Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Заменяя в последних выражениях индексы 1 и 2 друг на друга, будем иметь о'1 'оо «о 1 12 оо ("'с '"о з) "о (ос "'о) — =. оо1'ооаоо ~ 1б й'(-.)= — ",' х Х ~ '(' ' И ), . (19.11З) ! о~ (сос ооо З) оо (оос ооо) )В ооооооао Когда амплитуды и фазы сигналов не вполне постоянны, приведенные результаты справедливы, если время их изменения значительно превосходит постоянные времени Т,, Ть 2. Перейдем к тому случаю, когда напряжение Е~(() содержит, кроме гармонического сигнала, флюктуационную составляющую $((), имеющую спектральную плотность 3[5, е4.
Флюктуации В(() могут попадать в схему вместе с гармоническим сигналом, могут порождаться в омическом сопротивлении Иь как тепловые шумы, наконец, могут возникать вследствие флюктуаций тока, протекающего через переменную емкость, т. е. порождаться этой емкостью. То же самое можно сказать о втором контуре. Все указанные причины нарушают стабильный режим колебаний, приводят к отклонениям от стабильных значений (110). Согласно (103) эти флюктуации описываются уравнениями: (19.114) ',*+ йогоо — — "йоЕ "',=0, чт где 1'(г)= — )е о '1(г) — случайная функция, имеющая корреляционную функцию (Л',) = е'""(11,) 537 и спектральную интенсивность 3 (Г, а) =2) (Л,'")е'"'~6=5 11, а+аД, (19.115) Представляя в (114) процессы яь яш к' в форме спектральных разложений г, (1) = — ( е' 'а, (ш) Ыа, га (1) = = ~ е' 'яз (ш) г(а, 1' (1) = = [ е' 'Г (а) г(а т~% и приравнивая в этих уравнениях спектральные компо- ненты одинаковой частоты, получаем (1 +8)г (ш) — — "' Ьгзи(Ь вЂ” )=~Г( ), [ — с (Ь вЂ” а) -1- 8 ] г2" (Ь вЂ” а) — — Ь "а, (а) — О.
41 Отсюда находим соотношения г,(ш)=а, ' ( ) 1 (а); а, (н) а2" (Л вЂ” ш) — 18 а1мфоз а~* (Ь вЂ” ш) са (ш) 18 ш~шФоз аналогичные (110). Здесь а, (2) = 8, + 12 ш (о) — Ьз т (о Следовательно, для спектральных интенсивностей имеем — 'б 1б ~ Б (Г, Ь вЂ” а). 1бт~ "'! ., (а . ) „ (ш) - †,', ...,И,4 ' Чтобы найти флюктуационный спектр колебаний х,= =йе я~е ', следует воспользоваться формулой (7,13). Учитывая также (115), искомую спектральную плотность 538 можно записать пря помощи коэффициентов усиления (1П)-(113) Я [(„а] =-а'С,'Я [х„а]. 3.
Помимо аддитивных флюктуаций, входящих в Е» Еь возможны параметрические флюктуации, т. е. флюктуационные изменения функции НЯ, Поэтому будем полагать НЯ = Ио з(п(»Г+ ~)) + 1(1) (19 118) Как отмечалось ранее, на процесс колебаний существенное влияние оказывают спектральные составляющие флюктуаций ь(!), лежащие в четырех областях вблизи частот О, 2а1,! а1 — аэ [, а1+аь Когда флюктуацнонные воздействия не слишком интенсивны, эти области можно рассматривать порознь, а затем суммировать спектральные плотности флюктуаций, обусловленных различными областями, а также напряжениями Е1 Еь Рассматривая лишь флюктуации ~, (1) в полосе частот ]а — а,— а,]((аьм мы можем отбросигь члены Г.(2), Г(1)е '"', Г(~)е ' * " в (103).
При этом будем иметь + 2» (~)х2 (19.119) + ~ ~ 4 ' 2 4т 2т ]=Ий( )8 [! а] 8 [ха а] = lгз, (ч — а) 8 [$, ч — а]. (19.116) Таким же способом исследуются флюктуации, порождаемые шумовой электродвижущей силой во втором контуре Ег(!). Они создают флюктуацни тока, спектральная плотность которых определяется формулами, аналогичными формулам (! 16): Б [х„а] =И~ (ч — а) Я~[Ем» вЂ” а], Б [ха ] =ИЗ ( ) Я [Е„]. (19.117) Чтобы получить выражение непосредственно для тока в первом контуре, достаточно учесть, что 11 — — С,х, и сле- довательно где Г.'=(е К "'*': — случайная функция с корреляцион- ной функцией и со спектральной плотностью (19.120) ~ [~ 1 3 (~ и+21+ 221' Влияние параметрических флюктуаций, описываемых членами Ь'а2*, Ь'рг1 в (119), проявляется в двух отношениях.
Во-первых, они изменяют среднее значение комплексной амплитуды колебаний (г,), (г2), во-вторых, они приводят к дополнительному флюктуационному разбросу вокруг этого среднего значения. При исследовании первого эффекта будем предполагать, что спектральная интенсивность остается приблизительно постоянной в узкой полосе частот 1 "2~ 72 2 Это обстоятельство позволяет считать время корреляции т„,р функции ~'(7) в (119) много меньше, чем время релаксации Ть2, характеризующие быстроту изменения а|мплитуд (т„,р « Ть 2). Усредняя уравнения (119), имеем ( ) + а (я ) — — ~п 72еа~(г 2)— = — ",' Ее"'-'-,'У (С'г22); 2 2 (19.121) (~2 ) + ~2(~2 ) 4 ~ Е (~1) ( *~1) 4у ' Ху Чтобы вычислить средние (Газа), (Г г,), используем метод, примененный на стр.
360 †3, который основан на указанном условии т„,р « Ть 2. Подберем временной сдвиг Ь, такой, что т„,р « Ьр « Т, 2. Вследствие первого неравенства т„,р « Ь, корреляции между 1'(7) и я22(7 — Ь,) отсутствуют, поэтому (~ (7)з22(7)) = (Г, (7) (я22(7) — а22(7 — Ьо)]) (!9122) 540 11алее за время Ло амплитуды не успевают существенно измениться и при интегрировании второго уравнения (119) можно полагать ~2 (~) ~о (" бо) 82~2 о + + 4 1Ре а Ь+ 2' г, ) 1' (1)И. (19.123) 1 Подставляя (123) в (122), получаем о (~ ао ) 2 (г~) ) (Г С ')от+0(бо) 4 (а1) где х = 2 ) (Г'Г,' ) ~ж = 2 ) (Е,) еи '~ '" Ы с = = 2 5 [с, е,+ еД+2ю~ (Г„)з1п(а,+во)т~К (19.124) Аналогично для второго члена (~~*а ) 1т(я а)„»: Вследствие этого уравнение (121) приобретает вид (~ )(') 4 (о) 2 В (~о~) +(~о — В ")(г,а) — 4 Ь":е (г,) =О.
(19.125) Полученные уравнения отличаются от уравнений 1 (106) тем,что в них бь бо заменяются на 61 — — е1еох= — бь 1 б, — — ы1ыок*=бд. Принимая во внимание действитель- 8 ную часть этой поправки, приходим к выводу, что наличие параметрических флюктуаций приводит к уменьшению затухания контуров бь бо на величину 1 — ы1отеЯ~, ы1+во). Решение уравнений (125) анало- 16 гичне решению уравнений (106), разница лишь в том, 641 что в формулах (107), (110) — (! 13) следуе о а~(й), аг(й) заменить па 1 а,(!1)=о, — — и и а+И, "г(оо)=ог з арр' + И, (19 120) Так стационарные средние амплитуды (110) будут илгеть вид ( '>=( > "' — ' ' '), (19. 27) о! (Ь1) «г( — Зг) 1а Ф!огай -ир 1 ь,игИЕ* ' о,( — а,) ог(аг) — 1о гай Новые значения коэффициентов усиления (111)— (113), в которых аь аг заменены на аь аг, мы будем обозначать Фм, Йм, Ягг (ггг Перейдем к рассмотрению второго эффекта — дополнительных флюктуационных отклонений от средних амплитуд, которые вызываются параметрическими фл(октуациями Д().
Указанные отклонения обозначим оз, = з, — (з,); йзг = з — (зг>. (19.128) Можно доказать, что при малых флюктуациях из (119) следуют уравнения 3зго + йг8зг* — —," е "'8зг = — '(зг>(.' . (19.129) Найденные уравнения аналогичны (114). Разница заключается в том, что в них заменены затухания и флюктуационные воздействия присутствуют в обоих уравнениях, Совпадение будет еще более полным, если обозначить 1 (Г) = 1 (З о>(,'Е'*'~ = т (Зг' >1Е ' ' "' ' . $г(~)= — 2(а,)оГе'"и= —,' (а,'>о(е "о'.
(19.130) Этим случайным функциям соответствуют спектральные плотности 3 [1, сч] =+](х ) («3 [ч, а+ '! — с>с], (19.131) 3 [!г, а! = (, ((з!)(«3 ["., с + с»,]. Рассматривая стационарный режим колебаний, в последних формулах в качестве (г!' ), (зг') следует брать (127). Функции $с(1), $г*(1) можно считать некоррелированными, так как их корреляционная функпия, пропорциональная выражению (г( ) — (( -2и (! .
! в среднем по 1 исчезает. Пользуясь формулами (116), (117) с соответствующими изменениями, получаем вследствие (131) спектральную интенсивность флюктуаций Б [х, а] =7г(((а) — ~(ха)]'Я [С, в+ ч — ас].+ + 7гг (ч — а) —,, [(х!) [гЯ [Г, ч+ ас — со]; Б [хч а] =lг~~ч(ч — а) — [(хч)[ Я [»~ 2ч — ас в]+ + й' ( ) — [(х ) 1«3 [1 а+ а 1 Входящие сюда средние (з!), (хс) определяются по формулам, аналогичным (110). Записывая их при помощи коэффициентов усиления (111) — (113), имеем Я [х, а] =+ Е«7г~~ (с! ) lг! (о!) Я [", в + ч — а 1 + + — йг(((сч,) й! (ч — а) Б [1, «+ а,— в]; (19.132) Я [ха а] = т4 Егх' (ас) «г~! (» — а) 5 [с, 2ч — ас — а] + + г з гг([(('ч.) (ггг(а) 8 [( ".1- ас1. гзз Как видно из полученных формул, особенностью параметрических флюктуаций Ь(1) является то, что нх влияние пропорционально квадрату амплитуды Е усиливае- 543 мого сигнала.
На спектр флюктуаций вблизи частоты и, существенное влияние оказывают спектральные компоненты параметрических флюктуаций вблизи частоты т. Если в области частот, лежащей вблизи т и имеющей ширину порядка 6), бз или Л), Ль спектр ЯЬ, в) остается приблизительно постоянным, то в (132) можно все спектральные плотности в праной части заменить на 3(ь, ч). Интегрируя первое равенство (132) по частоте н учитывая (2.15), получаем дисперсию флюктуаций усиленного сигнала -(- — 3' ( ) ) 3' ( ) 3 ~ (19.133) о где Й~, (ы), йз( (е3), (9331 ((а) определяются выражениями (111) — (113), Параметрические флюктуацин дают, следовательно, постоянное отношение сигнала к шуму, независящее от величины сигнала: "(;*)3 =9991(3((, ) () 3'( )3 9- ьо аг ( а)( (999) о Присутствие других неучтенных членов в правой части уравнений (103) приводит к тому, что на флюктуационный разброс сигналов х(, хг оказывают влияние другие области частот в спектре $[ь, и).
Так благодаря члену Нг,е(("' ') появляются флюктуационные компоненты, интенсивность которых пропорциональна Я("„а)( — е33]. Для них могут быть выведены аналогичные же формулы. Принятые обозначения (1) — статистическое среднее значение (математическое ожидание) случайной величины Ц тв($) — плотность распределения вероятностей случайной величины (; П= (Р) — (Ц' — дисперсия случайной величины (; а(!) =г' и†среднеквадратичное значение величины (; (=((1); (,=((1+ с) — значения функции в сдвинутые моменты времени; К [(, ч] = (Ь~) — (Ц (ч) — корреляция случайных величин ( и ч; йа(г, ~') = К [((~), ((г')] — корреляционная функция; 8 [1, м] = 2 ) е' '(Ы,) Н~ — спектральная интенсивность стационарной случайной функции ((1); Я [~, ть и] = 2 ] е' '(Ь~„*) ~Й вЂ” взаимная спектральная интенсивность случайных процессов ((г) и ч И)' = — ~[ е ((1) пг — случайный спектр процесса ((1); 1.
[1, р] = ) е л'Г.ЯИ вЂ” изображение Лапласа; о егг(х) = Ф(х)==] е 'ду о ег$с(х)== ] е 'г(у 2 à — г* ,.,] х Р(х) == ] е ду 1 =,ы .] У' — интегралы вероятности ошибок; лл Рм+'> (х) = = — е ' — производные интеграла не~2~с Фх" роятности ошибок; ! — 1)з Н„!х) = „! ! Р!з+'!(х) — полиномы Эрмита; де = Кеи — Пизой — комплексно сопряженное значение комплексной величины г=йед+11!пи.
О бозначенин справочников: !. Е. Янке н Ф. Эмде. Таблицы функций с формулами н кривымн. ГИТТЛ, !949, 11. И, М. Рыжик и И. С. Градштейн, Таблицы инте- тралов, сумм, рядов и произведений, ГИТТЛ, !99!. 111. В. А. Ди ткни н П. И. Кузнецов. Справочник по операционному исчислению. ГИТТЛ, 195!. ЛИТЕРАТУРА Гла,ва 1 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
