Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 66
Текст из файла (страница 66)
К счастью, уравнение для фазы не содержит и(1) и его можно рассматривать обособленно от первого уравнения. Тригонометрический множитель соз (2во1+2~р) в уьа ванном уравнении, содержащий явно время, выделяет из функции ",(1) гармонические составляющие частотьь близкой к 2в,, В этом и заключается специфическая черта основного параметрического резонанса.
Чтобы рассмотреть ее в чистом виде, предположим, что функция $(1) имеет спектр, замезно отличный от нуля лишь в узкой полосе ~м — 2во! Ьо12 вблизи частоты 2юоЭ З) Лга. Тогда ее можно записать 1(~) = Ь (1) зш (2<о,1 -1- ) (1)), (19.16) где 6(1) и ф(1) — амплитуда и фаза, которые медленно меняется по сравнению с з(п2ыч(, но могут быстро ме- мяться по сравнению с А((), ~р((). Подставляя (!6) в (12), пользуясь преобразованием 2 зщ (2а,~ + ь) соз (2ю,~+ 2р) =- = снш (4ыо1+ 6 —, 27) + з!и (ф — 2у) и отбрасывая вибрационные члены с ейп (4вв(+ф+2<р) и з1п (2ва(+ф), которые несущественны в первом приближении, получаем укороченное уравнение первого приближения у = — —" Ь (~) з!и (2у — Ф ())).
(19.17) При выводе этого уравнения, уже не содержащего явно времени, мы впервые допустили погрешность и ограничилн себя лишь основным параметрическим резонансом. Таким же образом можно преобразовать и первое уравнение (12) нли выражение (15) для критического затухания. С тем же основанием получаем В„р —— — о(Ь(т)соз(2~ — Ф(~))). (19.18) К сожалению, даже простое уравнение (17) не имеет точного решения, записывающегося в квадратурах.
Частные результаты могут быть получены путем использования условий, касающихся быстроты изменения функций Ь(Ц н ф(г). 2. Узкополосные колебания параметров, близкие к гармоническим Как видно из уравнения (17), быстрота изменения фазы характеризуется постоянной времени т„„=((й) „)-, (19.19) которую можно назвать временем релаксации по фазе. Для анализа указанного уравнения важно, успевают ли функции л(1), ф(1) существенно измениться в течение этого времени, Рассмотрим случай медленно меняющихся функций Ь(г), ф((), когда время их изменения —., —..
или Тз знал р' а' * '(' чительно превосходит время релаксации по фазе (Тр— время, за которое накапливается изменение ф порядка 1). Обозначая через Х отклонение Х(г) =2о(1) — ф (г), запишем уравнение (17) в виде Х+ —,' Ь(С) з1пХ= — о (~). (19.20) (19.21) Это уравнение следует из (20), если положить Х=О. Подставляя в (18), вместо 2гр — ф, значение Х,= — агсз1п— Рф оа (19.22) из (2!), получим следующее выражение для критиче- ского затухания: йор = — ( 1~ ~оо'Ьо (~) — 4Ф') (19 23) При постоянных Ь и ф формула (23) совпадает с результатом обычной нефлюктуационной теории параметрического возбуждения. Возбуждение возможно лишь при обязательном условии 12ф (ооой, которое мы предполагаем выполняющимся.
Иначе квазистатическое рассмотрение настоящего раздела было бы неприменимым. Уточняя выражение (23), произведем учет откло- нения (19.24) х =х хо от значения (22), Для малых отклонений можно произвести линеаризацию уравнения (20), которая приводит к следующему линейному уравнению у;, + —.' Ь (~) СОЗ Хо И) ' Х1 = — Хо (19 23) При медленных изменениях частоты внешних колебаний ( —. (( йш ) рассогласование фаз Х будет мало от. 1ф о личаться от <мгновенного стабильного» значения Хо(~), которое определяется из уравнения Предполагая, что процесс началбя в отдаленном прошлом, запишем обычным способом решение последнего уравнения о о -1 пи Хо — ) е и Х (~') о(о (19.26) о'о о/ 1 Т (~) = —, й (~) соз Хо = ~/ — ваохо Ф~ ° о — 1'4 о В выражении (18) при этом можно удержать лишь основные члены разложения по Хь Отбрасывая кубические члены и более высокие, находим соэхо '~1 ~~ — (ла1пХо ' Х )= = — ( ~~ — ~оо'й' — ф' ~1 — — ))+ — (фх1) (19 27) то » †.,а 1 (19.28) то квазистатическое рассмотрение параметрического возбуждения упрощается.
В этом случае х мало и, пользуясь этим, можно в уравнении (20) заменить э)их на х. После этого будем иметь линейное урав- нение 1 Х+ х мо"Х= — Ф (19.29) которое имеет решение — — .) ооо Х(~)= — ) е ' ф(~') ~Й'. (19.30) Подставляя сюда выражения (26), (22) можем вычислить б„р, если известны статистические свойсгва исходных процессов Ь(1) и ~:((). В приведенном рассмотрении был использован квазистатический метод, изложенный в разделе 3 5 !4.
Легко видеть, что уравнение (17) напоминает второе уравнение (14.51). Если с подавляющей вероятностью выполняется ус- ловие В последнее выражение надо подставить (30) и произвести усреднение. Остановимся для примера на том частном случае, когда амплитуда колебаний параметра является постоянной, а фаза испытывает совершенно случайные блуждания, иначе ф — есть дельта-коррелированный случайный процесс с нулевым средним значением и с известной интенсивностью х (фф,) =хй(т). Формула (30) в этом случае имеет вид х(г)= — ) е ' 4(г')г(г'.
Отсюда, учитывая вид корреляционной функции для ф, получаем (х') = — .,„ . (19.32) В соответствии с (3!) находим критическое затуха- ние й., = — "'„'" (1 — в.",„) (19.33) Следовательно, параметрическая система является устойчивой, если (19.34) и неустойчивой в противном случае.
Первый член оз~й/4 в формулах (ЗЗ), (34) может быть получен из обычной нефлюктуационной теории. Второй член, который в х/2вей раз меньше, чем первый, описывает влияние флюктуациоаного непостоянства колебаний параметра на условия возбуждения. Мы видим, что нестабильность вибраций параметра ухудшает усло- б10 Для вычисления затухания (18) в данном случае, т' вместо сову, целесообразно взять 1 — —,, вследствие чего вия параметрическосо возбуждения. Она эквивалентна уменьшенио амплитуды вибраций. Выражение (33) не является, конечно, вполне точным, Уточнение его дало бы поправку, относительная величина которой еще примерно в х/2ыай раз меньше, чем второй член.
При к/2гоай ) 1 формула (33) теряет справедливость, ибо исчезают условия применимости квазистатического рассмотрения. При быстрых изменениях амплитуды, фазы и частоты, когда они успевают существенно измениться в течение времени порядка времени релаксации фазы (19), использованный метод неприменим. В этом случае решение уравнения (17) или (20) затруднительно. Однако в противоположном крайнем случае при доста. точно быстрых флюктуациях параметров возможно применение стохастическнх методов, основанных на замене реальных флюктуаций $(!) дельта-коррелированными, 3. Быстрые флюктуации параметров. Применение стохастических методов Мы будем предполагать здесь, что время релаксации по фазе значительно больше, чем время корреляции флюктуирующих параметров 7 рел )) бекаа (19.35) 511 Здесь Тр„определено формулой (19), а т„,р связано с быстротой изменения функций ф(!), Ь(!), если пользоваться представлением ~(!) в форме (16).
Теперь, однако, нет особой надобности пользоваться указанным представлением, и можно рассматривать непосредственно уравнения (12), а под ткр понимать время корреляции исходного процесса $(!). Следует отметить, что условие применимости стохастического метода связано с условием малости флюктуаций параметров. Если уменьшать функцию $(!), оставляя скорость ее изменения той же самой, то время релаксации по фазе будет увеличиваться, и мы попадем в область применимости стохастического метода при любом времени корреляции. Переходя к стохастическим представлениям, процесс $(!) в уравнениях (12) следует представлять как дельта-коррелированный процесс.
Флюктуации фазы при этом будут процессом Маркова и для них можно записать уравнение Фоккера — Планка. В разделе 8 64 были изложены правила, указывающие, как это еде лать. Второе уравнение (12) есть частный случай уран. пения (4.142). Применяя формулы (4.162), (4.161), получаем для него уравнение Фоккера — Планка (1') дт [ а® (г)! + д + — 2 д а [Кз(у) (7)[, 1 дз (19.36) где тз(7) = 4 ~ (Й,) — [1 + соз(2е~Г + 2у)[ Х Х [1+ сов(2<оо~+ 2мот+ 2у)! г(т; (19.37) Ка(з) = — "~ (11,) [!+сов(2а,г+ 2~)! Х Х [1+сов(2ао~+2маг+2у)! гЬ.
(19.38) 512 Выражение (37) есть среднее значение от выраже- 1 иия — аьД(т). [1+сов (2гааГ+2~р)[, стоящего в правой части второго равенства (12). Ввиду того, что по определению (Ц =О, отличное от нуля значение т,(~р), обусловлено корреляциями между $(1) и ~р в а(()соз[2ыа)+ +2~р[. В справедливости соотношения (37), а также дальнейшего равенства (39), можно убедиться также, применив приближенный способ рассмотрения, изложенный на стр. 360 — 361. Для исследования устойчивости параметрической системы следует найти среднее значение от выражения, стоящего в первом равенстве (!2). Здесь аналогичным образом существенную роль играют корреляции между $(т) и ~р в выражении а(1)з(п(2ыаГ+2<р), Усреднение выражений, содержащих случайное воздействие и марковский процесс, проводилось нами в $ 4 разд. 8, где была указана формула (4.167). Применяя эту формулу, получаем результат усреднения (1 (г) з!и (2шаг + 2т)) — 2 ] (Й,) Х Х вЂ” ]з!и (2~во1 + 2т) ] ]1 + соз (2ао~ + д + 2~хот+ 2~)] пА„ (19.39) [1 + соз (2хо~ + 27)] ]1 т соз (2"о~+ 2"о'+ 27)1 к виду 1.]-сов(2ва~+ 2т) + сов(2х~а~+ 2мох+ 2т) + 1 ! -]- — 2 СОЗ2мат+ 2 СОЗ(4юот+ 2вот+ 4р) и отбрасывая вибрационные члены (второй, третий и пятый), будем иметь: Ах (т) 4 ] (Б,) ]1+ ~ соз2аат~пт= 4 ']х(0) + ~ х(2хо)] (19.40) где х(м) ] (Ы,)сез опт.
(19.41) 513 очень напоминающий (37). Последние выражения (37) — (39) явно зависят от времени. Наряду с постоянными составляющими онп содержат вибрацнонные компоненты, быстро меняющиеся с частотой 2ыа и 4ва. Ввиду того, что ~р и ы(е) меняются значительно медленнее, вибрационные составляющие оказывают малое влияние. В первом приближении их можно попросту отбросить, производя усреднение за период, как это мы делали в разделе 4 5 13. Преобразуя, например, в (38) выражение Совершенно аналогично, после отбрасывания вибраци.
онных членов в (37), (39) получаем о юоо и'о (т) = 4 ) (Б~) З1П 2 оо'с""т-; (19 42) ($, (~) зш (2 о,С + 2; )) = о = —." ~ (ЕЕ„)соз 2~оох = — х(2ооо). (19.43) Последний результат позволяет определить критическое затухание Зко = + (1 (~) з!и (2оо~+ 2о)) = — „" х (2мо). (19.44) где аналогично (38), (40) К, =+х(2оо)+ ) К[о, о,) о(Й. (19.46) Уравнения (45), (36) эквивалентны следующим уравнениям: и=о„— (о)+ о„ в =то+ ом (19.47) содержащим дельта-коррелированные случайные функции 5~(1), $гЩ, с нулевым средним значением и интенсивностью (46) н (40) соответственно (о1оы) = К1о (о) (оооо~) = Коо (о). рассмотрим в качестве примера тот же случай, что и в конце предыдущего раздела. Пусть $(() представ- 514 При о(о„р в первом уравнении (12) (и) О, и следовательно, имеет место параметрическое возбуждение, Наряду с уравнением (36), соответствующим второму уравнению (12), может быть выведено стохастичсское уравнение, описывающее эволюцию распределения те(и) и заменяющее первое уравнение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
