Диссертация (1137355), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Основойпостроенной модели является система обслуживания| | | . Среди работ, посвященныхуправлению в СМО, отметим монографию [30], в которой проведено подробное исследованиезадач оптимального управления для различных вариантов таких систем. В работе [35]потребление продукта происходит в моменты событий пуассоновского потока, управлениемявляется решение о производстве дополнительной единицы продукта, принимаемое вопределенные моменты времени.

Своеобразие проведенного исследования заключается в егоформально-технологическом содержании. После постановки основной задачи управления вформе экстремальной проблемы с ограничениями автор переходит к двойственной задаче сдругим параметром оптимизации, который интерпретируется как плата за производство однойединицы продукции. Решение новой задачи ищется в классе пороговых стратегий,определяемых разбиением множества возможных значений параметра оптимизации наинтервалы.

Формулируется несколько понятий оптимальности в классе пороговых стратегий,доказываются утверждения о достаточных условиях оптимальности по отношению к каждомуиз введенных понятий. На основании полученных теоретических результатов доказываютсяутверждения о явном представлении оптимальных уровней разбиения множества значенийпараметра оптимизации для трех видов дисциплин функционирования и принятия решений висследуемой системе.В пятом параграфе главы 1 изложены результаты некоторых современных исследований,в которых рассматриваются специальные полумарковские модели управления запасами.

Вчастности, в работе [37] исследуется модель управления запасом скоропортящегося продукта,основанная на использовании системы массового обслуживания с отказами. Поископтимального управления авторы осуществляют при помощи численных методов, используямодифицированный итерационный алгоритм. В работе [38] рассматривается проблемаоптимального управления в системе, состоящей изскладов иторговых точек.

Потребление10продукта осуществляется из торговых точек, запасы которых пополняются из складов. Запаспродукта в каждой торговой точке может пополнятся из заданной подсистемы складов, один изкоторых является основным. Запас продукта на складе пополняется из внешнего источникасогласно заданной стратегии. Параметром управления в системе является векторная величина,компоненты которой представляют собой номер склада, из которого будет произведенопополнение запаса в данной торговой точке. Исследование данной задачи производитсячисленно на основе метода линейного программирования.Шестой параграф главы 1 посвящен изложению некоторых основных результатов втеории оптимального управления запасом в модели регенерации.

Следует отметить, чтостохастическая модель регенерации, исследованная в работах [21], [22] и в диссертационнойработе Р.В. Мельникова [13], является непосредственной предшественницей полумарковскоймодели управления запасом непрерывного продукта, исследованной в данной диссертационнойработе.§2.

Некоторые фундаментальные результаты по теории управления полумарковскимипроцессами с произвольными множествами состояний и управленийОсновой данного параграфа является работа [32] посвященная анализу управляемыхполумарковских моделей с критериями средних затрат. Целью работы является доказательствосуществования оптимальной стратегии средних затрат для рассматриваемой модели.Описание модели.Пусть задано некоторое полное сепарабельное метрическое пространство X, в которомопределена  –алгебра подмножеств B(X).

Такое пространство с заданной  –алгебройназывается борелевским пространством. Если X и Y – борелевские пространства, тостохастическим ядром на X при любом заданном y  Y называется функция P( | ) такая, чтоP ( | y ) является вероятностной мерой для любого фиксированного y  Y , а P( B | ) – этоизмеримая по Борелю функция на Y для каждого B  B(X). Обозначим через N (соответственноN 0 ) множество положительных (соответственно неотрицательных) целочисленных значений, R(соответственно R ) обозначает набор вещественных (соответственно неотрицательных) чисел.Управляемаяполумарковскаямодельпредставляет( X , A, A( x) : x  X , Q, F , D, d ) .Приведем описание каждого из указанных объектов.собойнаборобъектов11Множество X является пространством состояний, а множество A пространствомуправлений в данной модели.

Эти пространства являются борелевскими.x XДля каждого заданногосуществует непустое борелевское подмножествомножества A, которое обозначается через A(x), элементы которого представляют собойдопустимые управления при условии, что состояние системы равно x.Рассмотрим множество видаK:= ( x, a) : x  X , a  A( x).Данное множество является борелевским в пространстве X  A и включает в себяграфик измеримой функции f : X  A .Предполагается, что Q – это стохастическое ядро на X при заданном K, и оно описываетзакон перехода для данной полумарковской модели.

При этом для каждой пары ( x, a)  Kфункция F ( | x, a) представляет собой функцию распределения времени пребывания процесса всостоянии x  X при условии, что управление принимает значение a. Измеримые функцииD(x,a), d(x,a), ( x, a)  K представляют собой функции затрат в состоянии x при управлении a.Если обозначить через xn состояние системы, а через an управляющее воздействие насистему в момент времени Tn , где Tn – момент очередного изменения состояния системы (n = 0,1, 2, …), то D( xn , an ) представляет собой немедленные (мгновенные) затраты в момент Tn , ачерез d ( xn , an ) определяют затраты в единицу времени в течение интервала [Tn , Tn1 ) .Соответствующеевремяперехода(времямеждумоментамиизменениясостояний) n1 : Tn1  Tn , (n = 0, 1, …) имеет распределение F ( | xn , an ) .Определение 1.1.

Обозначим через F набор измеримых функций f : X  A такой, чтоf ( x)  A( x) для x  X . Таким образом, функция f(x) должна принимать значения в областидопустимых управлений A(x).Для каждого n = 0, 1, … определим множество допустимых исходов или, иначе говоря,множество возможных траекторий управляемого процесса.

Положим по определению H 0 : X ,H n : ( K  R ) n  X , для n = 1, 2, …Определение 1.2. Стратегией управления называется последовательность    n стохастических ядер (или вероятностных мер)  n , заданных на множестве A, при условии, чтотраектория процесса до момента Tn принимает фиксированное значение из множества H n . Вчастности, должно быть выполнено условие12 n ( A( xn ) | in )  1длялюбойфиксированнойтраекторииуправляемогопроцессаin  ( x0 , a0 , 1 ,...,xn1 , an1 ,  n , xn )  H n , n = 0, 1, 2, …Иначе говоря, управление в момент Tn при условии, что в этот момент процесс принялзначение xn , выбирается из множества A( xn ) в соответствии с вероятностной мерой  n .Обозначим через П совокупность всех возможных стратегий управления процессом.Определение 1.3.

Стратегия управления    n  называется стационарной, еслисуществует функция f  F такая, что вероятностная мера  n ( | in ) сосредоточенав точкеf ( xn )  A( xn ) для каждого n.Заметим, что в силу введенного определения стационарная стратегия являетсядетерминированной. А именно, решение об управлении в момент Tn , при условии, что процессв этот момент принял значение xn , выбирается равным значению заданной детерминированнойфункции f ( xn ) , причем сама функция f ()  F не зависит от номера n.В дальнейшем будем отождествлять множество функций F со множеством всехстационарных (детерминированных) стратегий.Обозначимчерез(  ,F)измеримоепространство,состоящееизпространстваэлементарных исходов  : ( X  A  R )  и соответствующей   алгебры F .

Из теоремыИонеску Тулча ([25], Теорема 2.7.2, стр. 109) следует, что для каждого начального состоянияx  X и для каждой стратегии  П существует вероятностная мера Px такая, что для всехB  B(X), C  B(X) и in  ( x0 , a0 , 1 ,...,xn1 , an1 ,  n , xn ) из множества H n при n = 0, 1, …, имеемPx [ x0  x]  1,Px [an  B | in ]   n ( B | in ),Px [ xn1  C | in , an ,  n1 ]  Q(C | xn , an ),(1)Px [ n1  t | in , an ]  F (t | xn , an ).Данные условия означают, что вероятностная мера Px , заданная на пространствевозможных траекторий процесса (  ,F), такова, что ее значения на соответствующих событияхпри определенных условиях совпадают с заданными вероятностными характеристикамиполумарковской модели. Именно, условие Px [ x0  x]  1 означает, что с вероятностью, равнойединице, начальное состояние процесса равно фиксированному значению x  X .

Условие13Px [an  B | hn ]   n ( B | hn ) означает, что выбор управления в момент n–ого перехода процессаTn , при условии, что траектория процесса до момента Tn является фиксированной, то естьhn  ( x0 , a0 , 1 ,...,xn1 , an1 ,  n , xn )  H n ,принадлежащейзаданнойопределяетсястратегииPx [ xn1  C | hn , an ,  n1 ]  Q(C | xn , an )означает,вероятностной   n .управлениячто n ( | hn ) ,меройвероятностьпереходаУсловиепроцессавподмножество состояний C в момент (n+1)–го перехода Tn1  Tn   n1 при заданнойтраектории до момента Tn 1 , то есть при фиксированном условии на траекторию (hn , an ,  n1 ) ,определяется вероятностной мерой Q(C | xn , an ) при заданных условиях на состояние процессаxnиуправлениеan ,зафиксированноеPx [ n1  t | hn , an ]  F (t | xn , an ) означает,послеn–огопереходаTn .Условиечто случайная длительность времени междупоследовательными переходами процесса  n1  Tn1  Tn при фиксированном условии натраекторию (hn , an ) определяется вероятностным распределением F (t | xn , an ) при заданныхусловиях на состояние процесса xn и управление an , зафиксированное после n–ого перехода.ОбозначимчерезE xоператорматематическогоожидания,соответствующийвероятностной мере Px .Для стратегии  П случайная переменная xn описывает состояние системы в моментn–го перехода, когда управления выбираются согласно стратегии  .

Очевидно, что такоесостояние зависит от эволюции системы в первые n–1 переходов, кроме того, для стационарной(детерминированной) стратегии fxn является цепью Маркова с вероятностью переходаQ( | x, f ( x)) . Это следует из свойств условного математического ожидания и марковскихсвойств вида (1).Среднее время пребывания процесса в состоянии x при условии, что управлениепринимает значение a  A(x) , задается следующим образом: ( x, a)   tF (dt | x, a).RОпределение 1.4. Для произвольных x  X и  П определим ожидаемые средниезатраты при помощи соотношения14 n1E x [ D( xk , a k )   k 1 d ( xk , a k )] k 0.J ( , x) : lim supE x (Tn )n Функция J ( x) : inf J ( , x) представляет собой функцию оптимальных средних затрат, а стратегия *  П будет оптимальной по средним затратам (AC-оптимальной), еслиJ ( x)  J ( * , x) для всех x  X .Используя свойства условного математического ожидания, мы можем записатьсоотношениеE x [k 0 C ( xk , ak )]n 1J ( , x)  lim supn E x [k 0 ( xk , a k )]n 1,(2)где величина C ( x, a) : D( x, a)   ( x, a)d ( x, a) представляет собой математическое ожиданиезатрат за время пребывания процесса в состоянии x при условии, что выбрано управление a.

Поопределению, величина затрат за время пребывания в фиксированном состоянии складываетсяиз одномоментных затрат D(x,a), возникающих в момент перехода в состояние x при условии,что управление равно a, и удельных затрат d(x,a), образующихся в каждую единицу временипребывания процесса в состоянии x при условии, что управление равно a.Замечание 1.5. Управляемая марковская модель представляет собой частный случайуправляемой полумарковских модели, в которой  n  1 для всех n,  ( x, a) =1, а величинаожидаемых средних затрат определяется формулойE x [k 0 C ( xk , ak )]n 1J ( , x)  lim supnn.Замечание 1.6.

Характеристики

Список файлов диссертации