Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Классификация различных частных случаев приведена в табл. 19.1, где указано 11 различных областей (область 9 допускает разделение еще на 3 подобласти). Начнем обзор частных случаев с больших амплитуд л)) — (области 1 — 5). 4К ~0 В областях 1 — 2 можно пользоваться асимптотическим представлением функций Бесселя Уь;д (1з) =, е (19.78) тГ'2т:х При больших индексах !7)> 1 (в областях 3, 4, 5, 8, 11) можно пользоваться формулой (18.57). Кроме того, в областях 3 и, частично, 4 можно заменить функции з гт'! ()у), гт'! ()у),1 у=, ) на асимптотические !и (~! рн — 4') ' Б выражения, пригодные при больших аргументах у)) 1, что приводит к формуле Уем(и) = еч' ~"'Я' ! о= 4, (19.79) 2що 4 Она включает в себя (78) как частный случай, если учесть, что выбор значения функции Агс18о=агс1 о или — п+агс1но определяется знаком индекса + !д.
Подставляя (79) в (75) и дифференцируя, находим Р(з, !7) = — '3~ я' — !7г — —, .;. (19.80) я 2 2~ — 4'-' Следовательно, критическое затухание (77) определяется приближенной формулой акр а~о ъ/ /2ь!з ! ! (, а"0 ~ справедливой в областях 1, 2, 3 и, частично 4. Основной член в (81), дающий б,р — — т' (Ь0„)' — 4Ь'/4 имеет нефлюктуационный характер и может быть получен на основе простой теории, не принимающей во внимание флюктуацнй. Следующие два члена обязаны своим существованием случайным воздействиям и описывают смещение границы области параметрического возбуждения вследствие флюктуационных толчков.
Из формулы (81) видно, что с увеличением рас- 2Ь ! стройки Ь (точнее относительной расстройки — ) паамо раметрическое возбуждение все более затрудняется. /2Ь!з 1 Присутствие флюктуацнй сначала при ( — ~ ( — не( лло~ 2 523 сколько способствует возбуждению, а затем при боль- 22Ь 1з 1 ших расстройках ~ — ) ) — ухудшает условия воз~ ьо~ 2 буждения, вызываемого синусоидальными колебаниями параметров. В области 4 особое место занимает случай значений 2Л/йво, близких к единице. При этом формула (81) теряет свою годность.
Между тем именно при таких значениях вклад первого нефлюктуационного члена (8!) становится сравнимым с вкладом других членов, иначе, роль гармонического изменения параметра в процессе возбуждения уменьшается настолько, что становится сравнимой с ролью его беспорядочных флюктуаций.
При еще больших расстройках 2а — 1 — 1 ао роль синусоидальных колебаний параметров становится меньше роли их флюктуационных изменений. Переходная область 2Ь вЂ” — 1 ((1 а~о составляет лишь малую долю всего диапазона 2Л/йеза — 1, входящего в область 4, поэтому мы ~не будем ее подробно анализировать. При желании это можно проделать и при помощи формулы (18.57] получить выражение для б„р/ К в виде комбинации цилиндрических функций индекса д= '/з и их производных, которая равна логарифмической производной от выражений (18.60), (18.63) . При значениях — — 1>1, 2Ь "~о т.
е, в остальной части области 4 и в областях 8 и 1! аргумент цилиндрических функций индекса '7з значительно превосходит единицу, и для них можно брать асимптотические выражения. В результате мы имеем Уэ(ы)1 „щ=( " ) /НЧ('д'),'„а98ч з (уи = ~I с/з — г'), и поэтому 524 1 а 2 э — Ф р,р ! 1 у ~' о (о)о (19.63) (19.65) в областях 1, 6, 9.
Второй член является доминирующим в облаети 1. Пользуясь соотношением вытекающим из асимптотическнх формул, выделяем в областях 5, 8, 1! и, частично, 4. Если сравнить последнее выражение с (81), то можно видеть, что его отличие лишь в отсутствии первого члена. В промежуточной области (2Л/йооо)о — 1«1 цилиндрические функции плавным («аналитическим») образом осуществляют выключение указанного члена.
Единица, стоящая в правой части (83), имеет простой смысл, она дает то значение для отношения Ь„р/К, которое было бы при отсутствии синусоидальных колебаний параметра. Второй член — 1!! — ) — 1з! описывает 2 !! ао'о l влияние синусоиды. Наличие синусоиды вносит изменения в эффективность имеющихся флюктуаций, увеличивая их способность давать возбуждение. Однако даже и такое стимулирующее влияние сходит на нет с уменьшением амплитуды Ь или с увеличением расстройки Л. В областях 5, 8, 11 им можно пренебрегать. Доминирующая роль, которую играет синусоидальное изменение параметра в области 1, утрачивается не только вследствие увеличения расстройки, но и в результате увеличения шума или уменьшения амплитуды Ь, т.
е. при переходе в область 6 или 9. Рассмотрим относящийся к областям 1, 6, 9 случай нулевой расстройки, когда имеют место наиболее благоприятные условия для параметрического возбуждения колебаний. Полагая в (75) или (76) Л=О, о7=0, находим гт(г, О) = '( ) (19.84) оо (р) и формула (77) приобретает вид Вор Лооо '~ 4К') — "Р— 1 +— К 4К ~Мо) в (85) основной нефлюктуационный член и главнук, шумовую поправку, которая вносит относительно малые искажения: кр 0 К вЂ” — 4К + — 2 (в области 1). (19.86) При уменьшении амплитуды синусоиды или увеличении шума второй член в правой части (85) уменьшается и делается сравнимым с первым чисто флюктуационным членом.
При дальнейшем уменьшении амплитуды он начинает играть уже подчиненную роль. В области 9 основную поправку, обусловленную синусоидальными изменениями параметра, можно записать в более простой форме — =1+ ~ (4 ) . (1987) Зависимость критиче- ского затухания (85) от отчо ношения Ьсоо/4К представлена на рис.
19.3. Обе причины: и гармонические, и 05 ~ /о г лаа флюктуационные колебания Фх параметра — способствуют Рис. 193. Квитическое аатУха- параметрическому возбужние при нулевой расстройке. дени ю. В областях 9 и 1О, как и в обла,стах 5, 8, 11, роль гармонического параметрического воздействия очень мала. В самом деле, функция Р = (сов 2щ) не может превосходить единицу, а стоящий перед ней в (77) малый множитель делает второй член значительно меньше,чем первый чисто флюктуационный член Для областей 5, 8, 11 достаточна та~ простая теория> которая излагалась в равд. $. Труднее всего для исследования срединная область 7, в которой не пригодны упрощенные асимптотические выражения.
Здесь следует пользоваться непосредственно формулой (75), определяющей г" (зо д) через функции Бесселя мнимого индекса и мнимого аргумента. 6, Плотность распределения амплитуды. Влияние нелинейности Ранее мы интересовались условием параметрического возбуждения колебаний, которое имеет вид (й) ( ЬМ <б„р. Однако изложенная теория позволяет получить более полные сведения, касающиеся амплитуды колебаний в параметрической системе. Обратимся к уравнениям (12), (47).
Если интересоваться поведением системы в 'ечение временны~к интервалов ~К значительно превосходящих время корреляции случайной функции Ц()з)п (2!ааГ+2!р) (а также функции б(1), когда она представляет собой случайный процесс), то первое уравнение можно записать в форме и= .,— (Ь)+1 И), (19.88) содержащей дельта-коррелированный процесс $!(1) интенсивности (46). Уравнению (88) соответствует уравнение Фоккера— Планка, (45). Если в момент 1=0 величина и фиксирована (и(0) =ив), то плотность распределения ж(н, 1) в любой другой момент времени получается путем решения указанного уравнения. Такое решение, как известно, имеет вид 1 та(п ~) '2 Кс Х Х ехр( —, [и — и~ — ('«р — ( )) ~Р~ (19 89) ! Простой заме!ной переменной и=1пА переходим от логарифма амплитуды к самой амплитуде колебаний и получаем закон изменения распределения амплитуды в параметрической линейной системе 1 (А, г)=,,— 2„А- Х Х ехр ~ — ~,1п'~ — е ")~ (19.90) (7 = В„р — (8), Ад = е"').
Зафиксировав любой уровень А = Ь, можно доказать, что вероятность неравенства А (1) > Ь с возрастанием 1 стремится к единице при Ь„р — (6) ) 0 и к нулю при 6,р — (ь)<0. Следовательно, условие (6)< 3„р действительно является условием возбуждения, а противоположное неравенство — условием параметрической устойчивости. В чисто линейных системах ~невозможен стационарный режим параметрических колебаний. Колебания 527 в них будут или неограниченно возрастать или убывать до нуля. В практических системзх, конечно, невозможно беспредельное возрастание амплитуды колеоаний. В них произойдет либо ограничение амплитуды не- линейностью, либо разр;шение системы. Соответственно первому случаю, вводя нелинейность, можно вычислить стационарное распределение амплитуды, В качестве примера нелинейной параметрической системы рассмотрим автоколебательную систему, описываемую уравнением К1 дам(и) 2 дик (19.94) которое имеет стационарное решение тв (и) = С ехР ( —, (дкр — 8) и — —, екк~ .
(19.95) 1 1 у--,' 2[3+аук[у+а1 '[1+1(д)! у=0, (19.91) (а ) 0). Переходя к переменным и и ч1, которые определены равенствами у=е" соз(и1,~+ у), у= — а1аек зШ (а1,д+ 18), (19.92) обычным способом получаем укороченные уравнения и = дкр — 3 — аеак + 11 (д), 18 = из + 1к (д). (19.93) В предположении, что процесс 1(д) имеет достаточно малое время корреляции тк,р(( ~з а~, т„,р((Тр„, слу- 1 кр чайные функции $„1к можно считать дельта-коррелированными (1А.)=К 8( ); Яр,)=Ккд(к).
Величины дкр, т„К„Кк здесь определяются по прежним формулам (40), (42), (44), (46), (К1 = дкр = = — "' к(2м„)). 8 Первому уравнению (93) соответствует уравнение Фоккера — Планка ~ (и) = — ди [(йк, — ~ — "'") ~(.) [+ д Переходя к амплитуде колебаний А=с" и определяя нормировочную постоянную С, получаем стационарное распределение амплитуды 5 3 а то(А)= ~ ' )' к А к е к, (1996) г(1 — — ) ~ Здесь использовано равенство 3„р-— — К,.
Найденное распределение с точностью до обозначений совпадает с плотностью распределения (16АЗ), которая изображена на рис. 16.2. В том случае, когда 6 (( Кь распределение (96) мало отличается от релеевского. Выражение (96) имеет смысл лишь при условии параметрической неустойчивости К~)б. В противном случае указанное выражение дает в нуле (А=О) неинтегрируемую особенность, которая означает, что и(А) следует брать в виде б(А). В реальных случаях, конечно, амплитуда при условии устойчивости параметрической системы не может в точности равняться нулю вследствие наличия флюктуаций непараметрической природы. Эти флюктуацин добавляются в уравнение (91) в виде аддитивного члена и они вносят некоторый минимальный разброс амплитуды даже в устойчивом состоянии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
