Автореферат (1137338)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Федеральное государственное автономное образовательное учреждениевысшего образования«Национальный исследовательский университет«Высшая школа экономики»На правах рукописиКурносов Никон МихайловичЧисла Бетти и трианалитическиеподмногообразия гиперкэлеровыхмногообразийСпециальность:01.01.04 – Геометрия и топологияАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукМосква — 2016Работа выполнена на факультете математики Национального иссле­довательского университета «Высшая школа экономики».НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:ВЕРБИЦКИЙ Михаил Сергеевич - Ph.D.

(Harvard University), профес­сор факультета математики Федерального государственного автономного об­разовательного учреждения высшего образования «Национальный исследо­вательский университет «Высшая школа экономики».ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:ПАНИН Иван Александрович - доктор физико-математических наук,член-корреспондент РАН, главный научный сотрудник Лаборатории алгеб­ры и теории чисел Санкт-Петербургского отделения Федерального государ­ственного бюджетного учреждения науки Математический институт им. В.А.Стеклова Российской академии наук (специальность 01.01.06).ПАНОВ Тарас Евгеньевич - доктор физико-математических наук, про­фессор кафедры высшей геометрии и топологии механико-математическогофакультета Федерального государственного бюджетного образовательногоучреждения высшего образования «Московский государственный универси­тет имени М.В.Ломоносова» (специальность – 01.01.04).ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институтпроблем передачи информации им.

А.А. Харкевича Российской академии на­ук (ИППИ РАН).Защита состоится 26 января 2017 года в 14:00 часов на заседании диссертаци­онного совета Д 002.022.03 при Математическом Институте им. В.А. Стекло­ва Российской Академии Наук, расположенному по адресу: 119991, г.Москва,ул.

Губкина, д. 8.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического институ­та им. В.А. Стеклова Российской академии наук и на сайте МИАН по адресу:http://www.mi.ras.ru/dis/ref16/kurnosov/dis.pdfАвтореферат разосланноября 2016 года. Отзывы и замечания по авто­реферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать повышеуказанному адресу на имя учёного секретаря диссертационного совета.Учёный секретарьДиссертационного совета Д 002.022.03,д.ф.-м.н., ведущий научный сотрудникКоролев М.А.Общая характеристика работыАктуальность темыДанная работа посвящена изучению когомологий и абсолютно триана­литических подмногообразий гиперкэлеровых многообразий.

Этим вопросыизучаются в большом числе работ, например, [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7] имногих других. Гиперкэлерово многообразие – это риманово многообразие стройкой согласованых с метрикой комплексных структур, удовлетворяющихкватернионным соотношениям, кэлеровы формы которых замкнуты. Такиемногообразия являются также голоморфно симплектическими, а обратноеверно при условии кэлеровости [8]. Согласно теореме Богомолова [9] любоекомпактное гиперкэлерово многообразие накрывается произведением торови гиперкэлеровых многообразий с максимальной голономией (простых). Об­щая теория гиперкэлеровых многообразий была разработана Богомоловым,Бовилем и Фуджики (см.

[9–11]). Затем значительные результаты получилиХойбрехтс [12] и Вербицкий [13], доказавший, в частности, глобальную Тео­рему Торелли.Понятие трианалитических и абсолютно трианалитических подмного­бразий было введено Вербицким ([2]).Пусть (, , , ) является компактным голоморфно сим­плектическим кэлеровым многообразием и ⊂ (, ) комплексное подмного­образие, которое является комплексно-аналитическим по отношению к любойгиперкэлеровой структуре, совместимой с . Тогда называется абсолютнотрианалитическим подмногообразием.Определение.Трианалитические подмногообразия всегда голоморфно симплектичны,потому что они гиперкэлеровы, достаточно общая деформация гиперкэлеро­ва многообразия всегда неалгебраична, и все комплексные подмногообразиятакого многообразия трианалитичны.Вообще говоря, абсолютно трианалитические многообразия возникаюткак многообразия калибраций, и как графики в × для автоморфизмовгиперкэлеровых многообразий, действующих тривиально на вторых когомо­логиях.

Группа таких автоморфизмов конечна [12]. Для схем Гильберта над3 она тривиальна [12]. И была изучена в случае обобщённых многообра­зий Куммера Огизо ([14]), Буассье, Нипер-Вайскирхен и Сарти ([15]), и для3многообразий О’Грэди Монгарди и Ванделем ([16]).Ранее Вербицкий, Каледин [1, 17, 18] доказали отсутствие абсолютнотрианалитических подмногообразий в схемах Гильберта точек на 3, атакже заметили, что схема Гильберта является абсолютно трианалитическимподмногообразием в обобщённом многообразии Куммера. Считается, что дру­гих нетривиальных примеров абсолютно трианалитических подмногообразийдля известных примеров простых гиперкэлеровых многообразий нет.

НедавноВербицкий и Солдатенков, используя -симплектические структуры и их раз­мерности, доказали отсутствие известных примеров гиперкэлеровых много­образий как абсолютно трианалитических подмногообразий в многообразияхО’Грэди [4]. В случае обобщённых многообразий Куммера их доказательствоне работает, однако ранее Гинзбург и Каледин [19] показали, что абсолютнотрианалитическим подмногообразиями в обобщённом многообразии Куммерамогут быть только деформации разрешения особенностей для фактора торапо действию группы Вейля , , . Тем не менее, вопрос наличия абсолют­но трианалитических торов в обобщённом куммеровом многообразии долгоевремя был открытым.В данный момент известно всего четыре примера простых гиперкэлеро­вых многообразий с точностью до деформационной эквивалентности.

А имен­но, схемы Гильберта точек над 3, обобщённые многообразия Куммера [10] идва примера О’Грэди [20, 21]. В своё время Каледин, Лен, Зоргер в работе [22]показали, что для всех векторов Мукаи соответствующее пространство моду­лей полустабильных пучков ранга 2 на 3 или абелевой поверхности либоне имеет симплектического разрешения особенностей, либо, если оно есть, тополученное гиперкэлерово многообразие деформационно эквивалентно схемеГильберта над 3 или спорадическим примерам О’Грэди. Бовиль сформули­ровал гипотезу [23]:Существует только конечное число простых компактных ги­перкэлеровых многообразий в каждой размерности с точностью до дефор­мационной эквивалентности.Гипотеза 1.Важным шагом в направлении доказательства этой гипотезы служатрезультаты, связанные с ограниченностью возможных чисел Бетти гиперк­элеровых многообразий.Гуан в своей работе [5] доказал, что существует конечное число возмож­4ностей для наборов чисел Бетти для гиперкэлеровых многообразий в ком­плексной размерности четыре, в частности, второе число Бетти 2 не превы­шает 23.

Вычисления Гуана основываются на неравенстве, полученном Вер­бицким, который построил действие алгебры Ли so(4, 2 −2) на когомологиях[24], и равенстве Саламона [25], являющимся следствием формулы Римана­Роха-Хирцебруха. Результаты Гуана не обобщаются напрямую в большиеразмерности. Однако, они тесно связаны с инвариантами Розанского-Витте­на.

Эти инварианты изучались в работах [7], [26] и определяются они каксвёртка по всем рёбрам тривалентного графа с 2 вершинами двойственнойголоморфно-симплектической формы и тензора, состоящего из прозведения2 -копий тензора кривизны.

В работах Сейвона и Хитчина были подсчитаныинварианты для наиболее простых графов.Сейвону [27] удалось получить точную оценку на второе число Беттигиперкэлеровых многообразий в размерности шесть, используя результатыВербицкого [24] и Луенги-Лунца [28]. В настоящей диссертации полученыобобщения результатов Гуана и оценки на второе число Бетти в размерностяхвосемь и десять.Цель работыЦель работы состоит в доказательстве отсутствия абсолютно трианали­тических торов в обобщённом многобразии Куммера. Также целью являет­ся обобщение результатов Гуана для гиперкэлеровых многообразий большейразмерности и получении ограничений на числа Бетти гиперкэлеровых мно­гоообразий.Методы исследованияВ диссертации использованы методы комплексной алгебраической гео­метрии – разрешение особенностей, теория калибраций. Применяется теоремаКаледина о разрешении симплектических особенностей для доказательстваизогенности трианалитического тора компоненте торов в произведении.Применяются инварианты Розанского-Виттена, для получения обобще­ния результатов Гуана используются формула Саламона и теоремы Вербиц­кого и Луенги-Лунца, а также результаты Сейвона о строении кольца кого­мологий гиперкэлеровых многообразий в размерности шесть.5Научная новизнаУтверждения 3.2.5, 3.3.3, 3.4.1, 3.4.4, 3.5.1, 4.3.1, 4.3.4, 4.3.5, 4.3.8 явля­ются новыми.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:∙ Получено неравенство на числа Бетти гиперкэлеровых многообразий вразмерности шесть.∙ Получены следствия основного неравенства, включающие конечностьчисла гиперкэлеровых многообразий в размерности шесть с 2 = 23.∙ Доказано отсутствие абсолютно трианалитических торов в обобщённоммногообразии Куммера.Теоретическая и практическая ценностьДиссертация имеет теоретический характер. Результаты диссертации мо­гут быть полезны математикам, занимающимся комплексной алгебраическойгеометрией, гиперкэлеровой геометрией, изучающих многообразия Калаби­Яу.Апробация результатовРезультаты диссертации докладывались на следующих научно-исследо­вательских семинарах:– семинар Геометрические структуры на многообразиях;– семинар Постникова;– семинар Лаборатории Понселе, НМУ и сектора 4.1 ИППИ РАН;– Доклад “Absolutely trianalytic tori in the generalized Kummer varieties”,MAGIC seminar, Imperial College, 28.09.2015.;– Доклад “Betti numbers of hyperkahler manifolds”, Algebra/AlgebraicGeometry seminar, University of Sheffield, 29.09.2015.;– Доклад “Betti numbers of hyperkahler manifolds”, ULB Geometry seminar,ULB, Brussels, 10.11.2015.;– Доклад “On the boundness of the second Betti number of hyperkählermanifolds”, Algebraic Geometry Seminar, NYU, 02.02.2016.;Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:61.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации