Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Чтобы подсчитать частоту перескоков фазы назад О, нужно выбирать значение ~р„, соответствующее ближайшей вершине, лежащей по другую сторону от ~рь На этот раз «разность потенциалов» будет иметь другое значение, и мы аналогично (91) получим 6 = — '. Уй,» — й»Х Х ехр( — 2~ьг Р,' — Р'+ Р( — агссоз — ф в~ г>,) =е "6«. (18.92) В выражениях (91), (92) определяющим множителем является экспонента е " имеющая аналогию с распределением Больцмана. Вполне понятен смысл этого вы. ражения, показывающего, что чем больше высота барьера, тем труднее его преодолеть. Какая нз вершин, расположенных го обе стороны от грь выше, определяется законом расстройки Л. Если Л ) О, то имеет место «уклон», изображенный на рис. 18.5, приводящий к тому, что скачки «вперед» происходят чаще, чем «назад» (О+ ) 6 ).
При отрицательной расстройке имеется уклон в другую сторону и скачки «назад» являются превалирующими. Разность выражений (91), (92) образует средний некомпенснруемый поток, приводящий к сдвигу средней ча. стоты автоколебаний в сторону собственной частоты ге. нератора: ( ) —,=2«(0+ — 6 )=Г'д' — г1'(1 — е ' ) Х Х ехр ~ — 2 ~1/ Р,ч — Р~ — Р агс соз — )1. (18.93) с Из последней формулы как частный случай следует (56) при ЫЄа также (58) при Р»1.
Выражение (55), которое, как мы теперь выяснилн, равно 2гг(0+ — 0 ) =2«6~(1 — е ~'~), имеет вид разности двух членов, отличающихся друг от друга в е ' раз (как и в (91)„(921). Естественно предположить, что уменьшаемые и вычитаемые равны почленно. Это дает результат К 1 1 К «о 6, =-,-~-,-„— = —,,—.,„, е" ~(ю(Р,)|-', 0 =е ~~0+ — — „, —,е ~1(го(Р,)~ ', (18.94) обобщающий формулы (91), (92). Согласно изложенному выше, фаза время от времени совершает скачки на период в ту или в другую сторону. Длительность каждого скачка по порядку ве- 1 1 ! личины равна — !п — — — 1п О„а средний интерва.ч 2 Р аи ! и между ними значительно больше (порядка — е — — е ).
лс ас Поэтому скачки можно считать статистически независимыми. Если мы будем подсчитывать число л лишних нли недостающих периодов колебаний генератора по сравнению с синхронизирующими колебаниями, то будем наблюдать картину, напоминающую случайные блуждания: в случайные моменты времени происходят скачкообразные изменения указанного числа на +1 или — 1 в зависимости от случая Как известно, спустя отрезок времени й значительно превосходящий средний интервал между скачками, произойдет нормализация. Случайная величина а при этом будет асимптотически описываться нормальным законом распределения со средним значением (п) = 2 ' 1=(0+ — 0 )! (18,95) и дисперсией Ри=(0++0 )1жй,Г.
(18.96) В самом деле, число положительных скачков имеет среднее значение 0„! и дисперсию 0~1, число отрицательных скачков — среднее значение — 0 1 и дисперсию 0 1. Вследствие независимости положительных н отрицательных скачков средние значения и дисперсии алгебраически складываются. Чтобы получить полное число колебаний за время 1, ~сг нужно к и прибавить неслучайное число периодов 2~ Итак, число колебаний генератора диффузионным образом расплывзегся, причем коэффициент диффузии равен Во=0~+О-=и-; —.„, ейная!1ю(Ос)! ' (1897) То же самое можно сказать и о фазе, пропорциональной числу и Ее коэффициент диффузии больше в (2л)' раз Из формул (91), (94), (93) следует, что коэффициент диффузии (97) мои<но получить умножением сдвига частоты ) ' на с!!ткР; при Р))1 он попросту равен, ' .
Таким образом, для его исследования можно применить формулы и графики предыдущего раздела. Диффузия числа колебаний естественно возрастает при увеличении интенсивности шума. Так, при нулевой расстройке Л=О из (97) получаем зависимость к а, Ро ааа А,а е,, 1 =..., (18,9") представленн ю аа рис. 18.9. ос 74аг Рис. 18.9.
Заонсимость коэффициента анф. фузии от иитенсианости шума нрн нуленой расстройке, В тех случаях, когда справедливы соотношения (9!), (92), в результате их сложения имеем Р = — ' ч' б ' — да (1 + е' ) Х Х ехр ( — 2 (р Р,' — Ра — Р агс соз — 11. (18.99) С увеличением расстройкн интенсивность диффузии монотонно и довольно быстро возрастает. Это возрастание можно наблюдать на рис. 18.7, откладывая по оси ординат с В заключение настоящего раздела опишем качественно спектральный аспект диффузии числа периодов. 489 Она приводит к появлению в спектре генерируемых колебаний непрерывного спектра, имеющего ширину порядка Л, и несимметрично сдвинутого на величину пригяерно Л.
Интегральная мощность этого добавочного спектра имеет порядок Ь,е . В сочетании с дискретной линией единичной мощности он, естественно, дает сдвиг средней частоты на †'". 4. Случай большого синхронизирующега воздействия В двух предыдущих разделах рассмотрение было ограничено условием (371 малой амплитуды Е внешнего синхроннзирующего воздействия. Между тем, практически иногда увеличивают синхронизируюшую ампли туду, чтобы добиться более быстрого установления синхронного режима.
Поэтому представляет интерес задача изучения синхронизации при внешних амплитудах Е, сравнимых с еАо. Относящиеся к этому случаю малые отклонения от синхронного режима были рассмотрены в приближении линеаризации ранее в равд. 1. Нелинейная задача, однако, оказывается весьма сложной; поэтому, чтобы ее разрешить, мы введем упрощение по другой линии, а именно, ограничимся случаем нулевой расстройкн (А=О).
Последний случай имеет наибольший практический интерес по сравнению с другими значеннями расстройки, так как соответствует максимально стабильному Синхронному режиму и является поэтому опгимальным. теперь целесообразно основывать рассмотрение не иа уравнениях (9), а на эквивалентных им уравнениях, которые нетрудно вывести следующим образом. Перейдем от полярных координат А и ор к декартовым координатам г, =Асеан; во =Аз1пр (18.101) в фазовой плоскости, вращающейся с угловой скоростью Дифференцируя (101) но времени и используя уравнения (7), получаем ойдо l оР 4- ооо1 г,=Асов о — Аз1поу=- —,~1- —,1, ~Я~+ + — '"о — йгг + оооо1 з1п вот, (18.102) ооо Г во= — Аз1п~Р+Асозтч= —,'11 — ',1~' !Яо+ + йз, + оо,о1 СОЗ оо,(.
можно заменить на 8 (<) ~ — ' (ЧЧ,)созь< т Йт = Кд(т) и аналогично для второго члена и,чсозо<,Г. В итоге мы будем иметь систему ~~«< л'д -<- я з ~ очЕ Аоз (18.103) где Е<, ь — одинаковые неззвисимые случайные функции, имен щие свойства (10), т, е. точно такие же, как функции Е<, Ер в (9). Эквивалентное<ь систем (9) и (103) можно доказать многими другими способами. При Л=О система уравнений (103) описывает дни>кение броуновской частицы в потенциальном поле сил. В самом деле, в этом случае уравнения (103) можно записать в виде аи ~= — а +Е к< г„= — а + Ез (18.104) аи аг, где — потенциальная функция, изображенная на рис.
1810. Системе (104) соответствует уравнение Фоккера— Г!ланка Упростить втодишие сюда флюктуационные члены <о,<1з(п <,<, ь>,<1соз,,Г значительно легче, чем флюктуационные члены в (7), ибо аргумент тригонометрических 4<тнкций теперь не зависит от <р и, следовательно, ст <). Если время корреляции процесса <1(<) значительно меньше времен релаксации амплитуды и фазы, то корреляцпонну<о функцию (<ь,и З1П «<,1 ° <о,з ЬЧП <ь, ((+ т)) = вс< = — (чч,) [созе,т — сов<о,(2(+ <)] Стационарное распределение удовлетворяет вытекающему отсюда уравнению дота двэ, 2 д (дУ ~ 2 д (дУ дх,о дхав К дх, ч дх, ) К дхо ~ дхо + ' + ( — )+ — ( — ы)=0.(18,102) Р,.
Рис. ! 8.1О. Форма потенциальной поверх. ности у= о'(хь хт) в виде чаши, имеющей наклонный желоб в нижней части. При обычных условиях исчезновения плотности тв на бесконечности легко находим решение последнего уравнения во тв (г„га) = — е (18.108) которое, как и в одномерном случае, имеет вид распределения Больцмана.
Найденное стационарное распределение легко записать как распределение по амплитуде и фазе. Учитывая, что Ь,с(ха=,йс(Ас(ф, находим из (108), (105) совместную плотность рзспределения для амплитуды н фазы та(А, ф)= — Х А омо I Ав т АВ оосд Х ехр ( — — '~ — — 1) —, + — 'Асозф (18.109) К ~~Аов ) 2 К Плотность распределения только по амплитуде и только по фазе находится отсюда интегрированием по второй переменной. Так, интегрируя (109) по фазе н пользуясь интегральным представлением функций Бес- 492 выполняется условие удовлетворительной синхроиизацп)1 (! 10), которое приводит к неравенствам (ЗА') << А„-", (~у) <<1. Потенциальная поверхность д = У(«ь «») (105) (рис.
18.10) образует (при не слишком больших Ь,) в плоскости «ь «з желоб, который замкнут петлей вокруг начала координат и имеет наклон в сторону оси г,, Точка с синхронными значениями амплитуды и фазы «,=А,а,; «»=О располон.ена в самой нижней точке этого желобз. Скачок фазы осуществится, если изображающая точка под действием флюктуационных толчков начнет двигаться вдоль по желобу вверх и зайдет так далеко, что преодолеет самую верхнюю точку дна желоба Р, и сползет в исходную «яму» с противоположной стороны.
Самая высокая точка желоба Ра с координатами «, = — А,ам «» = 0 расположена на оси «, по другую сторону от начала координат, чем самая низкая точка Рь имеющая координаты «, = А»а,; «з = О. Естественно ожидать, что частота скачков фазы будет зависеть от разности высот между точками Р~ и Р,. Чтобы определить ее, найдем координаты указанных точек.
Обе точки являются экстремальными для выражения (105) при «» = 0; дифференцируя его„находим уравнение ::Ь, аа — а — — '' =0; (18.113) ( А„ ' ' 2А~ ) ' корни которого а, и а, определяют положение точек 1 Ры Р». Если обозначить а= — (ЗР) ' у, то кубическое уравнение (113) приведется к обычному виду 2~ у — вру <.а=о, (зр=(",'Д. Корни этого уравнения, пронумерованные в порядке: и,>у»>0>уз табулированы как функция от ЗР, например, втаблицах [Ц, Вследствие сказанного, при каждом конкретном значении величины еы,!Ь, мы можем найти амплитуды А,=А,а,; а,= — — '" =~у,! ~~~ 3 (1".114) А»=А,а;, а,= —,=у, у кзл У -.' соответствующие точкам )зь Рм а также значение потенциала (105) в указанных точках у «»о»»(а,' а,а 24, 2 » 1 4 2 ашц = —.'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
