Диссертация (1137355), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Тогда вероятность перехода из состояниясостоянии решениив состояниеможно представить следующим образом:при принятом в74( )( )(( )( )((( )( )))()(( )( ))( ))( )( )( )(( )( ))()( )( ){( )Предположим, что выполняется соотношение (2.4.11):( ){}.Из формул (2.4.15), (2.4.16) следует, что при условии (2.4.11) длины интервалов возрастают с( )ростом номера. В этом случае( ) имеет вид:( )( )(( )( )( )((( ))))(( )( ))( )(( )(( )( ))( )( ))()()( )( ){В случае, когда( ) – линейная функция:( )( )функция( )( )( )( ), описываемая формулами (2.5.2) и (2.5.3), будет иметь вид, представленныйниже на рисунках 9 и 10 соответственно.pik() (ui )1()i , k 1Рисунок 10.
Вид функции( )()i 1, k 1( )i ,kдля случая когда( )ui()i 1, k( ).75pik() (ui )1()i , k 1Рисунок 11. Вид функции( )( )i ,k()i 1, k 1( )для случая когдаАналогичным образом выпишем выражения для( )( )({( ))( )( )ui()i 1, k( )и( )(.( )( ).( ))(( )( )( ) задана формулой (2.5.4), функцияВ случае, когда функция)( ) имеет вид,представленный на рисунке 12.pii() (ui )1Рисунок 12. Вид функцииВыражение для( )i 1,i( )( ).( )ui( )( ) в случае( ){} представимонижеследующей формулой:( )( )(( )( )(({( ))( )))((( )(( )( ))( )( ))( ))( )( )( )( )()76Для случая, когда( )( ){}, величина( )( ) представляетсякак:( )( )(( )( )( )(( )()))(( )( ))( )(( )(( ))( )( ))()( )( ){( )Графики функциифункция( )( ), заданные выражениями (2.5.6) и (2.5.7) в случае, когда( ) задана формулой (2.5.4), имеют вид аналогичный графикам для функций,заданных формулами (2.5.2) и (2.5.3) (см.
выше рисунки 10 и 11 соответственно).Рассмотрим случай, когда в результате перехода процессподмножестве( ). Тогда вероятность( )( ) оказывается в( ) выражается следующим образом:( )( )( )(( )({Изобразим график( ))( ))(( )(( ))( ) в предположении, что( )( )()( ))( ) задана формулой (2.5.4):( )piN(ui )11Рисунок 12. Вид функцииОтметим, что i(1), N()i,N1{ui1( ).} для всех формул (2.5.2) – (2.5.8).5.2. Представления для вспомогательных характеристик, связанных со временемпребывания сопровождающего полумарковского процесса в различных состояниях.По аналогии с предшествующим разделом в данном разделе будут полученыпредставления для вспомогательных вероятностных характеристик, используемых в формуле77(2.3.10) для вычисления математических ожиданий времени пребывания полумарковскогопроцесса( ) в различных состояниях{}, в случае, когда управляющиевероятностные распределения являются вырожденными (2.5.1).( )Предположим, что выполняется соотношение (2.4.10):при условии, что в состоянии{}.( )в состоянии , вычисляемоеТогда математическое ожидание длительности пребываниясовместно с событием( )было принято решение, можнопредставить следующим образом:( )( )∫( )[( )( )]( )( )( )( )( )( )∫ [( )( )]( )()( )( )( )∫ []( )( )( )( )( ){Предположим, что выполняется обратное соотношение:}.
В этом случае( )( )( ){( ) имеет вид:( )( )∫[( )]( )( )( )( )( )( )( )∫[( )]( )( )( )( )( )∫ [( )]( )( )( ){( )( )()78Аналогичнымобразомвыпишемоставшиесявыражениядлявспомогательных( ) вхарактеристик, связанных с математическим ожиданием длительности пребыванияразличных состояниях.( )( )( )∫ [( )( )( )](( ))( ){( )Выражение для( )( ) в случае( ){}, представимо ввиде:( )( )∫( )[( )( )]( )( )( )( )( )( )∫ [( )]( )( )( )( )()( )( )∫( )[( )]( )( ){Дляслучая,когда( )( ){},характеристика( )()выражается следующей формулой:( )( )∫[( )]( )( )( )( )( )( )( )∫[( )]( )( )( )( )( )∫[( )]( )( ){( )( )( )( )79В случае, когда в результате перехода случайный процесс ( ) попадает в подмножество( ), выражение для( )( ) принимает вид:( )( )∫( )( )( )[( )( )( )](( ))( )( )∫ [{]( )( )( )Таким образом, в формулах (2.5.9) – (2.5.14) получены представления в явнойаналитической форме для всех вспомогательных характеристик необходимых для вычисленияматематических ожиданий времени пребывания ( ) в различных состояниях для случая, когдауправляющие вероятностные распределения имеют вид (2.5.1).
Отметим, что{}для всех формул (2.5.9) – (2.5.14).5.3. Представления для вспомогательных характеристик, связанных с прибылью,полученной за время пребывания сопровождающего полумарковского процесса вразличных состояниях.В данном подразделе будут получены явные аналитические выражения для стоимостныххарактеристик модели, входящих в соотношение (2.3.11), которые связанны с математическимиожиданиями прибыли, полученными за определенный период функционирования системы, вслучае когда управляющие распределения имеют вид (2.5.1).
Выражения для такихвероятностно-стоимостных характеристик модели так же как и для вероятностныххарактеристики в двух предшествующих подразделах будут зависеть от соотношений междупараметрами( )и( ), а также между параметрамиВыпишем сначала представление для(2.4.10):( )( ){( )( )и( ).( ) в случае, когда справедливо соотношение}. Математическое ожидание прибыли, полученной завремя пребывания ( ) в состоянии , вычисляемое совместно с событиемсостоянии было принято решениепри условии, что в,можно представить следующим образом:80( )( )( )∫()( )( )( )( )( )( )( )( )∫()( )( )( )()( )( )( )∫()( )( )( )( )( ){Если же между рассматриваемыми параметрами выполняется соотношение (2.4.12):( )( ){}, то величина( )( ) записывается в виде:( )( )( )∫()( )( )( )( )( )( )( )( )∫()( )( )( )( )()( )( )( )∫()( )( )( )( )( ){По аналогии выпишем оставшиеся выражения для вспомогательных характеристик,связанных с математическим ожиданием прибыли, полученной за время пребывания ( ) вразличных состояниях.( )( )∫( )( )()( )( )(( )( ){Выражение для)( )( ) при соотношении( )( ){} имеет вид:81( )( )( )∫()( )( )( )( )( )( )( )( )∫()( )( )( )( )( )()( )( )( )∫()( )( )( ){Если справедливо обратное соотношение:для( )( )( ){}, выражение( ) определяется формулой:( )( )( )∫()( )( )( )( )( )( )( )( )∫()( )( )( )()( )( )∫( )()( )( )( )( )( ){Если в результате перехода случайный процессвыражение для( )( ) попадает в подмножество( ),( ) представляется в вид:( )( )( )∫( )( )()( )( )(( )( )∫{( )( )( )()( )( ))82Итак, в формулах (2.5.15) – (2.5.20) явно представлены выражения для вспомогательныххарактеристик необходимых для вычисления математических ожиданий прибыли, полученнойза время пребывания( ) в различных состояниях для случая, когда управляющие{вероятностные распределения являются вырожденными.
Отметим, что} для всехформул (2.5.15) – (2.5.20).Таким образом, в данном параграфе мы получены все необходимые представления длявычисления вероятностных и стоимостных характеристик рассматриваемой модели управлениязапасом. Воспользовавшись соотношениями (2.3.9) – (2.3.11) для случая вырожденныхуправляющих распределений, получаем явные представления для основных вероятностных истоимостных характеристик полумарковской модели, вычисляемых при дополнительномусловии, состоящем в том, что параметр управления принимает фиксированное значение:( )∑( )( )( )( )∑∑( )( )( )∑( )( )( )∑∑( )( )( )( ){( )( )}{{}}()()()83Глава 3. Исследование стационарных показателей качества управления врассматриваемой модели. Основные результаты§1. Экстремальная задача для дробно-линейного функционалаРассмотримстационарныйфункционалсреднейудельнойприбыли,заданныйвыражением (2.2.1) и связанный с исследуемым полумарковским процессом ( ).Как известно из ([5], глава 13), стационарные стоимостные функционалы вида (2.2.1)являются{дробно-линейнымиотносительновероятностныхраспределений( )}, определяющих управления (решения) в соответствующих состояниях.Выпишем общее представление для дробно-линейного функционала от вероятностныхраспределений( )((){}, задаваемого равенством (2.2.1):( ))∫∫()()()∫∫()()()()Из теории дробно-линейных функционалов следует, что если основная функциясоответствующего функционала, представляющая собой частное подынтегральных функцийчислителя и знаменателя, достигает глобального (абсолютного) экстремума на множестве{(возможных значений параметров управления)[){}},то экстремум дробно-линейного функционала достигается на вырожденных распределениях,вида (2.5.1) сосредоточенных в точке глобального экстремума.
Именно, если функция()()()достигает своего глобального экстремума (максимума) на множествефиксированной точке(()(()в некоторой), то экстремум соответствующего функционала( )) достигается на вырожденных распределениях вида (2.5.1).Таким образом, для решения задачи оптимального управления по стационарномуфункционалувида (2.2.1) необходимо установить, достигается ли глобальный экстремум(соответствующей основной функциимножеству допустимых управленийзадачасуществованияэкстремума) в некоторой точке, принадлежащей, и найти саму экстремальную точку.
Так будет решенанамножествевероятностныхраспределенийи84непосредственно найдено оптимальное (вырожденное) распределение, соответствующеедетерминированному управлению.Итак, установлено, что важной частью исследования экстремальных задач для дробнолинейных функционалов вида (2.2.1) является нахождение аналитического представления дляосновной функции такого функционала, т.е.
в данной модели для функции().Приведем описание методики такого представления.Заметим, прежде всего, что в исходном представлении для стационарного функционала{(2.2.1) участвуют стационарные вероятности {полумарковский процесс}} цепи Маркова, вложенной в( ). Эти стационарные вероятности удовлетворяют системелинейных однородных уравнений с дополнительным условием нормировки:{∑}∑{()()Если вложенная цепь Маркова имеет один класс возвратных положительных состояний,то для неё существует единственное стационарное распределение. В таком случае этораспределение является единственным решением системы линейных уравнений (3.1.3), (3.1.4).Формально это решение можно найти следующим образом: из системы линейных однородныхуравнений (3.1.3) исключается одно уравнение (обычно последние, с номером), а затемрассматривается система, состоящая из всех оставшихся уравнений.{∑}∑{()()Полученная система уравнений (3.1.5), (3.1.6) может быть решена при помощиклассических алгебраических методов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
