Диссертация (1137339)
Текст из файла
Федеральное государственное автономное образовательное учреждениевысшего профессионального образования«Национальный исследовательский университет«Высшая школа экономики»На правах рукописиУДК 512.742.3, 514.154.4, 514.164.4, 515.142.211, 515.165.4Курносов Никон МихайловичЧисла Бетти и трианалитические подмногообразиягиперкэлеровых многообразий01.01.04 — геометрия и топологияДиссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:Ph.D.,проф.
М. С. ВербицкийМосква — 2016Оглавление. . . . . . . . .Постановка задачи . . . . . .Краткое содержание работыОбозначения и сокращения ...................................... 3. 3. 8. 13. . . . . . . .Гиперкэлеровые многообразия и их примеры . .Абсолютно трианалитические подмногообразияИнварианты Розанского-Виттена . . . . . .
. .Когомологии гиперкэлеровых многообразий . ..............................................Глава 1.1.1.1.2.1.3.Глава 2.2.1.2.2.2.3.2.4.Глава 3.Введение....................Предварительные сведения................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Четырёхмерные гиперкэлеровы многообразия . . . .
. .Инварианты Розанского-Виттена для некоторых графовОсновное неравенство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Применения Основного неравества . . . . . . . . . . . .Ограничения на 2 в размерностях восемь и десять . . .Глава 4.1414232628Ограничения на числа Бетти гиперкэлеровых многообразий3.1.3.2.3.3.3.4.3.5.............................343438424651Абсолютно трианалитические подмногообразия гипер. .
. . . . .4.1. Трианалитические подмногообразияперкэлеровых многообразий . . . .4.2. Калибрации . . . . . . . . . . . . .4.3. Основная теорема . . . . . . . . . .Публикации по теме диссертации . . . .Список литературы . . . . . . . . . . . .кэлеровых многообразий2.в...... .
. . . . . . . . . .известных примерах. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. .ги. .. .. .. .. .. 58.....5863667475Глава 1Введение1.1. Постановка задачиДанная работа посвящена изучению когомологий и абсолютно трианалитических подмногообразий гиперкэлеровых многообразий. Этим вопросыизучаются в большом числе работ, например, [KV], [V1], [V2], [SV], [Gu], [Gu2],[HS] и многих других. Гиперкэлерово многообразие – это риманово многообразие с тройкой согласованых с метрикой комплексных структур, удовлетворяющих кватернионным соотношениям, кэлеровы формы которых замкнуты.
Такие многообразия являются также голоморфно симплектическими, аобратное верно при условии кэлеровости [Y]. Согласно теореме Богомолова [B] любое компактное гиперкэлерово многообразие накрывается произведением торов и гиперкэлеровых многообразий с максимальной голономией(простых). Общая теория гиперкэлеровых многообразий была разработанаБогомоловым, Бовилем и Фуджики (см. [B, Bea2, F]). Затем значительныерезультаты получили Хойбрехтс [H1] и Вербицкий [V7], доказавший, в частности, глобальную Теорему Торелли. Обзор известных результатов о гиперкэлеровых многообразиях можно найти в главе 2.Понятие трианалитических и абсолютно трианалитических подмногобразий было введено Вербицким ([V1]).Определение 1.1.1. Пусть (, , , ) является компактным голоморфно симплектическим кэлеровым многообразием и ⊂ (, ) комплексное подмногообразие, которое является комплексно-аналитическим по отношению к любойгиперкэлеровой структуре, совместимой с .
Тогда называется абсолютнотрианалитическим подмногообразием.Ранее Вербицкий, Каледин [KV], [KV-book] доказали отсутствие абсолютно трианалитических подмногообразий в схемах Гильберта точек на3, а также заметили, что схема Гильберта является абсолютно трианалитическим подмногообразием в обобщённом многообразии Куммера. Считается,что других нетривиальных примеров абсолютно трианалитических подмно3гообразий для известных примеров простых гиперкэлеровых многообразийнет. Недавно Вербицкий и Солдатенков доказали отсутствие известных примеров гиперкэлеровых многообразий как абсолютно трианалитических подмногообразий в многообразиях О’Грэди [SV].
Тем не менее, вопрос наличияабсолютно трианалитических торов в обобщённом куммеровом многообразиидолгое время был открытым.В данный момент известно всего четыре примера простых гиперкэлеровых многообразий с точностью до деформационной эквивалентности. Аименно, схемы Гильберта точек над 3, обобщённые многообразия Куммера[Bea2] и два примера О’Грэди [O1, O2].
В своё время Каледин, Лен, Зоргер в работе [KLS] показали, что для всех векторов Мукаи соответствующеепространство модулей полустабильных пучков ранга 2 на 3 или абелевойповерхности либо не имеет симплектического разрешения особенностей, либо,если оно есть, то полученное гиперкэлерово многообразие деформационно эквивалентно схеме Гильберта над 3 или спорадическим примерам О’Грэди.Бовиль сформулировал гипотезу [Bea1]:Гипотеза 1.1.2.
Существует только конечное число простых компактных гиперкэлеровых многообразий в каждой размерности с точностью до деформационной эквивалентности.Важным шагом в направлении доказательства этой гипотезы служатрезультаты, связанные с ограниченностью возможных чисел Бетти гиперкэлеровых многообразий.Гуан в своей работе [Gu] доказал, что существует конечное число возможностей для наборов чисел Бетти для гиперкэлеровых многообразий вкомплексной размерности четыре, в частности, второе число Бетти 2 не превышает 23.
Его результаты не обобщаются напрямую в большие размерности.Однако, они тесно связаны с инвариантами Розанского-Виттена. Эти инварианты изучались в работах [S], [HS] и определяются они как свёртка по всемрёбрам тривалентного графа с 2 вершинами голоморфно-симплектическойформы и тензора, состоящего из прозведения 2 -копий тензора кривизны.В работах Сейвона и Хитчина были подсчитаны инварианты для наиболеепростых графов.Сейвону [S-b2] удалось получить точную оценку на второе число Бетти4гиперкэлеровых многообразий в размерности шесть, используя результатыВербицкого [V9] и Луенги-Лунца [LL]. В настоящей диссертации полученыобобщения результатов Гуана и оценки на второе число Бетти в размерностяхвосемь и десять.Цель работыЦель работы состоит в доказательстве отсутствия абсолютно трианалитических торов в обобщённом многобразии Куммера.
Также целью является обобщение результатов Гуана для гиперкэлеровых многообразий большейразмерности и получении ограничений на числа Бетти гиперкэлеровых многоообразий.Методы исследованияВ диссертации использованы методы комплексной алгебраической геометрии – разрешение особенностей, теория калибраций. Применяется теоремаКаледина о разрешении симплектических особенностей для доказательстваизогенности трианалитического тора компоненте торов в произведении.Применяются инварианты Розанского-Виттена, для получения обобщения результатов Гуана используются формула Саламона и теоремы Вербицкого и Луенги-Лунца, а также результаты Сейвона о строении кольца когомологий гиперкэлеровых многообразий в размерности шесть.Основные результаты диссертацииДиссертация содержит следующие новые определения, результаты и методы:∙ Получено неравенство на числа Бетти гиперкэлеровых многообразий вразмерности шесть.∙ Получены следствия основного неравенства, включающие конечностьчисла гиперкэлеровых многообразий в размерности шесть с 2 = 23.∙ Доказано отсутствие абсолютно трианалитических торов в обобщённоммногообразии Куммера.5Научная новизнаУтверждения 3.2.5, 3.3.3, 3.4.1, 3.4.4, 3.5.1, 4.3.1, 4.3.4, 4.3.5, 4.3.8 являются новыми.Теоретическая и практическая ценностьДиссертация имеет теоретический характер.
Результаты диссертации могут быть полезны математикам, занимающимся комплексной алгебраическойгеометрией, гиперкэлеровой геометрией, изучающих многообразия КалабиЯу.Апробация работыРезультаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах:– семинар Геометрические структуры на многообразиях;– семинар Постникова;– семинар Лаборатории Понселе, НМУ и сектора 4.1 ИППИ РАН;– Доклад “Absolutely trianalytic tori in the generalized Kummer varieties”,MAGIC seminar, Imperial College, 28.09.2015.;– Доклад “Betti numbers of hyperkahler manifolds”, Algebra/AlgebraicGeometry seminar, University of Sheffield, 29.09.2015.;– Доклад “Betti numbers of hyperkahler manifolds”, ULB Geometry seminar,ULB, Brussels, 10.11.2015.;– Доклад “On the boundness of the second Betti number of hyperkählermanifolds”, Algebraic Geometry Seminar, NYU, 02.02.2016.;Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:1.
Доклад “Connections on nilmanifolds”, Geometric structures on manifoldsand their applications, Marburg, Germany, 1-7.07.2012.2. Доклад “On the dynamics of codimension one holomorphic foliations withample normal bundle”, Workshop on complex geometry and foliations, dedicatedto the memory of Marco Brunella, September 17-21, 2012.3. Доклад “Связности на нильмногообразиях”, Летняя школа-конференция по проблемам алгебраической геометрии и комплексного анализа, Ярославль, 20-25.05.2013.64.
Доклад “The second Betti number of hyperkähler manifolds”, The School“Carnival Differential Geometry” (Torino), 24-27.02.2014.5. Доклад “The inequalities involving the Betti numbers of hyperkahlermanifolds”, Геометрическая теория управления и анализ на метрическихструктурах, 3-8.08.2014.6. Постер “Inequalities with Betti and Hodge numbers for hyperkaehlermanifolds”, British Algebraic Geometry meeting (BrAG) (Warwick),19-21.09.2014.7. Постер “Trianalytic subvarities in hyperkahler manifolds”,Hyperbolicity-2015, Ilhabela, Brazil, 5-15.01.2015.8. Доклад “Absolutely trianalytic tori in the generalized Kummer variety”,Conference “Hyperkahler Saturday”, Moscow, Russia, 23.05.2015.9. Доклад “Absolutely trianalytic tori in the generalized Kummer variety”,V школа-конференция по алгебраической геометрии и комплексному анализудля молодых математиков России, 17-22.08.2015.10.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
