Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1137355), страница 14

Файл №1137355 Диссертация (Анализ дискретной полумарковской модели управления запасом непрерывного продукта при периодическом прекращении потребления) 14 страницаДиссертация (1137355) страница 142019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Обозначим через(3.1.5), (3.1.6), а через( )определитель матрицы системы– определитель той же матрицы, в которой столбец с номеромзаменен столбцом свободных членов. Тогда( ){}()85Как было отмечено В.А. Каштановым ([5] , глава 13), для любого фиксированного{( )} определитель{вероятностейраспределенияпредставляет собой величину, не зависящую от переходных}, а тем самым, и от управляющего вероятностного( ). Именно на этой особенности представления стационарных вероятностейосновано утверждение о том, что стационарные функционалы вида (2.2.1) являются дробно()линейными по отношению к управляющим вероятностным распределениям{}.§ 2. Результаты о структуре стационарных стоимостных функционаловДля решения задачи управления полумарковским процессом необходимо установитьструктуру стационарного функционала, характеризующего качество управления.

Посколькурезультаты данного раздела относятся к общей теории управления полумарковским процессомс конечным множеством состояний, приведем вначале краткое описание математическоймодели управления.Пусть ( ) – управляемый полумарковский процесс с конечным множеством состояний{}заданное целоеположительное число.

Процессмоментыв,которыепроисходят( ) управляется впоследовательныесостояний. Управление процессом представляет собой случайную величинузначения из некоторого множества возможных управлений. Подизменения, принимающуюпонимается множествовещественных чисел или некоторое из его подмножеств, на котором задана стандартная.

Зададим на измеримом пространстве (алгебра борелевских множестввероятностныхмер()(распределений)()( ),которыебудут) наборопределятьпринимаемые решения об управлении(Именно, если), то управлениевеличина, принимающая значения изПоследовательность {(данныйпроцессполумарковскийопределяется как случайнаяи имеющая распределение)}(){}.образует управляемую цепь Маркова, вложенную в( ).длительность интервала времени [Обозначимчерезслучайную] между последовательными изменениями состоянийпроцесса.Будемпредполагать,чтозаданыосновныехарактеристикиуправляемогополумарковского процесса:( )(|)()86где( ) условные вероятности перехода вложенной цепи Маркова при условии, чтоуправление принимает фиксированное значение;(где())|)()()полумарковские функции управляемого полумарковского процесса ( );( )где([|](∑∫)( ) – условные математические ожидания длительностей пребывания полумарковскогопроцесса в его состояниях при условии, что управление принимает фиксированное значение.Рассмотрим также соответствующие вероятностные характеристики без условий науправление,т.е.усредненныепосоответствующимуправляющимвероятностнымраспределениям:(( )|()|( )[∫)( )∫]|( )∫( )( )( )( )()()()Предположим, что при стратегии управления, определяемой набором управляющихвероятностных распределений()()( ), цепь Маркова { }, вложенная вполумарковский процесс ( ), имеет ровно один класс возвратных положительных состояний.Тогда у этой цепи существует единственное стационарное распределение().Найдем представление для этого распределения через управляющие вероятностные меры()()( ).Выпишем систему уравнений относительно стационарного распределения вложеннойцепи Маркова:∑∑{{}()()При введенных предположениях система уравнений (3.2.7), (3.2.8) имеет единственноерешение, представляющее собой стационарное распределение вложенной цепи Маркова.87Сформулируем и докажем утверждение о представлении решения системы уравнений (3.2.7),(3.2.8) через управляющие вероятностные распределения, воспользовавшись классическимиалгебраическими методами и соотношениями для вероятностных характеристик управляемогополумарковского процесса.Теорема 3.2.1.

Стационарные вероятности вложенной цепи Маркова представимы вследующем виде:∫...∫ ̂( )(( ))∏()U(N)гдеопределитель матрицы системы уравнений (3.2.7), (3.2.8);( )декартово произведение размерностипространств возможныхуправлений;̂( )(()∑ ())(( ))̂ ( )(( ))()( )( )((( )) произвольная перестановка чисел ()число инверсий в перестановке( ));, причем суммирование в правой частиформулы (3.2.10) производится по всем возможным перестановкам набора чисел ();̂ ( )((̃( )̃)( )̃)()̃()̃(( )( ){)()()Доказательство.Обозначим черезматрицу линейной неоднородной системы (3.2.7), (3.2.8), в которойиз уравнений (3.2.7) исключено последнее (с номеромматрицу, в которой столбеци( )()); а через()– соответствующуюзаменен столбцом свободных членов.

Обозначим также черезопределители указанных матриц.Для удобства дальнейших рассуждений выпишем развернутые представления дляматрици().88()()()Система уравнений (3.2.7) – (3.2.8) имеет единственное решение, которое выражаетсяформулой:( ){}Запишем явное представление для определителя()∑ (()( ))через элементы матрицы( ):()( )(( )̃̃̃̃()())где̃{Теперь воспользуемся интегральным представлением для величин ̃:∫[( )]( )̃∫( )( ){В соответствии со свойствами интегралов на произведении пространств (формулыповторного интегрирования) ([18], гл. 7, §36; [18] стр.

147, упр. 6) для любой фиксированнойперестановки( ), с учетом (3.2.14), имеет место соотношение:89̃̃∫̃(̃)̃()∫...∫̂( )∫̃(∫̃(∫̃)(()()())( )())∏( )()U(N)Подставляя равенство (3.2.15) в соотношение (3.2.13) и воспользовавшись свойствомлинейности интеграла, получаем утверждение теоремы. Теорема 3.2.1 доказана.Используя формулы (3.2.9) – (3.2.12), получим представление для стационарногофункционала от управляемого полумарковского процесса в аналитической форме.Рассмотрим стационарный показатель качества управления в форме аналогичной (2.2.1). Срассматриваемым полумарковским процессом связан аддитивный функционал дохода:∑∑()()где∫ ( )В соотношении (3.2.17) величинапребывания в состоянии( )математическое ожидание дохода за время.( ) математическое ожидание дохода за время пребывания в состоянии при условии,что в момент перехода в данное состояние принято решение об управлении∫В соотношении (3.2.18) величина( )( ).()представляет собой математическое ожиданиевремени пребывания в фиксированном состоянии.( ) математическое ожидание длительности пребывания полумарковского процесса всостоянииуправлениипри условии, что в момент перехода в данное состояние принято решение об.90Вектор () представляет собой стационарное распределение вложенной цепиМаркова.Как уже отмечалось, стационарные функционалы вида (3.2.16) являются дробнолинейными от управляющих вероятностных распределений.

В то же время, для исследованияэкстремальной задачи, целевой функционал которой имеет дробно-линейную структуру,необходимо исследовать на экстремум функцию, представляющую собой отношениеподынтегральныхфункцийчислителяизнаменателяданногофункционала.Общееаналитическое представление для такой функции определяется следующей теоремой.Теорема 3.2.2. Стационарный функционал от управляемого полумарковского процесса вида(3.2.16)представляетсявформедробно-линейногофункционалаотуправляющихвероятностных распределений()∫∫()∏( )∫∫()∏( )()где подынтегральные функции числителя и знаменателя задаются следующими выражениями:(∑ ( ) ̂( )()()∑( ) ̂( )()()){)()а функции ̂ ( ) (} определяются соотношениями (3.2.10).Доказательство.Подставим в выражения для числителя и знаменателя стационарного функционала (3.2.16)интегральные представления для стационарных вероятностей вложенной цепи Маркова (3.2.9)и математических ожиданий (3.2.17), (3.2.18).

С учетом сокращения на общий множительполучим следующие представления для числителя и знаменателя стационарного функционалавида (3.2.16):∑∑∫ ( )( )∫∫ ̂( )()∏( )()91∑∑∫( )( )∫∫ ̂ ( )()∏( )()Преобразуем выражения в правых частях равенств (3.2.22) и (3.2.23), воспользовавшисьсвойствами интегралов на произведении пространств ([18], гл. 7, §36; [18] стр. 147, упр. 6).Имеем:∫∫ [∑ ∫ ( ) ̂ ( ) ()] ∏( )()∫∫ [∑ ∫( ) ̂ ( )()] ∏( )()Таким образом, стационарный стоимостной функционал (3.2.16) представляется в виде:(где величины)определяются соотношениями (3.2.24) и (3.2.25). Теорема 3.2.2 доказана.Соотношения (3.2.20) и (3.2.21) позволяют выписать аналитические представления дляподынтегральных функций числителей и знаменателей дробно-линейных функционалов вида(3.2.16) представляющих собой стационарные стоимостные функционалы средних удельныхзатрат и средней удельной прибыли от управляемого полумарковского процесса.§ 3.

Аналитические представления для функций, задающих дробно-линейныефункционалы3.1. Формулировка основного результата для рассматриваемой полумарковской моделиуправления запасом.Применим общие результаты параграфа 2 главы 3 к исследованию рассматриваемоймодели управления запасом. Сформулируем утверждение об аналитическом представлениистационарного стоимостного функционала, являющегося критерием качества управления врассматриваемой задаче управления запасом.92Теорема 3.3.1. Стационарный функционал средней удельной прибыли, определяемыйравенством (2.2.1), представляет собой дробно-линейный функционал от вероятностных( )распределений(3.1.1) и{}. Данный функционал задается аналитически формулойподынтегральныефункциив дробно-линейномпредставлениифункционалавыражаются соотношениями:()∑( ) ̂ ( )()()()∑ ( ) ̂ ( )()()()где̂ ( )(()∑ ((())()())̂ ( )(()))() – произвольная перестановка чисел (),(()() – число инверсий в перестановке), причем суммирование в правой части̂ ( )(формулы, определяющей функцию), производится по всемвозможным перестановкам набора чисел (̂ ( )((̃̃(){)(())(̃),)̃()̃()()()( ) приВероятности перехода вложенной цепи Маркова полумарковского процессафиксированных)значенияхпараметрауправленияПредставления для стоимостных функцийопределяются( ){формулой} и( )(2.5.21).{}определяются соотношениями (2.5.22) и (2.5.23).Замечание 5.

Характеристики

Список файлов диссертации

Анализ дискретной полумарковской модели управления запасом непрерывного продукта при периодическом прекращении потребления
Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6392
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее