Диссертация (1137355), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Модель являетсяиндексируемой относительно мерсуществует неубывающая последовательность { }{}такая, что для любогосостояния, стратегия[называются индексами предельной производительности.]. Величины, еслибудет оптимальной тогда и только тогда, когдаиндексируемость эквивалентна тому, что оптимальным решением для задачи (11),если процесс ( ) находится в состояниитогда, когда плата{}, является активное ( ( )не превышает индекс предельной производительностисамое - множество активных состояний для стратегии) тогда и толькоили, что то жене включает в себя состояние .
Вэкономическом смысле индексируемость характеризует структуру кривой спроса дляпроизводства: каждому значению платыставится в соответствие количество единиц продукта, которое требуется управляющему для решения задачи (11).На основе введенного понятияиндексируемости автор формулирует следующуюЛемма 3.4. Если модель являетсяиндексируемой, то:лемму.1.Оптимальное решение для задачи (11) может быть представлено в виде:( )2.{}()()Индексы предельной производительности для данной модели имеют вид:{}27Цель данного исследования автор определяет как обоснованиерассматриваемоймодели.Отметим,чтонаобоснованиииндексируемостинеобходимыхусловийиндексируемости модели автор подробно не останавливается, отмечая лишь, что для этогонеобходимо вычислить выражение (14) и показать, что получившаяся последовательностьбудет неубывающей.
Основное же внимание автор уделяет обоснованию достаточных условийиндексируемости для рассматриваемой модели, которое является основным результатомработы и точкой опоры для доказательства последующих важных утверждений. Длядоказательства данного утверждения вводится ряд предположений относительно мероснове которых определяется класс моделей, являющихся, наиндексируемыми. Этот классмоделей удовлетворяет особым условиям, которые автор определяет как ЗЧР - закон частичногорезервирования (PCL - Partial Conservation Law). В работах [33], [34] автором впервые былирассмотрены модели с конечным числом состояний, удовлетворяющие условиям ЗЧР.Обозначим черезчастоту выбора решениячто в эти моменты процесс.
Обозначим через (( ) находится в состоянии)( )( )при условиях,и выбрана стратегия управления)-период интервал времени [решения при условии, что в моментвремени [в моменты) между моментами принятиябыло принято решение; через -период - интервал. Отразим следующее предположение.Предположение 4.1. Пусть для любыхисправедливы следующееутверждения:1.Если в -периоды при стратегиипринимается активное действие, то2.Если в -периоды при стратегиипринимается пассивное действие, то3.Для{{Будем называть -период, где{ }}}⋃{ }..., -периодом. Введем определение ЗЧР.Определение 4.1. Будем говорить, что мера работыудовлетворяет условиям ЗЧРотносительно класса пороговых стратегий (4), и обозначать ЗЧР( ), если существуют{}, такие, что для любыхи∑∑справедливо:()()Для определения класса моделей, являющихся ЗЧР( )-индексируемыми введемследующее предположение.28Предположение 4.2.
Пусть существуют коэффициенты({}), такиечто выполняются следующие условия:1., для2.Для любых{}.иследует, что∑∑∑3.Для(∑{любых)[Коэффициент}выполняетсяравенство].интерпретируются как (интерпретируется как ()-предельная загрузка работы, коэффициент)-предельные затраты.Определение 4.1.
Модель является индексируемой для класса стратегий (4) в рамкахусловий ЗЧР или ЗЧР( )-индексируемой, если выполняются предположения 4.1 и 4.2 ипоследовательность { }{- неубывающая.}На основе введенных предположений и определений можно сформулировать следующийосновной результат.Теорема 4.1 (Достаточное условиеЗЧР( )-индексируемой, то она являетсяиндексируемости). Если модель являетсяиндексируемой, а величины, задаваемыеформулой (14), являются ее индексами предельной производительности.Отметим, что для доказательства теоремы 1 автор тщательно формулирует рядвспомогательных результатов, оформленных в виде лемм, а также использует условие 4 изпредположения 3.1.
В теореме доказывается, что стратегия(11) тогда и только тогда, когда[является оптимальной для задачи].Автор использует полученный в теореме 1 результат для доказательстваиндексируемости, а, следовательно, икачества управления - мерыЗЧР( )--индексируемости моделей, в которых показатели, задаются формулами (1), (2) и (5) – (7). Данныеутверждения (см. теоремы 5.1 – 5.3) приведены и доказаны при ряде предположений (см.предположения 5.1, 5.3, 5.4) в пятом параграфе работы.Отметим, что рассмотренная выше модель является синтезом модели MTO (make toorder) и модели MTS (make to stock).
В дальнейшем автор отдельно рассматривает два особыхвида организации функционирования исследуемой модели – систему обслуживания MTO (make29to order) и систему обслуживания MTS (make to stock). Для каждого из этих видов системнайдены явные формулы для индексов предельной производительности, зависящих от функцийзатрат и других исходных характеристик системы. Дадим описание данных моделей и приведемрезультаты, полученные автором в этих моделях.Модель MTO.{разбивается на множество состоянийактивного{( ) для данного варианта системыМножество состояний процесса}{}}, в которых доступно принятие какрешения, так и пассивного; и множество состояний{ }{ }, вкоторых доступно только пассивное решение (решение о простое системы). Моментамипринятия решений являются моменты завершения обслуживания заказов и моменты приходаочередного заказа в пустую систему.Обозначим черезнаходится в состоянииэволюцией процесса( )затраты системы в единицу времени при условии, что процесс; через() последовательность затрат, связанную с( ); а черезиобозначим разностипервого и второго порядков соответственно.
Приведем следующее предположение, наложенноеавтором на последовательность .Предположение 2.1. Пусть справедливы следующие условия:1)ограничена снизу:2)является выпуклой:{};;3) если время обслуживания поступивших в систему требований имеет конечныемоменты до порядка(включительно, то) при.Приведем следующую теорему, дающую в явном виде формулу для вычисленияиндексов предельной производительности в модели MTO.Теорема 6.1. В случае если время обслуживания распределено экспоненциально спараметроми выполняются условия из предположения 5, то модель MTO являетсяЗЧР( )-индексируемой относительно дисконтированного показателя (1), а её индексыпредельной производительности выражаются формулой:( )где параметрвеличина(()∑()()– интенсивность входящего потока – определен в формулировке модели, а) определяется из уравнения().30Модель MTS.В данном подразделе работы автор рассматривает модель, в которой имеется склад дляхранения запаса объемом.
Анализ данной модели автор сводит к анализу модели MTOследующим образом. Вводится процесс ( )( ), который удовлетворяет условияммодели MTO, описанной в подпункте выше. Таким образом анализ процесса ( ), стартующегоиз состояния( )при выбранной стратегии управления( ), который стартует из состояния( ), сводится к анализу процессапри условии, что выбрана стратегия.Таким образом результаты, полученные для модели MTO могут быть применены и для моделиMTS.Приведем следующую теорему, дающую в явном виде формулу для вычисленияиндексов предельной производительности в модели MTS.Теорема 7.2.
В случае если время обслуживания распределено экспоненциально спараметроми выполняются условия из предположения 5, то модель MTO являетсяЗЧР( )-индексируемой относительно дисконтированного показателя (1), а её индексыпредельной производительности выражаются аналитической формулой:( )()()()()∑(()){где() задается формулой (17) при сдвиге последовательностинаединиц.§5. Некоторые специальные полумарковские модели управления запасом.В данном параграфе будут описаны основные идеи и результаты нескольких работ,связанных с использованием управляемых полумарковских процессов в различных системаххранения и поставки запасов некоторых продуктов.5.1.Полумарковскаямодельуправлениязапасомвсистемеобслуживаниясоскоропортящимся товаром.В данной работе [37] рассматривается система, состоящая из конечного числаобслуживающих приборов и предназначенная для хранения запаса скоропортящегося продуктас целью его реализации в результате поступления в систему очередного требования с заказомопределенного объема запаса.
На каждый из обслуживающих приборов выделяется ровно одна31единица продукции, то есть максимальная вместимость системы хранения запаса совпадает сколичеством обслуживающих приборов данной системе.Входящий поток заказов (требований) является пуассоновским с параметромвремя обслуживания требования распределено экспоненциально с параметром;; времяжизни единицы товара в системе так же имеет экспоненциальное распределение с параметром. Потребление продукта происходит в результате обслуживания требования или врезультате истечения срока годности товара. Пополнение товара происходит мгновенно кактолько уровень запаса становится равным нулю.Моментами принятия решения являются моменты поступления заказов в систему.{Параметром управлениятребования:} является решение об обслуживание поступившего- отказ от обслуживания;- принятие требования на обслуживание.Поступившему требованию может быть отказано в обслуживании только в том случае, когдавсе приборы заняты, так как в системе не предусмотрена очередь.Как отмечают авторы, в рассматриваемой модели матрица вероятностей переходавложенной цепи Маркова содержит много ненулевых элементов, что затрудняет организациювычислительных процедур.
Для преодоления этой трудности вводятся дополнительныефиктивные моменты принятия решений, а именно, моменты завершения обслуживания имоменты истечения срока годности продукции. Соответствующим образом изменяетсяпространство состояний в модели, которое становится трехмерным. В измененной моделипереходы цепи Маркова могут осуществляться только в четыре «соседние» состояния.Затем авторы переходят от модели с непрерывным временем к модели с дискретнымвременем, используя так называемый метод преобразования данных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
