Диссертация (1137355), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Такие соотношения исходныхпараметров модели означают, что любая из возможных конечных областей значений дефицитаменьше любой области значений реального запаса, то есть области значений дефицита задаютсяточнее.Теперь преобразуем оставшееся выражение для частного случаяОбласть интегрирования( ), в котором.( )для двойного интеграла, описывающего вероятностьизображена ниже на рисунке 9 (линии, расположенные в областиобозначают то, что областьи указывающие вверх,является неограниченной сверху).tk( 1) ( x)i(1), NS1 i(,N)1x i(1) i( )( )Рисунок 9. Вид области интегрирования для.( )Перепишем формулу (2.3.15) для вероятности( )( )( )(( ))]( )∫ [( )( )( )( )( )( )( )∫( )[( )]∫( )∫( )в следующем виде:( )∫ [( )]∫( )∫( )[[ (( )( )( )]( )∫( )[ (( ))(( ))]( ))(( ))],(( ))()68Таким образом, действуя по схеме, определяемой либо равенством (2.4.4), либоравенством (2.4.5) (в зависимости от соотношения параметров), мы получили необходимыепреобразования для всех вспомогательных вероятностных характеристик.4.4.
Преобразование вспомогательных интегральных выражений для математическогоожидания времени пребывания сопровождающего полумарковского процесса в различныхсостояниях.Проведем аналогичные преобразования интегральных выражений для вспомогательныххарактеристик, входящих в формулу (2.3.10) для математического ожидания временипребывания ( ) в различных состояниях. Отметим, что структура областей интегрирования( )для характеристик( ), приведенных в данном разделе, имеет вид аналогичный областям( )интегрирования для характеристик( )с учетом соответствующих соотношенийпараметров, заданных в (2.4.7).Рассмотримвариант,когдавыполняется( )соотношение:( )После.преобразования формула (2.3.16) примет следующий вид:( )( )( )∫∫( )[( )( )( )[( )( )∫∫( )( )][( )]( )( )]( )∫( )∫ [( )]( )[( )[( )∫ [{∫( )]( )( )( )( )]( )( )]( )[( )]}(( )В случае, когда выполняется обратное неравенство( ), выражение (2.3.16)преобразуется к виду:( )( )( )∫( )∫[( )( )( )( )[( )]( )( )]( )∫( )∫[( )[( ))]( )( )]69( )( )( )∫∫( )( )[( )]( )[( )∫( )∫ [( )]{( )]( )( )[( )]}(( )Аналитическое выражение для характеристики), задаваемое равенством (2.3.17),после перемены порядка интегрирования имеет вид:( )( )( )∫∫( )( )( )( )[( )][( )( )∫( )∫ []( )]( )[( )]( )( )∫ [][ (( ))( )(( ))](Проведем преобразование выражения (2.3.18) для математического ожидания( )зависимости от соотношения между параметрами( )Если выполняется неравенство( )( ))( )в., то выражение (2.4.18) можно представитьв следующей форме:( )( )( )∫( )∫[( )( )∫∫ [[{( )[]( )( )( )( )( )( )( )( )∫∫( )][( )( )( )]( )( )( )]( )( )( )]( )∫( )∫ [( )][( )]( )[( )]}(Рассмотрим представление для величины( )( )при другом соотношении параметров.
Преобразуем формулу (2.3.18) к виду:( )( )( )( )∫( )∫[( )( )( )( )[( )]( )( )]( )∫( ))∫[( )[( )]( )( )]70( )( )( )∫∫( )( )[( )]( )[{( )( )∫( )]( )∫ [( )]( )[( )]}(Выражение для частного случая формулы (2.3.18), когда), в преобразованнойформе имеет вид:( )( )( )∫ [][( )(( ))]( )( )( )( )∫( )∫( )( )[( )]( )[( )∫( )]( )∫ [[( )]( )( ) ()]4.5. Преобразование вспомогательных интегральных выражений для математическогоожидания прибыли, полученной за время пребывания сопровождающего полумарковскогопроцесса в различных состояниях.Преобразование вспомогательных характеристик, связанных с функционалом прибыли,производитсяаналогичнопроведеннымвышепреобразованиямвспомогательныхвероятностных характеристик, связанных с вероятностями перехода вложенной цепи Маркова иматематическимиожиданиямидлительностейпребываниявразличныхсостоянияхсопровождающего полумарковского процесса. Еще раз заметим, что структура областейинтегрирования для характеристик( )( ), приведенных в данном разделе, имеет виданалогичный областям интегрирования для характеристик( )( )с учетом соответствующихсоотношений параметров, заданных в (2.4.7).Рассмотрим вариант, когда:( )( ).
В этом случае область после преобразованияформула (2.3.25) примет следующий вид:( )( )( )∫∫[( )( )( )( )[( )()]( )( )]( )∫( )∫[( )[( )()]( )( )]71( )( )( )∫( )∫ [( )()]( )[]{∫∫ [( )( )[( )()]( )( )]}(Рассмотрим второй вариант:( )( )( )( )( )∫( )[( )( ). Преобразуя выражение (2.3.25), получаем:( )( )∫( )( )( )[()]( )( )( )( )]( )[()]( )( )[∫[( ){()]( )( )]( )∫∫ [( )]( )[( )( )∫( )( )∫( )∫)( )()]( )( )[( )]}()Аналогичным образом проведем преобразование выражения (2.3.26). Получим:( )( )( )∫∫( )( )( )[( )()]( )[( )( )∫( )∫ []()]( )( )[( )](( )Теперь преобразуем оставшееся выражение для( )между параметрамиВслучае,( )когда)в зависимости от соотношения.выполняется( )неравенство( ),выражение(2.3.27)представимо в виде:( )( )∫( )∫[( )∫∫ [( )}[( )()]( )( )( )[( )( )( )( ){( )( )∫∫( )][( )( )()]( )( )]( )( )()]( )( )( )]( )∫( )[∫ [[( )( )()]( )( )]()72Вслучае,когдавыполняется( )неравенство( ),выражение(2.3.27)преобразуется к виду:( )( )( )∫( )∫[( )( )( )[()]( )( )( )∫{∫[( )()]( )( )()]( )( )]( )∫( )]( )[( )[( )( )[( )∫( )]( )∫( )( )( )∫ [( )()]( )[( )( )]}(Выпишем отдельно случай, когда)и представим формулу (2.3.28) в следующейформе:( )( )( )∫ [( )( )∫ [( )()]( )]( )∫( )( )( )∫[[( )(( ))]( )( )]( )∫( )∫ [[( )()]( )( )( )()]Отметим, что функции( )() и( )() задаются формулами (2.3.23) и (2.3.24),соответственно.§5.
Представление основных характеристик полумарковской модели длядетерминированных управленийВ предыдущих разделах настоящей работы были получены явные представления длявсех вероятностных и стоимостных характеристик модели управления запасом, необходимыхдля определения стационарного стоимостного функционала. В дальнейшем при решениипроблемы управления по отношению к этому функционалу особую роль будут игратьвырожденныераспределения.сосредоточенным в точкеНазовемраспределение( )вырожденными, если оно представимо в следующем виде:( ){()73{гдераспределения} – некоторые фиксированные величины.
Такие вероятностныесоответствуютдетерминированным{вероятностные распределениявеличинам.Такимобразом,если} являются вырожденными, то это означает, чтоуправление в данной модели выбираются детерминировано. Именно, если в момент принятиярешения об управлении основной процессмножестве состояний( )( ) описывающий уровень запаса, находится во, то время до следующего момента заказа на пополнение принимаетдетерминированное значение{}.Поскольку в дальнейшем будет доказано, что экстремальные значения стационарныхстоимостных функционалов достигаются на вырожденных распределениях вида (2.5.1),целесообразно найти явные представления для вероятностных и стоимостных характеристикрассматриваемой модели управления запасом именно на вырожденных распределениях.Полученные представления можно будет использовать для определения стационарныхстоимостных функционалов как функций от вещественных переменных, то естьдетерминированных управлений.Заметим, что все полученные ранее вероятностные и стоимостные характеристикирассматриваемой модели управления запасом представляются в двух вариантах, зависящих отвида области интегрирования, который определяется соотношением вспомогательныхпараметров.
Если принять предположение о монотонности длин интервалов, на которыеразбивается область возможных значений объема запаса продукта, то есть множества состоянийпроцесса( ),тосоотношениямеждувспомогательнымипараметрамистановятсяоднотипными и можно использовать один вариант вида области интегрирования исоответствующего представления двойного интеграла для всех вероятностных и стоимостныххарактеристик модели одновременно. В данном разделе будут использоваться именно такиепредположения о монотонности длин интервалов разбиения.5.1. Представления для вспомогательных вероятностных характеристик.В данном разделе будут получены представления для вспомогательных вероятностныххарактеристик, используемых в формуле (2.3.9) для вычисления переходных вероятностейвложенной цепи Маркова, в случае, когда управляющие вероятностные распределенияявляются вырожденными (2.5.1).Предположим, что выполняется соотношение (2.4.10):( )( ){}.Из формул (2.4.13), (2.4.14) следует, что при условии (2.4.10) длины интервалов убывают сростом номера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
