Диссертация (1137355), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Введем на её основе обозначения для следующих вспомогательныххарактеристик:( )(( )( )(( )( )( )( ){|){( )[[[)( )[( )|||( )( )|}|{{{]])()}()}()}()}()}]]({48где( )( )– условная вероятность наступления события{} при условии, что вмомент заказа процесс ( ) находится в состоянии ;( )– условная вероятность наступления события( ){} при условии, что вмомент заказа процесс ( ) находится в состоянии ;( )– математическое ожидание случайной длительности эволюции системыпо совместному распределению величины( )и события( )и события– математическое ожидание случайной величины( )распределению этой величины и события( ){};– математическое ожидание случайной длительности эволюции системыпо совместному распределению величины( )( ), определяемое{( )};, определяемое по совместному}– математическое ожидание случайной величиныраспределению этой величины и события{, определяемое{, определяемое по совместному}Тогда основные вероятностные и стоимостные характеристики рассматриваемойполумарковской модели представляются через введенные вспомогательные величины (2.3.3) –(2.3.8) следующим образом:∑( ) ( )( )∑∑( )∑( ) ( )( )∑∑( ){{}{}}()()()Формула (2.3.9) определяет вероятности перехода для вложенной цепи Маркова { }из состояния в состояние ; формула (2.3.10) – математическое ожидание времени пребыванияпроцесса( ) в состояниидо следующего перехода; формула (2.3.11) – математическоеожидание приращения функционала(затрат или прибыли) на одном периоде эволюциисистемы, определяемое при условии, что в начальный момент этого периода, сопровождающийполумарковский процесс ( ) перешел в состояние .3.1.
Аналитические представления для переходных вероятностей вложенной цепиМаркова49В данном разделе будут получены аналитические выражения для вспомогательныхвероятностных характеристик, входящих в формулу (2.3.9) и связанных с переходнымивероятностями вложенной цепи Маркова { }. Введем вспомогательные величины, которые( ) в промежуточные состояния в моменты заказа насвязанны с переходами процессапополнение запаса в системе.Пусть( ){}.
Для того, чтобы через заданное время( )оказался в подмножестве состоянийпроцесс( )должно выполняться условие:( )( ){}или, иначе, значение параметра должно удовлетворять неравенству:( )( ){Аналогично, чтобы через заданное времясостояний( )}процесс( ) оказался в подмножестведолжно выполняться условие:( )( ){}Введем, для удобства, следующие обозначения:( )( )( )( )( )( )утверждение( ){}( )( )( )опредставлении( )Сформулируем( ){}вспомогательныххарактеристик,входящих в формулу (2.3.9) для вычисления переходных вероятностей вложенной цепиМаркова.Теорема 2.3.1.
Аналитические представления для вспомогательных характеристик, входящихв (2.3.9), имеют следующий вид:( )( )( )∫( )( )( )∫[( )( )( )∫( ){}()()]( )( )( )∫[( )( )( )]50( )( )( )∫( )( )( )∫[( )( )( ){}()()]( )( )∫̅ (( )( ))( )( )где ̅ ( )( ), а величина{} для всех формул (2.3.12) – (2.3.15).Доказательство.Зафиксируем условие, состоящее в том, что в результате очередного пополнения процесс( )( ) принял значение( ). При таком условии событиетогда, когда объем запаса, потребленного за времяреализуется тогда и толькоот момента пополнения до моментаочередного заказа, удовлетворяет двойному неравенству:( )( )или, что то же самое,( )( )( )( )Отсюда следует, что соответствующая условная вероятность события( )(( )|())Усредняя условную вероятность(( )|(имеет вид:( )( )∫( )( )( ))) по распределению( ),получаем формулу (2.3.12).
Формулы (2.3.13) – (2.3.15) доказываются путем аналогичныхрассуждений. Теорема доказана.Замечание 2 (к теореме 2.3.1). Формулы (2.3.13), (2.3.15) являются частными случаямиформул (2.3.12), (2.3.14) и выделены отдельно для того, чтобы отразить экономическиеситуации, которые могут быть связаны как с крайним понижение или повышением уровняспроса на товар, так и с неоптимальным процессом управления системой планировщика.Формула (2.3.13) описывает представление для условной вероятности события, состоящего втом, что в запланированный момент заказа на пополнение основной процесс ( ) остается втом же самом подмножестве состояний( ), в котором он находился в начальный моментданного периода эволюции. Формула (2.3.15) описывает представление для условной51вероятности события, состоящего в том, что в запланированный момент заказа на( )пополнение значение основного процесса, то есть в системе образуетсяневосполнимый дефицит.Таким образом, теорема 2.3.1 позволяет в явной аналитической форме получитьпредставления для переходных вероятностей вложенной цепи Маркова (2.3.9).3.2.
Аналитические представления для математических ожиданий длительностейпребывания сопровождающего полумарковского процесса в различных состояниях.В данном разделе будут получены аналитические представления для вспомогательныхвероятностных характеристик, входящих в формулу (2.3.10) и связанных с временем{пребывания процесса ( ) в различных состояниях}.Теорема 2.3.2. Аналитические представления для величин, входящих в (2.3.10) имеютследующий вид:( )( )( )∫( )( )∫[( )( )[( )( )( )∫( )[{}()()()()( )∫( )[]( )[( )]( )∫( )( )∫( )( )( )]( )( )( )]( )[( )]( )( ){}]( )( )∫ [( )где{∫ [( )( )]( )]( )( )} для всех формул (2.3.16) – (2.3.19).Доказательство.Зафиксируем состояние основного процесса ( ) в начальный момент периода эволюции, т.е.
предположим, что выполняется условиереализуется событие.( )( ){}. Тогда52( )Обозначим через( ) условное математическое ожидание затрат за период эволюции( )системы, определяемое совместно с событием( )условия, а также при выполнении дополнительного. Аналогично определим условные математические ожидания на первой и(второй частях периода эволюции( ))(( )( ))()( ). По свойству математического ожидания(( ))( )()Получим представления для условных математических ожиданий, входящих в правуючасть формулы (2.3.20):( )()( )( )( )∫( ))( )∑( )( )}( )( )({∫( )( )( )( )( )( )( )∫( )( ){}( )Усредним обе части соотношения (2.3.20) по распределению( ), которое описываетраспределение состояния процесса ( ) в начальный момент периода эволюциипри условии.
Получаем:( )( )∫( )( )( )( )( )∫ [()( )()( )]( )( ){}(Подставляя выражения для условных математических ожиданий()( )())( ) вформулу (2.3.21), получаем соотношение (2.3.16) из утверждения теоремы. Соотношения(2.3.17) – (2.3.19) доказываются аналогично. Теорема доказана.Замечание 3 (к теореме 2.3.2). Отметим, что в формулах (2.3.18), (2.3.19) величина( )∑( )( ){}представляет собой условное математическое ожидание длительности периода задержкипоставки, определяемое при условии, что в момент начала этого периода реализуетсясобытие( ){}.533.3. Аналитические представления для величин, характеризующих затраты и прибыль завремяпребываниясопровождающегополумарковскогопроцессавразличныхсостояниях.{Ранее было отмечено, что величины}, входящие в формулу (2.2.1) иопределяемые формулой (2.3.11), представляют собой математические ожидания приращенияаддитивного стоимостного функционала за время пребывания процесса{состояниях( ) в различных}.
В данном разделе будут получены аналитические представлениядля вероятностно-стоимостных характеристик, входящих в формулу (2.3.11), для случая, когдав качестве аддитивного стоимостного функционала выступает функционал прибыли.( ), то доход отЗаметим, что если объем запаса продукта зависит от времениреализации этого продукта за период [] представляет собой интеграл от стоимостипродукта, потребленного в единицу времени. Таким образом, доход за указанный периодвремени аналитически выражается следующим образом:()∫( ( ))(( )На основе формулы (2.3.22) введем вспомогательную функции()) – условноематематическое ожидание величины прибыли при функционировании рассматриваемойсистемы на одном периоде её эволюции, которое определяется при следующих условиях:1) в момент очередного пополнения запас продукта равен фиксированной величине( )( ){};при этом выполняется условие2) параметр управления принимает фиксированное значение3) за время;;запас не будет израсходован и дефицит в системе не образуется, т.е.выполняется соотношение;( )4) в момент заказа реализуется событиеАналитическое представление для функции( )( ( )( )()){{}} имеет следующийвид:( )()∫[()()]()( )()Предположим теперь, что выполняется комплекс условий, аналогичных 1 – 4, в которомусловия 1 и 2 остаются прежними, а условия 3 и 4 формулируются следующим образом:543) за заданное времязапас будет полностью израсходован и в системе образуетсядефицит продукта, т.е.
выполняется соотношение4) в момент заказа реализуется событие( );( )( ( )){}.Тогда условное математическое ожидание величины прибыли при функционированиирассматриваемой системы на одном периоде( )(){( )её эволюции определяется функцией}, аналитическое представление которой имеет вид:()(∫[())()](∫[)()]( )()Используя выражения (2.3.23) и (2.3.24), выпишем представления для вспомогательныхвеличин, входящих в формулу (2.3.11) для математического ожидания прибыли на одномпериоде эволюции системы, которое определяется при условии, что в начальный момент этогопериода процесс ( ) перешел в состояние .
Иначе говоря, в момент( )( ){выполняется условие:}.Теорема 2.3.3. Аналитические представления для величин, входящих в (2.3.11),имеютследующий вид:( )( )( )∫( )( )( )∫[( )()( )( )( )∫( ){}()()()( )()( )( )∫()( )[( )]( )∫[( )∫( )( )( )]( )( )( )( )()( )( )( ){}]( )( )∫ [( )где{∫( )( )(( )} для всех формул (2.3.25) – (2.3.28).)( )]( )55Доказательство.Зафиксируем состояние основного процесса ( ) в начальный момент периода эволюцииреализуется событие{}. Тогда.( )Обозначим через( ) условное математическое ожидание прибыли за периодэволюции системы, определяемое совместно с событиемдополнительного( )( ), т.е.
предположим, что выполняется условие( )условияАналогичным.( ), а также при выполненииобразомопределимусловныематематические ожидания прибыли на первой и второй частях периода эволюции()( )()( ). По свойству математического ожидания( )(( ))(( ))( )()Получим представления для условных математических ожиданий, входящих в правуючасть формулы (2.3.29).( )()( )( )∫( )([∫[)()]( ){}( )( )()]( )()( )( )( )∫[( )( ){}]Усредним обе части соотношения (2.3.29) по распределению( ), которое описываетраспределение состояния процесса ( ) в начальный момент периода эволюциипри условии.
Получаем:( )( )∫( )( )( ){( )( )∫ [()( )()( )]( )( )}Подставляя выражения для условных математических ожиданий(()( )())( ) вформулу (2.3.30), получаем соотношение (2.3.25) из утверждения теоремы. Соотношения(2.3.26) – (2.3.28) доказываются аналогично. Теорема доказана.Замечание 4 (к разделу 3.3). В данном разделе получены выражения для характеристик,входящих в формулу (2.3.11), для случая, когда в качестве аддитивного стоимостного56функционала выступал функционал прибыли. Полагая доход от реализации продукта равнымнулю, получим, что величиныи соответствующие величины( )( )представляют собойаналогичные характеристики, связанные с функционалом затрат.§ 4. Проблема преобразования интегральных представлений для вероятностных истоимостных характеристик модели4.1.
Предварительные замечания.В предыдущих разделах данной работы было доказано, что основные вероятностностоимостные характеристики рассматриваемой модели управления запасом (2.3.9) – (2.3.11)представляются в аналитической форме двойного интеграла по мерам, задаваемымвероятностными распределениями()(){}.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
