Диссертация (1137355), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Таким образом, после пополнения запас всегда является положительным и дефицитпродукта ликвидируется.Эволюция процесса( ) после момента очередного заказа зависит только от номераподмножества состояний, в котором оказался этот процесс в момент заказа. Эволюция процесса( ) после момента очередного пополнения также происходит независимо от прошлого изависит только от номера подмножества состояний, в котором оказался этот процесс врезультате пополнения запаса.
В этом смысле случайный процесс ( ), описывающий объемзапаса в системе, в моменты заказа и в моменты непосредственного пополнения запасаобладает марковским свойством. Данные особенности рассматриваемой модели будутсущественно использоваться в дальнейшем. Пример траектории случайного процесса( )изображен на рисунке 1.Замечание 1. Будем называть интервал времени между последовательными моментаминепосредственного пополнения запаса интервалом (периодом) эволюции системы (основногопроцесса).
Каждый период эволюции можно разбить на две части: первая часть – отмомента непосредственного пополнения запаса до момента заказа на следующую поставку;вторая – от момента заказа до момента непосредственного пополнения. Очевидно, чтовторая часть периода эволюции системы совпадает с длительностью задержки поставки.43x (t )Ei()El())E(jES()0lEk()jt s( i )kl()Рисунок 1. Пример траектории случайного процесса ( ).Предположим, что функционирование рассматриваемой системы хранения и поставкипродукта потребителю связано с доходами от реализации продукта, расходами на хранение иштрафами, возникающими из-за дефицита продукта. Введем следующие обозначения.( ) – затраты на хранение продукта объемав единицу времени, где(имеетсяположительный объем запаса продукта). Такие затраты могут быть связаны, например, споддержанием на определенном уровне показателей системы хранения запаса для сохранениясвойств продукта;( )данномзатраты, связанные с дефицитом величиныслучаеотрицательноезначениеобъемав единицу времени, гдезапасахарактеризует.
Ввеличинунеудовлетворенного спроса. Подобные затраты возникают, когда спрос на продукт превышаетпредложение, и могут быть связаны со штрафами за невыполнение заказов на поставкуопределенного количества продукта некоторому потребителю;( ) – цена единицы продукта при условии, что объем имеющегося в системе(оставшегося) продукта равен(имеется положительный запас).( ) – цена единицы продукта при условии, что объем имеющегося в системе(оставшегося) продукта равен(имеется дефицит объема).
Данная характеристика44может рассматриваться как дисконтированная цена единицы продукта, например, предложениепотребителю более выгодных ценовых условий на приобретение товара с некоторой временнойзадержкой от первоначально запланированного потребителем сценария.§2. Построение дискретной полумарковской модели управления запасом и общаяпостановка проблемы оптимального управленияДля математического описания рассматриваемой системы, кроме основного случайногопроцесса ( ), непосредственно описывающего точный уровень запаса в произвольныймомент времени, вводится вспомогательный полумарковский случайный процесс ( )сконечным множеством состояний, определяемый при помощивложенной цепи Маркова.( )Предполагается, что объем запасав начальный момент времени являетсязаданной величиной, принадлежащей одному из возможных интервалов разбиения:( ){}.
В частности, возможно, чтономер подмножества состояний, в котором оказался процесс ( )Обозначим черезнепосредственно{после.очередногопополнения(запаса:}. В силу того, что в моменты пополнения запаса{)( )} случайный процесс( ) обладает марковским свойством, последовательность случайных величин { }образуетцепь Маркова. Определим случайный процесс ( ), связанный с последовательностью { },при помощи соотношения( )Случайный процесс[( )){}представляет собой управляемый полумарковскийпроцесс с конечным множеством состояний{}, траектории которого непрерывнысправа.
В дальнейшем этот процесс будет называться сопровождающим полумарковскимпроцессом. Последовательность { }является цепью Маркова, вложенной в этотполумарковский процесс. Управление процессом( ) производится в моменты(послеопределения значения процесса ( )).Параметр управленияпредставляет собой случайную длительность периода времени отмомента после очередного пополнения запаса в системе до момента следующего заказа напополнение запаса.
Именно,если(равенство случайных величин понимается всмысле совпадения функций распределения). Множество допустимых значений параметрауправлениясовпадает с множеством неотрицательных чисел[).45Задача оптимизации управления запасом в данной стохастической модели заключается ввыбореуправляющихдоставляющих()(вероятностныхэкстремум()( )распределенийнекоторомупоказателю()качества{},управления( )).Для того, чтобы формально поставить задачу оптимального управления в стохастическоймодели необходимо задать показатель качества управления или целевой функционал.Предположим, что в рассматриваемой стохастической модели определен некоторый( ).аддитивный стоимостной функционал, связанный с полумарковским процессомПостроение такого функционала описано, например, в работах ([3]; [5], глава 13; [11]).
Вчастности, аддитивными стоимостными функционалами являются случайные величиныприбыли и затрат, связанные с эволюцией рассматриваемой системы на интервале времени[].Обозначим череззначение аддитивного стоимостного функционала в момент времени(, а через)( ) обозначим приращение значения данного функционала,образующееся на периоде эволюции (], где() – длительность периода( ) обозначим математическое ожидание значения данного функционала,эволюции.
Черезполученное в результате эволюции полумарковского процесса ( ) на интервале времени [].Из научной литературы ([3], глава 9) известно, что при достаточно общих условиях имеетместо следующий результат:( )∑(∑} представляет собой стационарное распределение цепи Маркова { }где набор {),вложенной в полумарковский процесс ( );[|]–условноематематическоеожиданиеприращенияаддитивногостоимостного функционала на периоде эволюции, определяемое при условии, что на этомпериоде процесс ( ) находится в некотором состоянии[ t |{};] – условное математическое ожидание длительности периода эволюции,определяемое при условии, что на этом периоде процесс ( ) находится в некотором состоянии{}.По своему прикладному содержанию величинав (2.2.1) может представлять среднююудельную прибыль или средние удельные затраты, связанные с эволюцией системы встационарном режиме.
Кроме того величинапредставляет собой функционал от набора46вероятностных распределений(){}, определяющих стратегию управлениясистемой. В дальнейшем будем рассматривать стационарный стоимостной функционал()(()( )) как показатель качества управления системой и построеннымполумарковским процессом ( ).Таким образом, проблема оптимального управления запасом в рассматриваемой моделиможет быть сформулирована как экстремальная задача без ограничений:(где()()( )){}()множество вероятностных распределений, заданных на пространстве допустимых[управлений)Для решения поставленной экстремальной задачи будет необходимо установить явнуюформу зависимости целевого функционала(){от управляющих вероятностных распределений}. Для этого в свою очередь необходимо найти явные представления длявероятностных и стоимостных характеристик полумарковской модели, входящих в правуючасть равенства (2.2.1).
Перейдем к нахождению условных математических ожиданий{}, связанных с сопровождающим полумарковским процессом ( ).§3. Аналитические представления для вероятностных и стоимостных характеристикполумарковской моделиВ ходе дальнейшего исследования будет существенно использоваться понятиематематического ожидания по совместному распределению некоторой случайной величины ислучайного события. Приведем точное определение этого понятия. Предположим, что нанекотором вероятностном пространстве заданы случайная величиначерез(события)(), гдеи событие . Обозначим, совместное распределение случайной величиныи.
Математическим ожиданием, определенным по совместному распределениюслучайной величиныи события , будем называть величину:(Предположим, что событиераспределения ()∫()не зависит от значения аргументавероятностного). Тогда имеет место соотношение между математическим ожиданием посовместному распределению и условным математическим ожиданием:()( | ) ( )47Пусть задана система событий {} образующая полную группу несовместныхсобытий. Тогда выполняется следующее соотношение, обычно называемое формулой полногоматематического ожидания (по аналогии с формулой полной вероятности):(∑)( | ) ( )∑Вернемся к исследованию полумарковской модели управления запасом.Для определения вероятностных и стоимостных характеристик модели построимвспомогательную вероятностную конструкцию.
Введем систему событий, связанных ссостоянием системы в момент заказа на пополнение продукта. Зафиксируем состояниесопровождающего полумарковского процесса ( ) в момент очередного пополнения запаса:( ){}. Будем рассматривать случайные события и характеристики,определяемые при указанном условии (Обозначим через( ))событие, состоящее в том, что основной случайный процесс ( ),на интервале [описывающий уровень запаса в системе в момент заказазначение из множествамомент заказа( ), а черезна интервале [( )), принимает– событие, состоящее в том, что указанный процесс в) принимает значение из множества( ):( )( ( )( )){}()( )( ( )( )){}()При заданном условиисистема (2.3.1), (2.3.2) образует полную группунесовместных событий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
