Диссертация (1137339), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Второе число Бетти 2 не более 24 для достаточно малых7 . В самом деле, для доказательства 3.5.1 м использовали тот факт, что−242 + 2032 + 60222 + 10602 + 4512 (2 ) + 7 :=+ 724отрицателен, если 2 > 25. Это также верно при 7 6 | (2 ) |2 =25 | = 1281.Пусть – 10-мерное гиперкэлерово многообразие с(, C) = 0. Тогда 2 6 25.Теорема2+13.5.4.Доказательство. Доказательствотакоеже,какивпредыдущем случае. Можем заметить, что есть вклады от неприводимыхмодулей2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ,порождённыхэле5,54,44,23,1.Ониизомофны, 5,3 , , , 2,2 , 3,3 , ментами⋀︀4 2 +2 ⋀︀3 2 +2⋀︀4 2 +2 2 +2⋀︀2 2 +2C,C,C,C,Cи тривиальному представлениям соответственно как неприводимые so (2 + 2, C)-модули.Аналогично доказательству 3.5.1 перенесём все члены, отвечающие симметрическим степеням налево, остальные члены – направо.После вычислений получаем1(2 + 3)(2 + 4)(2 + 10)(−22 − 212 + 118) = (2 , , , , , , ℎ, ) ,60где (2 , , , , , , ℎ, ) – сумма вкладов неприводимых модулей2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , а , , , , , ℎ, – их кратности.В этом случае, аналогично теореме 3.5.1 оказывается, что левая частьпредыдущего равенства отрицательна при 2 6 25, а правая – положительна.Таким образом, в размерности десять 2 6 25.Замечание 3.5.5.
Заметим, что в больших размерностях у нас существеннобольше образующих в кольце Ходжа [KoS], а размерность максимальногофундаментального представления равна Λ2 +2 C2 +2 . Из-за этого в большихразмерностях в ромб Ходжа входят модули, являющиеся подпредставлениями тензорных степеней фундаментальных, что существенно усложняет получение ограничений на второе число Бетти 2 .54Гипотеза 3.5.6. Второе число Бетти 2 простого гиперкэлерового многообразия комплексной размерности 2 ограничено максимальным корнем следующего многочлена=−/2−1=2=−1∑︁ (︀∏︁∏︁)︀12 (2 , ) = −3 − (2 + ) + 2(2 + ) ,( − 1)! =0( − /2)!=0.=1, ..2который обозначается 2 .Многочлен (2 , ) – эта сумма вкладов симметрических степеней вторых когомологий с учётом коэффициентов из равенства Саламона 2.4.3.
Чтобы доказать, что ограничение на 2 действительно таково, мы аналогичноразмерностям восемь и десять должны показать, что многочлен, образованный вкладами остальных представлений отрицателен при 2 ≥ 2 .Пусть – простое гиперкэлерово многообразие комплексной размерности 2. Тогда(︃=−1)︃∏︁1 (2 , ) = −(2 + ) · (2 + 2) · (22 − 212 + 2 − 96),!=3Предложение 3.5.7.и2=21 +√433 + 96.2Доказательство. Заметим, что сумма четырёх членов в (2 , ), отвечающих = 2, 2 − 2, 2 − 4, 2 − 6 in 3.5.6 делится на (2 + 3) и частное есть (2 , ) 1= ((122 − 73 + 108)22 + 3(122 − 49 + 48)2 + 12( − 1))2 + 33Тогда мы можем показать по индукции, что сумма последних членов (2 , ), отвечающих = 2, ..., 2 − 2 + 2 в 3.5.6 равна12( − 1)!(︃=−1∏︁)︃(2 + )· ( · 22 + 3 · 2 + 12( − 1)),=355(−4)(−3)) и =где = (122 − (73 + 24( − 4)) + 108 + 60 + 242(122 − (49 + 16) + 48 + 24 + 8 (−4)(−3)).2Действительно, сумма членов с = 2, ..., 2 − 2 в 3.5.6 равна12( − 1)!(︃=−1∏︁)︃(2 + )· ( · 22 + 3 · 2 + 12( − 1))+=3∏︁(︀)︀ 1 =−12+ 3(2 − 2) − (2 + ) =! =01=2!(︃ =∏︁)︃(2 + )· (+1 · 22 + 3+1 · 2 + 12( − 1)).=3Поэтому мы можем записать многочлен (2 , ) в следующем виде:=−1∏︁1 (2 , ) =(2 + ) + 2( − 1)! =0( − 1)!(︃=−1∏︁)︃(2 + )· ( · 22 + 3 · 2 + 12( − 1)).=3После приведения подобных слагаемых получаем искомое утверждение.Ограниченность второго числа Бетти можно получать совсем другимпутём.
В частности из следующей теоремы Каменоновой [Kam].Напомним, что решётка Λ, свободный Z-модуль конечного ранга с невырожденной симметрической билинейной формой со значениями в Z. Если – базис в Λ, то дискриминат решётки определяется как discr(Λ) = det( · ).Существует конечное число лагранжевых расслоений : → C с точностью до деформации с заданной константой Фуджики и заданным дискриминантом решётки Бовиля-Богомолова-Фуджики (Λ, ).Теорема 3.5.8.Из этой теоремы следует, что существует только конечное число деформационных типов гиперкэлеровых многообразий, а значит есть только конечный набор возможных вторых чисел Бетти.В предположениях теоремы 3.5.8 второе число Беттигиперкэлеровых многообразий ограниченно.Следствие 3.5.9.56Замечание 3.5.10.
В отличии от способа, изложенного выше из конечностичисла лагранжевых расслоений мы не получаем явных оценок на числа Бетти. С другой стороны, отдельной трудной задачей представляется получениеограничения на возможные значения константы Фуджики.57Глава 4Абсолютно трианалитические подмногообразиягиперкэлеровых многообразийВ этом разделе мы рассмотрим абсолютно абсолютно трианалитическиеподмногообразия гиперкэлеровых многообразий. Ранее в [SV] и [V3] было показано, что в известных примерах простых гиперкэлеровых многообразий заредким исключением не содержится абсолютно трианалитических многообразий.
В своей работе [GK] показали, что абсолютно трианалитическим подмногообразиями в обобщённом многообразии Куммера могут быть только деформации разрешения особенностей для фактора тора по действию группыВейля , , . До настоящего момента вопрос сущеcтвования абсолютнотрианалитических торов в обобщённом многообразии Куммера был открытым, в этой главе мы ответим на этот вопрос и покажем, что в обобщённыхмногообразиях Куммера нет абсолютно трианалитических торов. Предварительные сведения о трианалитических многообразиях можно найти в главе2. Результаты этой главы опубликованы в [Ku2, Ku4].В разделе 4.1 мы напомним примеры абсолютно трианалитических подмногообразий и препятствия к их существованию.
В разделе 4.2 мы приведёмконструкцию калибраций на гиперкэлеровых многообразиях. В разделе 4.3мы докажем основной результат.4.1. Трианалитические подмногообразия в известныхпримерах гиперкэлеровых многообразийРассмотрим гиперкэлеровое многообразие (, , , ). Как было ужеотмечено в разделе 2.2, трианалитические подмногообразия являются гиперкомплексными в гладких точках, их комплексная размерность четна.
Поэтому в (, ) нет компактных нечетномерных подмногообразий, где – общаякомплексная структура (см. раздел 2.2. Из этого следует, в частности, что(, ) не является алгебраическим многообразием.Теорема 4.1.1.[V5, Theorem 6.2.] Пусть – гиперкэлерово многообразие,58 ⊂ – трианалитическое подмногообразие и – индуцированная комплексная структура.
Рассмотрим нормализацию^(,) → (, )^^для (, ). Тогда (,) гладкое, и отображение (,) → является вло^жением, и индуцирует гиперкэлерову структуру на (,).В частности любое трианалитическое подмногообразие гиперкэлерового̃︀ в ;многообразия → имеет гладкую гиперкэлерову нормализацию эта иммерсия в общей точке биективна на образ. Тем самым, мы можем рассматривать не абсолютно трианалитические циклы, а гиперкэлеровы многообразия. Тем самым, естественным является вопрос, какие трианалитическиеподмногообразия содержаться в известных примерах простых гиперкэлеровых многообразий.Вербицкий доказал, что любая деформация схемы Гильберта 3 поверхности не содержит комплексных подмногообразий [V3].
Аналогичное утверждение предполагалось Калединым и Вербицким и в случае обообщённойповерхности Куммера [KV]. Однако, затем они ([KV1]) обнаружили контрпример, действительно, рассмотрим инволюцию : → −, действующуюна торе. Эта инволюция может быть продолжена до инволюции схемы Гильберта тора [+1] , и, так как она коммутирует с отображением Альбанезе [+1] −→ , то легко видеть, что сохраняет обобщённое многообразиеКуммера ( ).
Более того, отображает кэлеров класс в себя. Таким образом, инволюция сохраняет гиперкэлерову структуру на ( ). В случаенечётного = 2 − 1 отображение сохраняет 2-элементный набор(1 , −1 , 2 , −2 , ..., , − ) ∈ (+1)Если , − попарно различны, то такие наборы задают точки в схеме Гильберта, сохраняемой действием инволюции . Рассмотрим замыкание множества таких точек. Это одна из компонент множества неподвижных точекинволюции . Подмногообразие бирационально эквивалентно схеме Гильберта 3 поверхности.59Следствие 4.1.2.Многообразие Sym2 ( ) содержит 81 куммерову 3 поверхность.Отсутствие абсолютно трианалитических подмногообразий в схеме Гильберта 3 поверхности Hilb (3) была использована в [KV-book] для доказательства компактности пространства деформаций некоторых стабильныхголоморфных расслоений на .
Несмотря на то, что трианалитические подмногообразия в обобщённом многообразии Куммера есть, Вербицкому и Каледину удалось использовать изначальный аргумент и показать, что любоеабсолютно трианалитическое подмногообразие обобщённого Куммеровогомногообразия является деформацией разрешения особенностей для факторатора по действию группы Вейля.
Основная идея доказательства заключаетсяв том, что в этом случае является разрешением особенностей для фактораплоского подтора в симметрической степени тора () , и классификации техдействий группы Вейля, которые допускают голоморфно-симплектическоеразрешение особенностей. Позже Гинзбург и Каледин показали, что толькогруппы Вейля , , могут возникать в случаях, когда фактор допускаетголоморфно-симплектическое разрешение особенностей ([GK]).Вообще говоря, абсолютно трианалитические многообразия возникаюткак многообразия калибраций (см. раздел 4.2), и как графики в × дляавтоморфизмов гиперкэлеровых многообразий, действующих тривиально навторых когомологиях. Группа таких автоморфизмов конечна [H1].
Для схемГильберта над 3 она тривиальна [H1]. И была изучена в случае обобщённыхмногообразий Куммера Огизо ([Og]), Буассье, Нипер-Вайскирхен и Сарти([BNS]), и для многообразий О’Грэди Монгарди и Ванделем ([MW]).В частности, оказывается, чтоТеорема 4.1.3.[MW](1) Пусть – деформационно эквивалентное многообразию О’Грэди размерности десять. Тогда ядро отображения : Aut() → ( 2 (, Z))инъекивно.60(2) Пусть – деформационно эквивалентное многообразию О’Грэди размерности десять.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
