Диссертация (1137355), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Управление запасом непрерывного продукта в модели с детерминированнойзадержкой поставки.Рассматриваемаямодельявляетсяусложнениеммодели,описаннойв6.1.Функционирование системы управления запасом остается таким же как и в 6.1, но приследующих дополнительных предположениях:1. Поставка товара происходит не мгновенно, а с задержкой h, зависящей от объемапродукта, израсходованного к моменту заказа:h=h(t), где t- количество продукта,потребленного со склада за время t.
На время поставки потребление товара со склада непрекращается, а продолжается с той же постоянной скоростью , R, >0.2. Считаем, что h(t) - заданная неубывающая неотрицательная дифференцируемаяфункция от t, определенная на [0, ), h(0)=0.Стратегия управления запасом для данного варианта модели заключается в выборефункции G*(x), определяющей оптимальный план пополнения продукта на складе с цельюминимизации общих средних затрат или максимизации средней прибыли на периоде междупоследовательными моментами пополнения запаса до уровня τ.Выпишем ряд необходимых обозначений и представлений для отражения основногорезультата модели для случая, когда в роли показателя качества выступает функционал среднейудельной прибыли.Суммарные затраты на интервале регенерации, связанные с хранением продукта идефицитом, вычисленные при условии, что на данном периоде регенерации время до моментаочередного заказа на пополнение запаса принимает фиксированное значение t: η=t,представляются выражением t h(t)τt : 0 t h(t) , c1 (τ αx)dx,α 0A( t h(t)) τ αt h(t) c (τ αx)dx c (τ αx)dx, t : τ t h(t) . 2 0 1ατα(2.1)Цена единицы продукции в момент времени t определяется следующей функцией: g1 ( - t),P(t ) g 2 ( - t),если 0 t h(t) τ,ατесли t h(t) ,α(2.2)38где величина τ-αt представляет собой количество продукта, имеющегося на складе в моментвремени t (или его нехватку при отрицательном значении).Доход от реализации продукции со склада на интервале между моментами регенерации,при условии, что заказ на поставку производится через время t , выражается формулой:t h(t)τ0 t h(t ) ,0 g1 ( - x)dx,αD( t h(t )) τ αt h(t)τ g ( - x)dx g 2 ( - x)dx, t h(t ) .1 0ατα(2.3)Математическое ожидание дохода на одном интервале между моментами регенерацииестьC(G(·))= D ( t h(t)) dG (t ) .(2.4)0Экстремальная задача для данного вида модели имеет вид : D(t h(t))dG(t ) A(t h(t))dG(t )Π(G(·))=00→ max ,(2.5)G ( ) (t h(t))dG(t )0где А(t+h(αt)) определена в (2.1), Λ - некоторое множество распределений неотрицательныхслучайных величин, на которых определен функционал Π(G(·)).Как и в разделе 6.1, авторы используют утверждение об экстремуме дробно-линейногофункционала [5] и сводят экстремальную задачу (2.5), к задаче вида:(( )){ ( ( ))()}(( )[))()Основной результат модели.Теорема 1.4.1.
Пусть c1(x), c2(x), g1(x), g2(x) - неотрицательные дифференцируемыефункции, c1(x) не убывает, определена длях≥0, c1(x)=0 для x<0; c2(x) не возрастает,определена для x≤0, c2(x)=0 для x>0, c2(0)=0; g1(x) не возрастает, определена для х[0, τ), g2(x)не убывает, определена длях(- , 0], g1(0)=g2(0)=g(0)>0, g(0)R, h(t) - неубывающаянеотрицательная дифференцируемая функция от t, h(0)=0.
Пусть также,( )( )( ). Тогда:( )391) решение экстремальной задачи (2.6) по отношению к функции S(t) существует иудовлетворяет уравнениюταg 2 (τ α(t h(t))) (t h(t))- g1 (τ αx)dx t h(t)gτ0τα- c 2 (τ α(t h(t))) (t h(t)) c1 (τ αx)dx 02(τ αx)dx αt h(t)cτ2(τ αx)dx 0 .(2.7)α(причем данное решение принадлежит интервалу);2) если же функция c2(x) или функция g2(x) является строго монотонной (убывающейили возрастающей соответственно), то функция S(t) имеет единственную экстремальнуюточку – глобальный максимум.Аналитические результаты для случая линейных функций затрат и прибыли.Пусть функции затратфункция задержки линейна (( ))- k( - t) b,P(t ) m( - t) b,где( ) задаются формулами (1.5) и (1.6) соответственно;; функция дохода так же имеет линейный видτесли 0 t h 0t ,ατесли t h 0t ,α(2.8).При данных предположениях на функции затрат, задержки и дохода авторы, используяутверждение теоремы 1.4.1, получают решение экстремальной задачи (2.6) в аналитическойформе:τt,t,22α(1 h 0 )*t ττ, t2 . α(1 h 0 )α(1 h 0 )где величинавыражается формулой:τ2- m 4 2 m 2 2 ( s m ) k 2 m 2 ( p s) t2 . ( s m )(1 h 0 )(2.9)40Глава 2.
Разработка дискретной полумарковской модели управлениязапасом непрерывного продукта§1. Описание функционирования исследуемой системы и задание её исходныххарактеристикРассматривается некоторая система, предназначенная для хранения и поставкипотребителю запаса определенного вида продукта. Объем запаса продукта описываетсяслучайным процессом ( ), принимающим значения во множестве (](τ –максимальная вместимость хранилища).
Как принято в классических моделях теории запасов[12], [17], [36] отрицательная величина объема запаса означает наличие неудовлетворенногоспроса (дефицита продукта), который компенсируется в дальнейшем в результате очереднойпоставки. В рассматриваемой модели потребление происходит с постоянной скоростью,ав определенные периоды времени не происходит вообще.В модели используется дискретизация. Множество возможных значений объема запаса(] разбивается на конечное число подмножеств следующим образом:(где( )( )( )( )]⋃( )Обозначим через[( )( )){⋃(( )( )( )(}( )( )) ⋃[( )( )(( ))⋃⋃[( ){( )( )].( )[( )( ))( )( )]}, а через( )].Предполагается, что непосредственное пополнение запаса происходит мгновенно.Обозначим через { }последовательность случайных моментов времени, в которыеосуществляется пополнение запаса, а через { }– последовательность случайных моментоввремени, в которые производится заказ на пополнение запаса.
Сделанный заказ на пополнениевыполняется с некоторой задержкой. Таким образом, с вероятностью, равной единице,{выполняется соотношениеПриведемописаниепроцедуры}пополнениязапаса.Вначальныймоментфункционирования системы или в момент окончания очередного пополнения планируетсявремя, через которое будет сделан заказ на следующее пополнение запаса. Такое планированиезаключается в нахождении реализации случайной величины – времени от момента очередногопополнения запаса до момента, в который производится следующий заказ на пополнение.41Именно, если в некоторый фиксированный момент времени, произошло пополнение запаса и( )в результате этого пополнения запас принял значение ( )планируется через время, где{}, то заказслучайная величина с функцией распределения( ).
Притаких условиях, с вероятностью равной единице, выполняется стохастическое соотношение.В запланированный момент времени производится заказ на пополнение запаса иначинается период задержки (период подготовки выполнения очередного заказа). В течениепериода задержки потребление запаса не происходит.
Предполагается, что если состояниесистемы в момент заказапринимает значение( )( )результате последующего пополнения объем запаса становится равным{}, то длительность задержки – случайная величинаи имеет математическое ожидание( )системы ( )запасастановитсяравным( )( )( ){(описывается случайной величинойожидание( )( ){}, а в(( ))– зависит от номеров. Если же в момент заказа состояние}, а в результате последующего пополнения объем)( )( ){},, зависящей от номеров( ).
Параметры( )тодлительностьзадержкии имеющей математическоепредполагаются заданными. В рамкахразвиваемой в дальнейшем теории задание функций распределения случайной длительностипериода задержки не является необходимым.При выполнении указанных выше условий, с вероятностью равной единице,выполняетсяодноизравенств( )( ),ивмоментосуществляется запланированное пополнение запаса.Для описания процедуры пополнения запаса в настоящей модели используется схема,предложенная П.В. Шнурковым в работе [20].
В указанной работе было кратко изложенопостроение стохастической модели планового обслуживания технической системы или моделис плановыми переключениями. Упомянутая модель имела ряд важных особенностей,совпадающих с особенностями построенной здесь стохастической полумарковской моделиуправления запасом. Представляется, что эти особенности математических моделей отражаютреальносуществующиеэкономических систем.особенностифункционированияразличныхтехническихи42Непосредственное пополнение запаса представляет собой переход процесса( ) изодного подмножества в другое. Для описания процедуры пополнения введем следующиесистемы вероятностных характеристик:{( )}– вероятности перехода из( )в( )где{}{( )}– вероятности перехода из( )в( )где{}Если в момент пополнения значение процесса(( )){}, тосостояние внутри этого подмножества (точный уровень запаса) определяется в соответствии сизвестнойфункциейраспределенияраспределения( )(( ))(( )).Вероятностные( ) описывают отклонения от заданных фиксированных значений уровнейзапаса внутри каждого подмножества с номером(например, от середины соответствующегоинтервала).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
