Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 58
Текст из файла (страница 58)
ническими причинами. Отличие его лишь в том, что величина шума берется достаточно большой, чтобы получить глубокую модуляцию, т. е. большой флюктуацнонный разброс амплитуды РА — Ао'. (17.95) Автоколебания при этом описываются прежними )равнениями (3), (4).
Когда модулирующее флюктуаиионное напряжение подается на сетку генератора, конкретный внд этих уравнений совпадает с (20), (21), но в выражении (19) для ь нужно брать и=и„а не и .= с.си,. При вычислении спектра генерируемого сигнала теперь нельзя пользоваться формулами (32), (33), а следует .производить учет флюктуаций амплитуды: х = А (г) сов (аро~+ р); Г с,~= —,й '1(Аср)Аррр р(с 1 аас)) ' ').
(1796) с, Как и ранее, мы имеем существенно различные флюктуационные процессы в зависимости от того, какие значения приобретает оот„,р по сравнению с единицей. Начнем со случая больших независимых приращений фазы: аотаор Ъ 1. (17.97) Наличие фазового множителя еса', (Ь~ — аот) приводит к тому, что корреляционная функция (96) обре- 1 с 1 зается при т ) —, ~т. е. при т >) — приобретает прака ао 1 тически нулевые значения) .
Но та область т ( —, где а она имеет ненулевые значения, много уже, чем время корреляции: т((т„р (в силу (97)) и в ней амплитуда и частота остаются йрактически неизменными. Поэтому функцию корреляции (96) можно записать (хх,) = — Ке ~(Аа(С)е' со')е'~'1. (17.98) Для вычисления среднего здесь достаточно знать од иократный закон распределения са(Ь). Совершая преобразование Фурье, из (98) находим спектральную плотность ) (Ао (Г) е ' аи) е' сй = 2сс (А' (с) Ь [в — И (С)) ) и, следовательно, Я [х, в] =я(Ао(Г)Ь(в — во — Я(~))).
(17.99) Входящий сюда интеграл усреднения с плотностью распределения ш(ь) можно взять, пользуясь свойствами дельта-функции, Пусть уравнение 2(г.) — а=О имеет г корней, которые обозначим 01(~) 92(х) ' 1 Ог(х) Результат усреднения (99) записывается в виде следующей суммы по различным корням Б [х, в] =ос~а Ао(1)е(Г) — .
(17.100) ! 1 с- о;< —,1 Если функция й(Ь) такова, что обратная зависимость ь от ь1 [~=Я(ь))) однозначна, то сумма (100) имеет лишь один член, который можно выразить через плотность распределения частоты: Я [х, в] =пАо[Я(в во)) а~о(в — во) (17 101) Применим формулу (1ОО) к конкреному случаю уравнений (20), (21). Опуская член, дающий регулярное смещение частоты, и используя принятые ранее обозначения 1со и Ав запишем указанные уравнения в виде А=Ао~ 1+ —; (17.102) ~= .ИГ+ —,2 .Г'. (17.103) В целях сокращения записи, заменим в (103) число 29 на 30. Функция В (~) —,,Г. + ',,Г.о (17.104) имеет двузначную обратную функцию г.=Югами); ~фт(Я) = — ( — н, + ~~ и„'+ 10 — /.
(17,105) ~о/ Подставляя (105) в выражение м, (из+ 5Г) для проня изводной д от (104), находим для обоих корней оди. паковое значение Приведенное выражение справедливо для тех частот, которым соответствуют положительные значения о. Там, где о ( О, спектральиая плотность флюктуаций равна нулю.
Для больших внешних шумов, дающих глубокую модуляцию, (г.') — н.'. Спектр генерируемого сигнала (106) при атом лежит в полосе частот ва — Ьч <.- м ( а,+ Ьм, имеющей ширину (17.107) 2Ь > — итие Перейдем к случаю малых независимых фазовых приращений; (ч т„,р (( 1), когда спектр генерируемого сигнала имеет двойную структуру, а именно, когда имеется узкая мощная спектральная линия среди слабых более широкополосных флюктуаций, Дискретная спектральная линия исследуется так же, как в разделе 5, ибо амплитудные флюктуации не имекгг дискретной составляющей, а содержатся в полосе 1 1'ь 'ьв! ~кеа (17.106) Вследствие найденных соотношений формула (100) дает АР 1 ~ Ъ вЂ” и+Ъгч l -и+у''е )+ Р~О О + " "' в ( ~ )~, (17.106) ( =н,'+10 — ""' >О).
В эту полосу частот, помимо амплитудных флюктуаций, попадают также фазовые флюктуацни, рассмотренные в разделе 5. Там было отмечено, что суммарная мощность в этой полосе, обусловленная фазовыми флюктуациями, имеет порядок (Лоо «„„р)э. В то же время прн глубокой модуляции (98) амплитудные флкэк. туации, приводящие в предположение постоянства фазы эр к корреляционной функции вида (хх,) = — х(АА,)созоэот 1 (17,109) Поскольку амплитуда определяется через ь(Г) посредством безынерционного нелинейного преобразования (102), то ее спектральная плотность вычисляется методами, изложенными в 5 8. Так, например, при и=0; С= — Аэ пэ„А=Ао ~, 1 — 4 А э Аоэ о Аоэ может быть использована формула (8.!!9), приводящая к спектральной интенсивности Аоэ дают мощность порядка —.' .
Эта мощность в рассматриваемом случае намного превосходит мощность, вносимую флюктуациями частоты. Отсюда следует. что при глубокой модуляции можно пренебрегать непостоянством частоты, если мы интересуемся частотами 1 [оэ-во[ — (оно становится важным при [а — ооо[(~ 1 окор ~ — 1, и пользоваться формулой (109), ,эоор э э Спектральная плотность от (109) выражается через спектральную плопюсть амплитуды 8[А, ор[ по форм«де о [Хэ оэ] = 4 8 [А, и — мо[. (17.110) 8 [А — (А), «[=Ао«~~77„.;!гааз«„(фХ Х ~ Я""(э) сов««о(«.
(17.111) о Сложнее всего является промежуточный случай средних независимых приращений о «„,р 1. При этом не- которые результаты, лишенные большой обшности и точности, могут быть получены путем громоздких вычислений. Исключение составляет, конечно, случай нормальных флюктуаций частоты Я(1). В этом случае можно по общему правилу непосредственно записать выражение для совместной характеристической функции случайных величин Я, Я, и Л~р: (ехр1(иЯ+ пЯ, + теда)) = ехр ( — —, [(Я') (и'+ о') + +2(ЯЯ,)ип [- (Ь<р')тв'+2(ЯЛ7)ига+2(Я„Ьу)ота[) = 1 = (ехр((иЯ + т>Я,)) ехр ( — .2-(Ь~') и>'— — (Яйу) итв — (Я,ду) т>тв~, (7.112) где ехр((иЯ+ иЯ,) — двумерная характеристическая функция для Я и Я,.
Через характеристическую функцию (112) записывается входягцее в (96) выражение (А(Я)А(Я,)е"') =(2к) ') ) ) ) А(Я') Х ХА(Я,')е '" ' '(е +""+и')ЙЯ'гИ,'ЙиИ. (17.113) Подставляя (112) в (113), получаем, после интегрирования по и, т>, Я' Я; при учете (114) (А(Я) А(Я,) емт) = -~ (от') (А(я ) г(яд<7))А(я [„;(я ду))) (17.115) Таким образом,. задача сводится к отысканию корреляционной функции при безынерционном нелинейном преобразовании А А(Я + гп), и> ~1(ЯЬ7).
Здесь А (Я) — функция, определяющая зависимость амплитуды от частоты: А = А(Я). В справедливости ра. венства (113) можно, например, убедиться, приняв во внимание, что Ы "'"'="-': ) е ' '~' з'~й=ь(Я,' — Я.) (17.114) Поскольку результат является аналитической функцией от т, можно вести вычисления, например, методом Райса ($8, раздел 4) так, как если бы т было постоянной действительной величиной. Далее, после того, как корреляционная функция -'( ) (хх,) = —, е Ке( (А(м+ т) А (П, + и)) е'"") (17.116) будет вычислена, в найденном выражении следует поло- жить (17.117) $!З. СИНХРОНИЗАЦИЯ ГЕНЕРАТОРА ПРИ НАЛИЧИИ ПОМЕХ Решение многих радиотехнических задач возможно лишь при достижении достаточно высокой стабильности частоты автоколебаний.
Так повышение стабильности частоты позволяет, например, добиться большей пропускной способности каналов и помехоустойчивости. Рассмотренные ранее дробовые флюктуации анодного тока, флюктуапии внешнего напряжения и другие помехи приводят к нестабильности частоты, к расширению спектральной линии в спектре генерируемых колебаний. Эффективным средством достижения большего по. стоянства частоты автоколебаний является внешняя синхронизация, т. е.
подача на генератор синхронизируюшего напряжения от другого генератора, который обладает большей степенью стабильности частоты, хотя и малой мощностью. При этом осушествляется увлечение частоты колебаний и,следовательно. ее стабилизация. Наличие флюктуаций приводит, однако, к некоторым отклонениям от вполне синхронного режима, которые заключаются в следуюшем. Во-первых, имеют место беспрестанные малые флюктуационные отклонения фазы от синхронного значения, наблюдаемого при отсутствии флюктуапий.
Во-вторых, изредка возникают большие от. клонения фазы, сравнимые с и/2, В-третьих, происходят, правда еше реже, перескоки фазы на целое число пе. риодов. Такие перескоки не компенсируются, накапливаются и приводят к тому, что средняя частота автоколебаний не совпадает с синхронизирующей частотой, а также к тому, что возникает необратимая диффузия фазы, даюшая диффузионную нестабильность частоты. Первый эффект (малые флюктуации) рассчитывается путем применения метода линеаризации.
Другие эффекты являются существенно нелинейными, и для их исследования целесообразно использовать аппарат мясковских процессов, который в отношении нелинейных задач имеет то огромное вычислительное преимушество, что непосредственно дает квадратуру стационарного распределения. !. Основные уравнения. Малые отклонения от синхронного режима в приближении линеаризации Если синхроиизируюшее напряжение подается на колебательный контур, то в соответствии с (13.13), (13.16) работа генератора будет описываться уравнением (13.17), которое относительно напряжения к оо,М(7 — 7„) запишется в виде х+ в„'х = во'[а,Р ( — ) — ЙСх1— во вс МС(7оз1пас! + ао асМ7аф (!8 1) В том случае, когда помехой является не дробовой шум, а флюктуационное напряжение и,(!), подаваемое иа контур, здесь во'а,М7,Ф следует заменить на а,'а,МСи,. От уравнения колебаний (1) перейдем к уравнению в стандартной форме.
Однако, в отличие от (13.30), амплитуду и фазу определим теперь через частоту синхронизации в„а не через резонансную частоту контура. После такой замены х =Асов(а,(+ <р); х= — в,Аз1п(а,8+ у) (18.2) выполняются равенства А = — — з1п (а,1+ у) (х+ а,'х); ! ао 1 р= — соз(а,!+в)(х+ в,ох), (18.3) аналогичные (13.31). Пользуясь прежней аппроксимацией ламповой характеристики и вводя обозначения е = — "' (М5 — ЙС); А,' = 4,; (18.4) запишем уравнение (1) в форме в зависимости от рода помех. После указанной подста- новки и выбрасывания из полученных стандартных урав- нений вибрационных членов находим следующие укоро- ченные уравнения первого приближения: А= —,' '1 А, ~А+ — 2Есоз о+о~счЫп(ьст 1-т); 7=Ь вЂ” —,'А з1пр+ —,' Чсоз(м„~+у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
