Диссертация (1137355), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

В новой модели сдискретным временем решается основная задача: вычисление значения стационарногопоказателя качества управления (средних удельных затрат). Для решения этой задачи авторыпредлагают модифицированный итерационный алгоритм. На каждом шаге этого алгоритмавычисляются приближенные значения стационарного показателя качества.Доказывается теорема об оценке модуля разности верхней и нижней границ значенийстационарного показателя качества управления.

Данная теорема используется для обоснованиясходимостиалгоритмаиоценкиточностивычисленияпределапоследовательностиприближенных значений, то есть самого стационарного показателя качества управления. Такимобразом, задача оптимального управления может быть решена численно.5.2. Полумарковская модель управления поставками запаса продукта для системы,состоящей из нескольких складов.32В работе рассматривается полумарковская модель управления сложной системой,состоящей из конечного числа складов и конечного числа пунктов потребления (торговыхточек).

Система предназначена для хранения и поставки потребителю одного вида продукта,измеряемого в дискретных единицах. Символскладов, символииспользуется для обозначения множества– для множества пунктов потребления. Соответствующие обозначенияиспользуются для ссылки на конкретный номер склада или пункта потребления. Числообозначается через | | | | соответственно. В работе [38] задачаэлементов в множествахуправления полумарковским процессом формулируется для системы хранения запаса одногопродукта, представленнойскладами, при помощи межскладских поставокудовлетворения заказов, поступающих изс цельюторговых точек.В системе возможны поставки со складов в пункты потребления, а также поставкимежду различными складами. При этом рассматриваются два вида межскладских поставок.Будем говорить, что поставка называется-поставкой (Proactive transshipment), если в моментпоступления заказа склад имеет достаточное количество запаса продукта для обслуживаниятребования и переадресация заказа на другой склада происходит с целью предотвращениядефицита запаса в будущем.

Если же в момент поступления требования склад перенаправляетзаказ на другую точку обслуживания (склад) только в случае дефицита продукции, то такуюпоставку будем называть -поставкой (Reactive transshipment).Спрос торговой точкипараметромна товар имеет пуассоновское распределение с; в случае если заказ не был удовлетворен, он теряется, а торговая точкаполучает компенсацию в размереторговой точкиза единицу продукта.

Предполагается, что для каждойдоступно множествоскладов, из которых данная торговая точкаможет быть снабжена; при этом для каждой торговой точкиопределен базовый склад( ), снабжение из которого происходит без дополнительных наценок. Если же торговаяточкаснабжается из склададополнительная плата, не являющегося базовым, то взимаетсяза перепоставку товара.Максимальная вместимость каждого из складовописывается параметром. Заказна пополнение товара на складе происходит согласно широко известному в теории запасов [36]типу стратегий управления () для каждого склада. При этом длительностьвыполнения заказа имеет экспоненциальное распределение с параметромсоставляетиз складов, а его стоимость. Предполагается, что за каждую единицу запаса в одну единицу времени каждыйнесет издержки, связанные с хранением запаса.33В работе рассматривается | |-мерный случайный процесс c дискретным множествомсостояний , который описывает уровень запаса в системе.

Для каждого фиксированного(состояния| |)компонентаномеромопределяется как уровень запаса на складе ссостояниивопределяется как номер склада, из которогобудет осуществлена следующая поставка в пункт потреблениясостоянии| |)определяется как множество складов, которые обслуживают отдельные пунктыпотребления. Именно, решение((. Множество всех возможных решенийобозначается через| | ),. Пространство решений ви состоит из всех векторных величин указанного видадля которых поставка в каждый пункт потребленияможет бытьосуществлена.

При этом множество складов, из которых может быть осуществлена поставка впункт потребления, может изменяться только в том случае, если какой-либо из складовопустел. Пустой склад не рассматривается в качестве возможного источника за исключениембазового склада.

Требование, обращенное в базовый склад, который является пустым, связано снекоторой потерянной стоимостью или штрафом.Для заданного состоянияи пункта потребленияпотенциальных источников поставки{|поставки множество возможных решений имеет вид:случае -поставки множество возможных решений( )⋁определяется множество}. В случае -{ |}.

Вможет быть определено различнымобразом. В данной работе предлагается пять возможных правил определения этого множества(см. соотношения (2) – (6) в тексте статьи).Задача оптимизации для данной полумарковской модели ставится как экстремальнаязадача, которая связанна с поиском стратегийв каждом из состояний, доставляющих минимум функции затрат.Авторы решают данную задачу оптимизации при помощи численных методов на основетеории линейного программирования.

При помощи алгоритма экономного продвижения("жадный" алгоритм) для каждого из складов определяется оптимальное количество уровнязапаса для хранения, исходя из задачи минимизации функции затрат. Отметим, чтоподобная оптимизационная задача может быть представлена для каждого складакаксистема массового обслуживания со структурой| | | , что позволяет в аналитическойформе представить функцию затрат для склада(см. формулу (23) в тексте статьи).Далее, авторами при ряде предположений на соотношение параметров моделипроводится численное сравнение эффективностивариантов -стратегий:-стратегии относительно различных34где– функция затрат при использовании -стратегии управления системой, азатрат при использовании -стратегии и критерия с порядковым номером– функция(см.

формулы (2) –(6) в тексте статьи).В результате устанавливается, что прибыль при выборе -стратегии управления системойбудет наибольшей для систем со средними возможностями обслуживания поступающихзаказов, а разница между -стратегиями при различных критериях – незначительна.§6. Оптимальное управление запасом непрерывного продукта в модели регенерацииВ данном параграфе работы будут описаны некоторые из результатов работы [13],которая по сути рассмотренных в ней задач и полученных результатов являетсяпредшественницей настоящего диссертационного исследования.6.1.

Стохастическая модель управления запасом непрерывного продукта при отсутствиипотребления в период поставки.Описание модели и постановка оптимизационной задачи.На изолированном складе, с которого идет непосредственное потребление, хранитсяпродукт, объем запаса которого в момент времени( )[описывается случайным процессом). Спрос на продукт детерминирован, задается скоростью потребленияэтого продукта.Запас продукта на складе мгновенно пополняется до уровня  через случайное время η,которое имеет функцию распределения( )().

После пополнения запаса допервоначального уровня τ потребление продукта возобновляется, дальнейшее поведениепроцесса, описывающего уровень запаса, происходит независимо от прошлого и по тем жезакономерностям, которые были описаны ранее.В системе предусмотрено два вида затрат, которые задаются следующими функциями:с1(х), x≥0 - функция, задающая затраты на хранение х единиц продукта в единицу времени,с1(х)=0 для х<0;с2(х), х≤0 - функция, задающая затраты, связанные с дефицитом величины |х| в единицувремени, с2(х)=0 для x>0.35Предполагается, что c1(x), c2(x) - дифференцируемые неотрицательные функции затрат,c1(0)=c2(0)=0, c1(x) не убывает, определена для х≥0; c2(x) не возрастает, определена для x≤0 заданные функции.Стратегия управления запасом – выбор G*(x) – оптимального плана пополненияпродукта на складе с целью минимизации общих затрат.Из сделанных выше предположений следует, что x(t) - регенерирующий случайныйпроцесс с непрерывным временем T=[0,) и непрерывным множеством состояний Х= (-,],точки регенерации – моменты пополнения запаса.Далее авторы переходят к определению функционала затрат для рассматриваемоймодели.

Для этого водится функция общих затрат A(t) на интервале между моментамирегенерации, при условии, что длина интервала регенерации равна t . Приведем представлениедля этой функции: tτ0 t   c1 ( τ  αx)dx,α 0τA(t )  .αtτ  c1 ( τ  αx)dx   c 2 ( τ  αx)dx, t  ατ0α(1.1)Математическое ожидание затрат на одном интервале между моментами регенерацииесть0C(G(·))= A(t )dG(t ) =  A(t )dG (t ) .В роли показателя качества управления рассматриваемой модели берется функционалсредних удельных затрат на периодерегенерации, относительного которого решаетсяэкстремальная задача вида: A(t )dG(t )I(G(·))=0 tdG(t )→ minG ( )(1.2)0гдеI(G(·)).– некоторое множество функций распределения, на которых определен функционал36Основные результаты модели.Далее, авторами проводится ряд рассуждений, при помощи которых они показывают,что функционал( ( )) в (1.2) является дробно-линейным относительно вероятностных( ) и, используя теорему об экстремуме дробно-линейного функционала [5],распределенийсводят экстремальную задачу (1.2) к экстремальной задаче следующего вида:(( )){ ( ( ))()}(( )[))()Сформулируем основной результат, полученный авторами в рассматриваемой модели.Теорема 1.5.1.

Пустьc1(x), c2(x) - дифференцируемые, неотрицательные функциизатрат, c1(x) не убывает, определена для х≥0, c1(x)=0 для x<0; c2(x) не возрастает, определенадля x≤0, c2(x)=0 для x>0, c1(0)=c2(0)=0. Пусть также( ). Тогда:1) решение экстремальной задачи (1.3) существует и удовлетворяет уравнениюταuc 2 (τ  αu)  c1 (τ  αx)dx 0uc2(τ  αx)dx  0 ,(1.4)τα2) если же функции c1(x), c2(x) являются строго монотонными (возрастающей иубывающей соответственно), то исследуемая в задаче (1.3) функция имеет единственнуюэкстремальную точку – глобальный минимум.Аналитические результаты для случая линейных функций затрат.Дополнительноотметим,чтоврассматриваемоймоделиавторамианалитически решить экстремальную задачу (1.3) для случая, когда функции( )получено( ) имеютследующий вид: 0, x  0,c1 ( x)   px, x  0(1.5) 0, x  0, p, s>0.c 2 ( x)   sx, x  0(1.6)Авторы показывают, что функции (1.5), (1.6) удовлетворяют условиям теоремы 1.5.1 инаходят точкуглобального минимума для задачи (1.3):√()376.2.

Характеристики

Список файлов диссертации