Диссертация (1137355), страница 11
Текст из файла (страница 11)
При этом внутренний интегралопределяется по мере, задаваемой вероятностным распределением( ), характеризующимвремя от начала очередного периода эволюции системы (момента очередного пополнениязапаса) до момента следующего заказа на пополнение, при условии, что в момент началапериода процессинтеграл( ) находился в подмножестве состоянийопределяетсяповероятностноймере,( )задаваемойхарактеризующим случайный выбор состояния процесса.
Внешний (повторный)распределением( ),( ) в момент начала очередногопериода эволюции системы (момент очередного пополнения запаса) внутри подмножествасостояний( ).Отметим, что в рассматриваемой модели распределение( ), которое описываетобъективно существующие случайные отклонения объема заказанной партии продукта отпланового значения, предполагаются заданными, а вероятностное распределение()описывает случайное значение управления и его необходимо выбирать как решение некоторойэкстремальной задачи. Как будет ясно из дальнейшего изложения, для решения такойэкстремальной задачи целесообразно поменять порядок интегрирования в соответствующихдвойных интегралах и, в конечном итоге, представить все рассматриваемые вероятностныехарактеристикимоделиуправленияраспределениям управлений()запасом{ввидеинтеграловповероятностным}.
В данном разделе работы изложена общаяконструкция такого преобразования. Теоретической основой для него служит классическаятеорема Фубини [18] о перемене порядка интегрирования. В то же время, в данной задаченеобходимо учитывать сложное устройство области интегрирования на множестве значенийпараметров. После общего описания такого преобразования появляется возможность57провести конкретные преобразования каждого из двойных интегралов (2.3.9) – (2.3.11),представляющих различные характеристики данной модели.4.2.
Общая схема преобразования интегральных характеристик.Начнем наше рассмотрение с идеи проведения преобразования двойного интеграла.(Пусть заданы функция двух вещественных переменныхфункции ( ) ( ), определяющие меры на пространствах)исоответственно. Предположим,( )что заданы непрерывные монотонно возрастающие функции( ).
Рассмотримследующий двойной интеграл:( )( )(∫[ ∫)( )]( )()( )где [] – конечный или бесконечный интервал на множестве( )порядка интегрирования в интегралегде. Введем обозначения для функций-индикаторов:(){(){– некоторое множество в пространствепространстве . Тогда двойной интеграл( )∫ [∫ ([. Произведем изменение( )] ) ([– некоторое множество в,можно представить в виде:( )( )] ) ()( )]( )()Применим к данному интегралу теорему Фубини об изменении порядка интегрирования:( )∫ [∫ ([] ) ([( )( )] ) ()( )]( )()Итак, формально, изменение порядка интегрирования обосновано. Представим теперьинтеграл вида (2.4.3) в более удобной аналитической форме.Обозначимисходнуюпредположению функциипо :[]( )область( )интеграла( )через.По( ) являются непрерывными и монотонно возрастающими( ) Тогда область{(Обозначим черезинтегрирования)[( )можно представить в виде( )][]}58()[(( )]( ))[(( )])( )Далее возможны два варианта, связанные с поведением функций[( )]:( )( )или( )( ) на отрезке.( )Рассмотрим вариант, когда выполняется соотношение( )(иллюстрацияпредставлена ниже на рисунке 2).В этом случае область интегрирования( )){(( )( )[){(( )][){(можно разбить на три подобласти:[][( )( )( )[][( )( )( )]}]}( )]}ta1 ( x)a1(1)aaa0 (x)S (2)(1 )0S(0)1(1 )S (0)a 0( 0 )10x( )Рисунок 2.
Вид области интегрирования для соотношения( ).В соответствии с выбранным разбиением области , интеграл( )можно представитькак:( )( )( )∫[ ∫()( )]( )∫ [ ∫( )( )()( )]( )( )( )∫ [∫ (( )( ))( )]( )∫ [ ∫( )( )()( )]( )()59( )Для случая, когда выполняется соотношение( ), область интегрирования будетвыглядеть следующим образом (иллюстрация приведена ниже на рисунке 3):ta1 ( x)a1(1)a0 ( x)Sa1( 0 )aS(1 )0(2)(1 )S (0)a 0( 0 )x10( )Рисунок 3.
Вид области интегрирования для соотношенияДля данного варианта область интегрирования( ).можно разбить на следующиеподобласти:( )( )( )){(( )Тогда интеграл){([[){(( )]( )[( )]( )]∫[ ∫()( )( )( )( )( )]}( )( )]}]}( )]( )( )∫ [ ∫()( )]( )( )( )( )∫ [ ∫[[( )( )( )( )можно переписать в следующем виде:( )( )[()( )]( )∫ [ ∫( )()( )]( )()( )Представления (2.4.4) и (2.4.5) можно использовать для вычисления вероятностейперехода и величин средней прибыли (затрат), полученной за время пребывания в отдельныхсостояниях.4.3.
Преобразование интегральных выражений для вероятностей перехода вложеннойцепи Маркова.60Проведем преобразования выражений для вероятностей перехода вложенной цепиМаркова, используя приведенные выше утверждения об изменении порядка интегрирования.( )Зафиксируем произвольное значениеи введем следующие вспомогательныефункции и параметры:( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )()()( )Дальнейшие преобразования будут зависеть от соотношений между характеристиками,определенными в выражениях (2.4.6) – (2.4.7).Рассмотрим первый вариант такого соотношения:интегрирования( )( ).
В этом случае областьдля двойного интеграла, определяющего вероятность перехода( ), можнопредставить в виде объединения трех подобластей (подмножеств множества ):⋃()Графическая иллюстрация такого представления области интегрирования представленана рисунке 4.tk( ) ( x) i(1), kS (2)( )i ,kS()i 1, k 1S(1 )k( 1) ( x)(0) i(,k ) 1()k i( )x i(1) k( 1)Рисунок 4. Область интегрирования для( )при соотношении( )( ).61Таким образом, выражение (2.3.12) для вероятности перехода( )можно переписать ввиде:( )( )( )∫( )( )∫[( )( )( )∫( )( )( )( )( )( )]( )( )∫( )[( )∫( )[∫]( )∫( )∫[( )∫]( )( )( )( )( )( )]( )[ (( ))(( ))]( )∫ [ (( )( ))(( ))]( )( )( )∫ [ (( ))( )(( ))]()( )Рассмотрим второй вариант соотношения параметров:область интегрирования( )( ).
В этом случае,для двойного интеграла, определяющего вероятность переходаимеет вид, представленный на рисунке 5:tk( ) ( x) i(1), kS (2)()i 1, k 1S( )i ,kk( 1) ( x)(1 )S (0) i(,k ) 1 k() i(1) i( )x k( 1)Рисунок 5. Область интегрирования для( )при соотношенииВыражение (2.3.12) для вероятности перехода( )( )( )., в данном случае, примет вид:( ),62( )( )( )∫( )( )( )( )∫[( )( )( )( )∫( )( )( )[( )[( )∫( )( )]( )∫( )∫( )]( )∫( )]( )∫( )( )[( )]( )( )∫ [ ()(( )( ))]( )( )( ))(( )( ))(( ))]( ))]( )Таким образом, для каждого фиксированного значения{∫[ (( )( )∫ [ (()( )перехода( )} вероятностьможет быть аналитически представлена в двух различных вариантах взависимости от соотношения между параметрами( )и( ). Рассмотрим отдельно дваслучая, когда соотношения между указанными параметрами однотипны, т.е. выполняется либоусловие:( )( ){}()()либо условие( )( ){}При выполнении каждого из этих вариантов все выражения для вероятностей переходабудут представлены в одинаковой форме, соответствующей одному из видов областиинтегрирования .Заметим, что условие (2.4.10) эквивалентно следующему:( )( )( )( ){}()Если предположить, что величины областей разбиения множества возможных значенийобъема реального запаса монотонно убывают с ростом номера, то есть:63( )( )( )( ){}()то выполняется условие (2.4.12), а, следовательно, и условие (2.4.10).
Такая особенностьисходной модели означает, что с ростом объема запаса, области его возможных значенийнеобходимо задавать точнее.В то же время, условие (2.4.11) эквивалентно условию:( )( )( )( ){}()Если предположить, что величины областей разбиения множества возможных значенийобъема реального запаса монотонно возрастают с ростом номера, то есть:( )( )( )( ){}()то выполняется условие (2.4.14), а, следовательно, и условие (2.4.11).
Такая особенностьисходной модели означает, что с уменьшением объема запаса, области его возможных значенийнеобходимо задавать точнее.Условия монотонности величин областей разбиения множества возможных значенийобъема запаса представляются вполне естественными с точки зрения приложений. В связи сэтим в дальнейшем при нахождении различных вероятностных и стоимостных характеристикмодели будут рассматриваться такие варианты соотношений между параметрами.Перейдем теперь к преобразованию оставшихся вспомогательных вероятностныххарактеристик, входящих в формулу (2.3.9) для вычисления переходных вероятностейвложенной цепи Маркова.Область интегрирования( )для интеграла, представляющего собой вероятность перехода, представлена ниже на рисунке 6:ti() ( x) i(1), iS()i i( )x i(1)Рисунок 6.
Область интегрирования для( ).64Тогда выражение (2.3.13) можно представить в следующем виде:( )( )( )∫( )( )( )( )∫[( )( )∫( )∫]( )[( )]( )( )∫ [ ()перехода( )()⋃Область интегрирования( )(( ))]()для интеграла, представляющего вероятность, представлена ниже на рисунке 7. В данном варианте рассматривается следующеесоотношение между параметрами:( )( ).tk( 1) ( x)i(1),k 1 i(,k ) 1 i(1), k()i ,kS (2)k( ) ( x)(1 )SS (0)x i(1) i( )Рисунок 7.
Вид области интегрирования дляПреобразуем выражение (2.3.14) для( )( )при( )( ).к виду, представленному нижеследующейформулой:( )( )( )∫( )∫( )[( )( )( )( )∫( )( )[( )( )( )]( )∫]( )∫( )( )( )[( )( )( )]( )∫( )∫∫[( )( )( )]65( )( )( )∫ [ ()(( )( ))]( )∫ [ (( ))(( ))]( )( )( )∫[ (( ))( )(( ))]()( )( )Рассмотрим представление для вероятности перехода( )между параметрами:( ). Область интегрированияпри другом соотношениив этом случае изображена нижена рисунке 8.tk( 1) ( x)( )i 1, k 1 i(1), k(1 )S i(,k ) 1Sk( ) ( x)S (2)(0)()i ,kx i(1) i( )Рисунок 8. Вид области интегрирования для( )( )при( ).Преобразуя выражение (2.3.14), получаем:( )( )( )∫( )∫[( )( )( )( )( )( )[( )( )[( )]( )∫( )( )[( )( ))(( ))]( )]( )∫ [ (( )( )∫]( )∫( )( )∫( )∫]( )∫( )( )( )( )66( )∫( )[ ()()(( ))]( ))]( )( )( )∫ [ (( )( )()( )Из формул (2.4.17) и (2.4.18) следует, что вероятность перехода{фиксированного значения( )для каждого} может быть аналитически представлена двумяразличными выражениями, вид которых определяется в зависимости от соотношения между( )параметрами( )и.
Рассмотрим отдельно два случая, когда соотношения междууказанными параметрами однотипны, т.е. выполняется либо условие:( )( ){}()()либо условие( )( ){}При выполнении каждого из этих вариантов все выражения для вероятностей переходабудут представлены в одинаковой форме, соответствующей одному из видов областиинтегрирования .Заметим, что условие (2.4.19) эквивалентно следующему:( )( )( )( ){}()Если предположить, что соотношение (2.4.21) выполняется для любых фиксированныхзначений{}указанных значений{}, то соотношение (2.4.19) также выполняется для, и можно применить первый вариант преобразования для всехвспомогательных вероятностных характеристик( ). По смыслу задания исходных параметровмодели это означает, что любая из областей возможных значений дефицита шире любойобласти реального запаса, то есть области реальных значений задаются точнее.В то же время, условие (2.4.20) эквивалентно условию:( )( )( )( ){}()Если предположить, в свою очередь, что соотношение (2.4.22) выполняется для любыхфиксированных значений{выполняется для указанных значений}{}, то соотношение (4.2.20) также, и можно применить второй вариант преобразования67( )для всех вспомогательных вероятностных характеристик.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
