Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Первый переход соответствует увеличению фазы на 2л, второй — ее уменьшению на такую же величину. В общем имеет место «сползание» изображающей точки по наклонной поверхности, которое происходит тем быстрее, чем больше наклон (расстройка), чем мельче «ямы» (чем меньше синхронизирующая амплитуда) и чем де Рис. 18 8. Флюктуации фазы как случайные блуждания тяжелой частицы на волнистой наклонной поверхности. больше случайные воздействия. Это означает, что имен~ место регулярный поток вероятности в сторону наклони, приводящий к изменению средней частоты колебаний, которая смещается в сторону собственной частоты генератора.
Среднюю частоту мы нандсм, усредняя равенство (43): в (») — (а вс з1п Й ) (ц с»с зтп ~) пз (~р) о~у. о В соответствии с (45), подынтегральное выражение за- К т1ю пишем через О+ —, после чего вследствие А„я йт постоянства потока 0 и периодичности (50) будем иметь (р) =2и0, т. е. (ы) — оз,=2иО. Используя распределение (52) при вычислении потока (47), находим отсюда 474 Перейдел» к обсуждению результатов, которые могут быть получены при помощи этой формулы. На рис. 18.6 приведено несколько кривых, показывающих зависимость смещения частоты (ы) — ш, от относительной расстройки Л/Л, при различных значениях параметра Ос. Очень большим шумам соответствует значение О, = О, при котором (ы) — ы,=Ь, т.
е. (ш) =ма. д 1 с а ас Рис. 18.6, Зависимость сдвига частоты от расстрояии при различиых уровнях шума. Это означает, что влияние синхронизирующего сигнала, целиком потонувшего в шуме, не сказывается, и средняя частота автоколебаннй равна собственной частоте генератора. В противоположном крайнем случае при очень малых шумах имеет место зависимость О при Ь<Ь,; (ы) — ыс = К'Ьа — Ь,а при Ь) Ь,, а Прочие кривые располагаются между указанными двумя предельными линиями. Онн были построены при помощи таблиц функций Бесселя мнимого индекса и мнимого аргумента.
Средняя частота автоколебаний всегда лежит между собственной частотой генератора и частотой внешней синхронизирующей силы. Наибольший практический интерес представляет тот случай, когда выполняется условие О, 'Э 1, ибо только тогда возможны режимы, близкие к синхронному. При этом в зависимости от соотношения между Ь и Ь, удается получить ряд более простых формул, нежели (55). Если Ь« Ь„то можно воспользоваться асимптотической формулой для 1, и в соответствии с (55) получить (е) — е,= 2Ь, зп яР е '. (18.56) Если Ь имеет порядок Ь, или,больше, то Р)) 1 и, следовательно, можно использовать асимптотическое выражение ио( к 1о(РО)= — "е з ~е '+ ь 'Н7( — 'Ро')+ <-.' 4'ит(! и )~; з (18.57) Р) О; Рт =р'Р,а — Р')О; ( р = Р (о — —.
— агс 1я о)), т. е. ( ) — м,=~ Ь,' — д'Х Х ехр( — 2(р'.Р,' — Р' — Рагссоз — 11. (18.58) 0с/1 пригодное при больших комплексных значениях индекса р = гР с погрешностью по модулю 24у'2 ~р)-' (см. (1Ц, 6.464), Формула (57) дает различные упрощенные выражения в зависимости от того, близка или нет расстройка Ь к ширине полосы синхронизации Ь„иначе, от соотд а ношения между — ' — 1 и Р В том случае, когда Ь не слишком близка к Ь„ точнее, если — — 1))Р а, имеем о2Р з )) 1, При этом функции Ганкеля в (57) имеют аргумент, значительно превосходящий единицу, и их можно заменить на асимптотические выражения. В результате нз (55) будем иметь (м) — м, =- Ьо ехр ( — 2Р (о — агс(и о) ), Найденная зависимость, которую можно записать в форме г= — 1и ~ ~ =7 ( — ) — 1, (18.59) з 1-2 = — [с,( )-ь(, ь-~~',] . од.ад з з з з где 1 2 ) — е.
х 2( )'~ с 1) 2~а)(1 а) (18.61) представлена на рис. !8.7. Здесь 1(и) = и агс сов и— 'р' 1 — из+1, (и<1) — функция, график которой располагается между прямыми и и 1,57и. Формулы (58), (59) показывают быстрый рост а+1 числа срывов синхронизации с увеличением расстройки или шума. Рассмотрим особо об- а ласть значений —, близ- ас ких к единице, когда происходит разрушение синхронного режима вследствие приближения расстройки к границе по- 0 лосы синхронизации. Если р 87 3 2 Рис.
18.7. Зависимость средней ча- 3 стоты от расстройии при малых инвЂ'- — 1 — — то аргу- тенсивностих шума. а и В мент Род в (57) имеет порядок единицы, поэтому необходимо принимать во внимание детальное поведение функций Ганкеля, преобразуя их к другим цилин- 1 дрическим функциям порядка х —. В этом случае зато о с< 1 и можно пренебречь величиной р ж— (Роз1, з д Род так как ~р~((1. Обозначая — =хз в соответствии с 3 (55), (57), имеем Эта зависимость изображена на рис. 18.8 кривой гсР.
Уже при х=0,7 эта кривая близка к кривой 144,!, представляющей асимптотическое выражение 1 з у=ха ехр(-2х 0). При точном совпадении расстройки с шириной полосы синхронизации (х = 0) (60) дает у= — 2 ' Г( 8 ) =055 (1862) ! 1 (ы) — ы,=0,55Ь,~ р ) =055 ~ ЕзА-сыск (ыс)) ! з 0 с ч Рис. !8.8. Зависимость средней частоты от рас. стройки вблизи границы полосы синхронизации При увеличении расстройки сверх ширины полосы синхронизации смещение частоты продолжает расти. Для этих значений (Л > Ь,; х ( 0) из (55), (57) выводим зависимость зт з 1 — ! У= — ~~! (хР)+ %1 \(хат)~, (18.63) з з представленную на рис. 18.8 кривой РБ, Как видно иа чертеже, уже при значениях — х = 1 эта кривая приближается к кривой ЯЯ, соответствующей асимптотиче! 2 скому выражению у = ( — х) (т.е. (ы) — ы,=ф'аз — Ь,з). Кривые ЯЯ и Я5 на рис 18.8 представляют в других переменных ту же зависимость, что и линии 140(з = =) — 1) и Я$(г = 0) на рис.
18.7. Таким образом, зависимость 04498, изображенная на рис. 18.7, не прич78 годна, по существу, лишь в области значений !Л/Л,— 1~ <0,5(3!0,1, где кривая РЯЯ должна быть заменена сглаженной монотонной зависимостью ЙРЗ (рис. 18.8). Таким образом, изложенная теория позволяет проследить непрерывный переход от режима глубокой синхронизации при малом уровне помех, когда применим метод линеаризации, к несинхронному режиму, по мере того, кзк расстройка приближается к границе полосы синхронизации и переходит через нее.
Аналогично можно проследить разрушение синхронного режима при уменьшении амплитуды внешнего периодического воздействия. В этом случае при фиксированной расстройке сужается полоса синхронизации, пока, наконец, зна:ение раостройки не окажется вне ее.
Частота аптоколебаний при разрушении синхронного режима постепенно изменяется от сннхронизирующей частоты о, до собственной частоты генератора ыю. 3. Большие отклонения фазы и диффузия числа колебаний Знания полученного ранее стационарного решения уравнения Фоккера †План (44) недостаточно для решения некоторых других вопросов, особенно вопросов, затрагивающих быстроту изменения фазы во времени. В настоящем разделе будет дано приближенное реше- ние ряда подобных несгационарных задач, связанных с достижением границ. Если помехи отсутствуют, то при выполнении усло- вия синхронизации Л < Л„фаза принимает стабильное синхронное значение д р,=агсзш —, как это вытекает из (43).
Наличие случайных толчков 1х(1) приводит к флюктуационным отклонениям от ука- занной синхронной фазы. Зададимся вопросом, как часто отклонения фазы ~р — гр~ — — Ь~р приобретают значения, превосходящие неко- зорую фиксированную величину Ь, т, е. пак часто график функции ~р(1) — ~, = дЧ~(1) достигает заданного уро- вня Ь. В приближении дельта-коррелированных случай- ных воздействий ~з(1) полное число пересечений указан- ного уровня бесконечно, так как каждое пересечение 479 сопровождается большим (теоретически бесконечным) числом других пересечений, вызванных флюктуациов. ным «дрожанием» фазы, Однако если уровень Ь значительно выше среднеквадратичного отклонения а (Ь~р), то указанные пересече ния располагаются сериями согласно сказанному в разделе 2, 5 10.
Совершив ряд пересечений, изображающая точка уходит в область малых отклонений. Она приобретает снова значение Ь лишь спустя большой отрезок времени и при этом опять дает сразу большую серию пересечений. Мы займемся подсчетом числа подобных серий, приходящегося иа единицу времени и показывающего, как часто происходит выход фазы из области обычных малых отклонений до значений Ь. В сущности, подлежит вычислению среднее время„необходимое для того, чтобы точка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
