, что фазу определим несколько иначе, а именно, вместо (7) положим х= Асов( 2 о + ~), о /ч х = — — А з!и ( — о + т) . 2 12 (19.58) Тогда вместо уравнений (12) будем иметь и= — й (т) +, [оооо — — + мо%1з1п (М+ 2~Р), (19.59) 1 Г оо 9 ~ооо 4 + "о 11~1+сов(от 4-29)1. 517 Перейдем к тому случаю, когда изменение параметров содержит как строго гармоническую составляющую, так и относительно широкополосную флюктуационную компоненту. Спектральная плотность функции $(1) при этом имеет двойную структуру, а именно, содержит дискретную линию на фоне непрерывного спектра.
Обозначая флюктуационную составляющую через ЬЩ, имеем 1(1) = Ь з1п о 1 + [ (о). (19.55) Подставляя сюда (55) и отбрасывая вибрационные члены, получаем уравнения и = — 6 (~) + — ' соз 2~Г + —,' ( (т) з1п (и~ + 2~); р ' 4 з1п 2р+ — 'с (г) [1+ соз( г+ 2у)[, (19.60) Здесь произведено упрощение коэффициентов путем использования неравенства Л((газ Последнее позволяет приближенно полагать чз иоз во м — — же Ь вЂ” ж —.
0,$- 0 Мы рассмотрим тот случай, когда флюктуации Ц!) сравнительно широкополосны, т. е. когда их время корреляции мало по сравнению с временем релаксации фазы 1 ~~'о (19.61) Тогда к уравнениям (60) можно применять стохасти ческий подход, аналогичный тому, который был изложен в разделе 3. Флюктуационные члены в (60) точно такие же, что н в (12), разница лишь в том, что в роли в(1) теперь выступает Ь(1). Разобьем каждый из этих членов на две части: среднее значение и флюктуационный добавок +Г (т) зги ( ~ + 2т) = пг, [- ~, ((), +Г(~) [1+соз(т~+2т)[=та+ "з(~).
(1962) Ь а~о = — + из — — з1п 2у -'- 1м '2 а Средние значения лть тз, а также коэффициенты интенсивности Кь Кз процессов ~ь ~з определяются точно так же, как и раньше в равд. 3. В формулах (37) — (43) следует лишь заменить $(1) на Ц1). Приведем здесь важнейшие нз соответствующих формул; 618 Уравнения (60) при этом принимают вид и =т, — 6 (г) + 4' соз2~+~„(19.63) 8 х(2еа) + ~ !(дав (а) 1 от Кх = — а ~х (0) + — х (2мо)1 (19 64) пт,= —,' (~(Е) з1п(хЕ+2р))= — 'х(2мо), где н(оа) — теперь спектральная плотность случайного процесса ь(().
Интенсивность обоих процессов Ь1 и Ьх одинакова К, = К, = К = — ' х (2юа) (19.65) в том случае, если затухание б постоянно во времени и если Ь(1) не содержит низкочастотных составляющих (х(0) =0). Зля простоты мы будем предполагать, что имеет место именно этот случай, а также, что ого=О, хотя отказ от этих ограничений не вызывает осложнений. Так ненулевое значение гпо всегда можно отнести к члену Л/2. Усреднение первого уравнения (63) дает критическое затухание охр=ш,+ 4' (соэ2в). (19.66) Чтобы полностью его вычислить, следует найти (соз 2р), пользуясь вторым уравнением (63). При выполнении условия (61) процессы ьь ьр в (63) можно представить как дельта-коррелированные (с корреляционной функцией КЬ(т).
Тогда уравнение для фазы будет эквивалентно уравнению Фоккера — Планка ( )= — — Г( — — — "ып21)та И)1+ дт(( 2 4 (19.67) Зто уравнение с точностью до обозначений совпадает с уравнением (18.44), встречающимся в теории синхронизации. В 5 18 было найдено стационарное решение такого уравнения. Используя условие периодичности и применяя тот прием, который привел к выражению (18.52), получаем стационарное решение указанного уравне- ния та (р) = — ехр [ — ~Ьр + — соз2Г)1 Х Г1Г а, М )К1 4 Х ) ехр[ — — (Ь)+ — 'соз2ф)1г~ф.
(19.68) Полученная стационарная плотность распределения является периодической с периодом и. Постоянная У определяется из условия нормировки г ) та(ог) Ф~.=1. о (19.69) Последнее дает к о+т Дг=2) гбао ) ехр[ 1 (Ьу — дГ+ -(- — ' соз 2~г — — ' соа2ф)] Ыф. 4 4 Вводя переменную Х=) — у, имеем к к йУ = 2 ) ) ехр [ — —,. у + о о (19.71) 520 + —,„'. з1пуз1п(2Г+у)~аМХ. Записывая результат интегрирования по е через функцию Бесселя и вторично делая замену переменной о и и у —, — у при О <у < — и у — у — —, при — т (е, приходим к результату %=2я ) е " '7о ( — ~з!пу)Ыу:= о = -"-.М".к'Г Ь который аналогичен (18.53).
Здесь о= —. 2К ' Чтобы вычислить стационарное среднее значение косинуса (сов 2ф ), входящее в (66), остается произвести усреднение с весом (68). Представляя его в ниде сов2ф=сов(2ф+х — х) =— = сов хсов(2ф+ х) + в1пхв1п(2р+ х) и заменяя в (68) ф на ф+Х, будем иметь (сов27)=2~сов2фта(ф) Ыф = о = — ) [ [сов х сов(2р+Х) + в1пХЫп(2р+ Х)[ Х 2 1 оо Х ехр~ — К Х+ 2К'ЫпхЫп(2Р+Х)~Нфса (19.72) Учитывая, что функция сов (2ф+Х) меняет знак, нетрудно убедиться, что при любом значении х следующий интеграл исчезает: "оо сов (2ф+ Х) ехр ~ — ! в1п Х в1п(2ф+ Х) [оф= 0.
о Поэтому в (72) следует принимать во внимание лишь второй член к и 2 Г (сов27)= ~ ) ) в1пхв1п(2р+х)х оо Х ехр ~ — К Х+ —,.' в1п ХЫп (2ф+ Х)~~ФХ (19 73) Если сравнить последний интеграл с (70), то легко заметить, что его можно получить из (70) дифференцированием по Ьоо/2К. Следовательно, искомое среднее значение просто выражается через функцию (71) (сов2ф)= — а —— Р( оК, —,кд.), (19.74) где Р(к, д)= —,— „!пЛг(г) = 1 (19.75) 621 Таблица 19.! Классификации частных случаев при одновременном гармоническом и флюитуационном изменении параметра Ь вЂ” Ъ1 2К Ь вЂ” -1 2К Ь вЂ” 11 2К 1.
~ )2. 3. 2Л 2а 2л «1 «1 «1 4. 5. 2З 2Ь вЂ” -1 — ))1 аео Лео ае. 4К >> Лив 8. 2З Ии 7. 2з Лео л~в 4К -' 11. 2а Ьа 10. 2з — Ъ1 а" и Лио 4К « Пользуясь свойствами цилиндрических функций, последнюю функцию также можно записать в виде Подставляя (74) в (66) и поделив обе части равенства ео2х (2ео) на К= — з, получаем искомое критическое затухание в форме К 4К 14К ' 2К)' Для получения численных результатов можно пользоваться таблицами бесселевых функций мнимого аргумента н мнимого индекса, через которые путем дифференцирования выражается функция Р(г, д).
Кроме того, в различных частных случаях могут быть использованы различные асимптотические выражения для цилиндрических функций. В этой связи существенны соотношения между аргументами цгое/4К, /2/2К и единицей. В зависимости от величины Ьое/4К мы имеем три различных случая: 1) относительно большая амплитуда гармонического воздействия (йюе/4К >) 1), 2) средние амплитуды (/гюе/4К 1) и 3) относительно большие шумы (/го22/4К « 1). Независимо от этого по величине Л/2К можно произвести разбиение на случаи малых, средних и больших расстроек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
