Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Указанные обстоятельства — ограничения амплитуды нелинейностью в случае параметрического возбуждения и наличие минимального разброса амплитуд в случае устойчивости приводят к тому, что при переходе от условия устойчивости к неустойчивости не наблюдается качественного скачка, который был бы в идеальной линейной системе.
Такой переход характеризуется лишь более или менее заметным расширением распределения амплитуд, Это расширение тем более заметно, чем меньше аддитивные флюктуации. При большой нелинейности и большом уровне адднтивных флюктуаций расширение плотности распределения ш(А) при потере устойчивости может оказаться трудно отличимым от того расширения, которое имеет место при увеличенчи К~ в пределах применимости формулы (96). 6. Двухконтурные параметрические системы, Параметрические усилители Наряду с параметрическим возбуждением представляет интерес другое явление, используемое в радиотехнике: параметрическое усиление. Оно имеет место, когда 34 зак.
3/1 529 на параметрическую систему, находящуюся в устойчивом состоянии, подается внешнее воздействие, которое описывается в уравнении колебаний аддитивным членом, В этом случае энерпия параметрических колебаний («накачки») недостаточна для того, чтобы дать возбуждение, но она накапливается и передается усиливаемому сигналу. При гармоническом воздействии уравнение, описывающее параметрическую систему, имеет вид х+ 2ох+ оооо [1+ Ь з!п (И+ У)[х= =- — ооооЕ з!и (~о,~ + У). (19.97) При условии, что частота оо, близка к собственной ча- стоте ооо, а т — к 2ото. отсюда обычным способом подста- новкой (7) выводятся укороченные уравнения А= — 6А+ — Асов [(2»о — ) 1+ 2е — ф[+ иоа + — сов[("о — ао) т+ ~о —,![ ооЕ ооа » = — — 'з!п [(2~оо — о) ~ + 2р — ф[— 4 — — з!и [(~„— ~,) 1+ ~ — 7,[. шоЕ При отсутствии расстроек оо — ы, = 0; 2м, — о = О они принимают вид оа А= — оА+ — "Асов(2« — )) -1- + —,соз (7 — т), ~оЕ 2 (19.98) т = — 4 з!п (2у т) — — з!п(з — 7).
оо" . „ ~ ооЕ 2А Пользуясь ими, можно убедиться, что на процесс усиления существенное влияние оказывают фазовые соотношения между параметрическими колебаниями й з!п (»1+ф) и внешними колебаниями Е з1п (ы, !+у). При благоприятном соотношении ф=27 согласно вто- рому уравнению (98) устанавливается постоянная фаза ф=Х=ф2, и первое уравнение (98), приобретающее внд А= — (д — "4 )А+ дает коэффициент усиления А шо 1 Е 2 ~ооИ 3 —— 4 При неблагоприятных фазовых соотношениях (например, при ф=2х~ л) параметрические колебания не только не обеспечивают усиления, но, напротив, приводят к дополнительному затуханию в контуре и ослаблению сигнала. Так прн условии Е )) й имеем ф=т и ~~о 1 Е 2 в,,И Ь вЂ” 4 соз(2Х вЂ” И иф Г о>ОИ 1 В частности — = — ~5+ — '~ если 2у — ф=+ я. Хотя описанную зави- 1 симость усиления от фазы иногда целесообразно использовать в специальных С( устройствах, для общих це- ( лей неискаженного усиле- р(1 й1 ния сигналов она нежелательна, и от нее следует избавиться.
Это достигается применением двухконтурных параметрических систем. 12 На рис. 19.4 изображе- Рис. 19.4. ны два колебательных контура, которые связаны между собой переменной емкостью С(Г). На контуры подаются сторонние электродвижущне силы Е,((), Е,(Г). В качестве последн х может и сет выступать также электродвижущая сила тепловых шумов, возникающая в омических сопротивлениях йь 1г . 34" 531 При помощи токов 1ь 12, !, обозначенных на рисунке, записываем уравнения Кирхгофа 1 1 + К1 = — с >) (1 — 1) г(1+ Е, 1 Г 1 212+ 1~212 с ) (12 1 1) ~~1 ~ Е2 1 Г с(б ~ И1-)- с ~(1 — 1,)11+ с ~"(1+12)11=0.
Г ! Г 1 С,1 Обозначая из последнего уравнения находим ( с() + с + с")) 1'('=~ Поэтому первые два уравнении дают Х, + 2В,Х> + 2>,2х> = с Ю> 1 — с-(г)+СГ +с; ( )+ х,— х2 и>'Е„ х2+ 232х + 2>22х2 = С2 2> 2 1х х1 1 „,гЕ с (б+с '+с ш — „2=Е2С2, 232= — ', /А=1, 2). ( '= ' =М Ла Полученные уравнения можно также записать х, 4- м 'х = и 21 х2 + 2>~2х, = 2>,21„ где введены обозначения 1> = — —,', х, + тН (1) (х, — х,) + Е,; 12 = — — ', х, + — Н Я (х2 — х,) + Е; (19 99) 232 ' 1 с(9тгс с, „с, <'>=те,,-С~,.~с)гк' '= ) с, 532 Мы предполагаем, что переменная емкость С(1) не имеет большой постоянной составляющей, которая су- щественно изменяла бы собственные частоты ыь ыэ контуров.
В противном случае можно было бы вместо хп ха рассматривать их линейные комбинации, соответствующие нормальным колебаниям, и перейти к эквивалентной схеме того же вида, что и раньше (рис. 19.4), но с малой емкостью связи. Далее, переменную составляющую Н(1), а также бь бм Е„Еа, в свою очередь, мы предполагаем малыми, чтобы процессы хь ха были узкополосными и к ним можно было применять описанные ранее методы. В указанных предположениях комплексные ампли- туды (7.31) г,=(х,+,—.') е ' '; х,='(х,+ —,') е "' (19.100) 2И 2~~ будут мало меняться в течение периода — и — (э 7). Согласно (7.32) их изменение описывается уравнениями -ык = — е (х,+э,'х,)=- — )м,е ' '7;; 10~, (19.101 ) В качестве аргументов функций 7о 7, здесь следует брать — — ' а' х„= — и(г,е +г„*е а ), х„= — '," (а,е ' — а„*е а), (1=1, 2).
(19.102) При подстановке (102) в (99) учтем, что члены вила хае ' а не оказывают существенного влияния и нх можно отбросить. В самом деле, действия этого члена через полпериода взаимно уничтожаются, так как г"„' при этом практически не изменяется. В результате имеем х, + 8,г, = — — '" 1Н (г) г, + Не и '~а,"— — Не'' ' "" — Н '"'+ " *] — 'в Е е '"'. (19.!03) 1 ! Рдр — 2ык а,+й,г,= — —,' (Нх,+Не 'г,*— вт Н ыю шл1 Н ыи +Очи ж1 ' Е !юк 533 Из полученных уравнений видно, что на комплексную амплитуду г, существенное влияние оказывают спектральные составляющие функции НЯ, лежащие вблизи частот О, 2мь ~ 221 — 222(, 222 + 222, а также составляющие функции Е,((), лежащие вблизи частоты 22ь Первая полоса частот обусловлена уходами собственной частоты контура, вследствие медленных флюктуаций параметров.
Вторая полоса частот 2з=2ь2~ соответствует главному пара~метрическому резонансу. Оба эти явлеления охватываются теорией параметрических явлений в одноконтурной системе, поэтому мы не будем их рассматривать. Ограничимся рассмотрением полосы ь2= =222+о22 обусловленной исключительно взаимодействием двух контуров. 1. Пусть НЯ, Е,(~) близки к синусоидам частот в2 +аз н 42, соответственно НЯ =Фа(1)з!и [(м, + м2) т+ф(~)[, (19.104) Е, (~) = — Ео(т) зш [в,Е+Х(С)[, Е, (1) =О, Здесь 62(2), Ез(~), ф(1), т(1) — медленно меняющиеся амплитуды и фазы.
Записав синусы в форме 21пФ= —,. (е2 — е ' ) 22 и подставив в (103), убеждаемся, что большинство членов в правой части являются быстро меняющимися и их можно отбросить Оставляя лишь существенные члены, имеем а, +8,Я, 4 л(2) 82*+ ~ Е(2) (19.105) я2+ йзг2 = 4' й (2) а,*, 4т где Ь(1).=62(2) екн ', Е (2)=Е2(~) е"'" — комплексные амплитуды сигналов.
В том' частном случае, когда сигналы Н(~), Е, (~) строго гармонические с частотами 2, м, Н(~) = й221п(2~+",2); Е2 (т) = — Е221п(~,~+ то), уравнения (105) принимают вид (19.106) ~2 +~2~2 4 ~ Е ВО 4т 534 Здесь Ь=Ь,е'4', Е=Е,е", а через а„й обозначены расстройки о =м — и, Ь=т — а — м 1 с 1 1 г Заменой переменных ~г е ~г ( г й ~) эти уравнения обращаются в уравнения с постоянными коэффициентами: 4 г (19.107) 4т где а =а,(Ь,)=6,+6Ьо аг=аг(лг)=йг+Ъг. (19.108) Отыскивая решение полученной системы уравнений в форме сопз1ел, получаем для р характеристическое уравнение Р" + (а1 + аг )Р + агаг 15 Ьг = 0 Решая его, находим 2Р, г= — а| — аг" + ф7 (а, — аг*)'+ 4 ' Ьг', ПРи Иа — — 0 имеем Р~ —— — аб Рг= — аг*. Если Увеличивать Ьм то затухание в системе уменьшается, реальная часть одного из корней рь Рг по абсолютной величине становится меньше, чем 61, бг. При достаточно большом Ь,=И„р она обращается в нуль.
При еще больших зиа. чениях Ьг>Ь„р она становится положительной, что свидетельствует о неограниченном возрастании колебаний, т, е. о самовозбуждении. Из условия Кер=О находим критическое значение амплитуды «накачки» Иге — — 4 $/ — '„' ~/1+ ( + ), (19.109) соответствующее потере устойчивости. Параметрическое усиление должно производиться в устойчивом режиме, когдайер, (О и все переходные процессы затухают с постоянными времени Т ! 1,г — абер 535 В случае точной настройки частоты «накачки» на сумму собственных частот т=022+оз имеем А=О и 2 Т1, 2 1 У (,,) — „,,„2 "2 1 а « "' — — 01 ОО а 2 12)Е1 2 0 I — 1022 "'1 з (19.110) —;«Н 1 г2 =г2Е 02101«а Е*.
1 «1 «2 — 01101«а«2 16 Чтобы получить коэффициент усиления, следует взять модуль соответствующего комплексного выражения +-/ / —;,' ) ", 1„(.,2 12 (Е 1 2 0 Учитывая определение (108) величин аь аь для квадрата коэффициента усиления находим выражение "2 ('"О 011 а) 1 "1 (ООО 011) "2 (100 ООО а) (в 01101га02 02 2 з 2+ (ОО 021 а)2 4 1 (з1з2 — (е " "МР— ("'Π— ) ( ' — "'1 — а)1' + ~+ (з, (, —, — а)+ь«(,—,)р' (19.111) Лналогично получаем Х ! (19,112) «1 (ООΠ— 011) «2(100 — 011 — ь) — (ц 021012а«з ~ Когда с начального момента времени пройдет время г З Т,, переходные процессы затухнут и установится стабильный режим колебаний, соответствующий нулевым производным г2', г2' в уравнениях (107). Из них находим стационарные комплексные амплитуды вынужденных колеба1ний Таким же способом можно вычислить коэффициенты усиления прн подаче гармонического напряжения Ео(() = = — Еоз)п (оо,(+то) на второй контур.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
