Диссертация (1137339), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Любое гиперкэлерово многообразие допускает конечное накрытие произведением торов и простых гиперкэлеровых многообразий.Теорема 2.1.6[Bea2]Пусть – компактное гиперкэлерово многообразие. Тогда следующиеусловия эквивалентны:Следствие 2.1.7.∙ – простое,∙ не представляется как произедение двух простых гиперкэлеровыхмногообразий положительной размерности.Определение 2.1.8.
Пусть является гиперкэлеровым многообразием и семейство индуцированных комплексных структур := + + , где, , ∈ R, 2 + 2 + 2 = 1. Тогда называется твисторным семействомкомплексных структур.16Двумерные неприводимые голоморфно симплектические многообразияэто 3 поверхности. В больших размерностях известно лишь несколько примеров простых гиперкэлеровых многообразий. Приведём известные конструкции простых гиперкэлеровых многообразий, при этом компактные многообразия одного деформационного типа мы не различаем.(0) 3 поверхности.Определение 2.1.9. 3 повехностью называется компактная комплексная поверхность с тривиальным каноническим классом и 1 (, ) =0.Сиу [Siu] показал, что любая 3 поверхность является кэлеровой. Вбольших размерностях, кэлеровость из тривиальности каноническогокласса и 1 (, ) = 0 не следует ([Gu2], [B2]).ПримеромНапример,3поверхностиявляетсяквартикавP3 .квартикаФерма,задаваемаяуравнением{︀}︀(0 : 1 : 2 : 3 )|40 + 41 + 42 + 43 = 0 .(i) Схема Гильберта точек на 3.Начиная с 3 поверхности , рассматриваем симметрическое произведение () = /S , которое параметризует подмногообразия из точек на 3 поверхности , посчитанные с учётом кратности; оно гладкоена открытом 0 , состоящем из подмножеств с различными точками, иособое в остальных случаях.
Далее сингулярную часть раздуваем вдольдиагоналей, получая гладкое компактное многообразие. Это и есть схема Гильберта [] . Естесственное отображение [] → () изоморфизмна 0 , и является разрешением особенностей () . Говоря по-другому,схема Гильберта параметризует все 0-мерные подсхемы длины . Если – это 3 поверхность, то схема Гильберта точек над , обозначаемая Hilb (), это неприводимое голоморфно симплектической многообразие [Bea2]. Его размерность 2 и для > 1 его второе число Беттиравно 23.Рассмотрим детально наиболее простой случай, когда = 2.
Для любой3 поверхности схема Гильберта двух точек Hilb2 () – это раздутие17Hilb2 () → 2 () диагонали в симметрическом квадратеΔ = {{, } | ∈ } ⊂ 2 () = {{, } | , ∈ }.Иначе говоря, Hilb2 () это Z/2Z-фактор раздутия диагонали в × . Поскольку для 3 поверхности существует только однаZ/2Z-инвариантная 2-форма на × , то голоморфно симплектическая структура на Hilb2 () единственна.Замечание 2.1.10. Если проективно, то Hilb () проективно, так какона может рассматриваться, как пространство модулей стабильных пучков ранга один на с 2 = [HL].
Если же непроективно, то схемаГильберта в этом случае не схема, но всё же кэлерова согласно [Var].Примером многообразия деформационно эквивалентного схеме Гильберта двух точек на 3 поверхности служит многообразие Фано 1 ( )прямых на гладкой кубической гиперповерхности в P5 , построенноеБовилем и Донаги [BD]. При этом симлектическая структура можетбыть задана следующим образом: пусть ⊂ 1 ( )× обозначает универсальное семейство прямых и pr ( = 1, 2) – проекции на -ый сомножитель. Для любой образующей ∈ 3,1 ( ) ∼= C мы можем построитьголоморфную 2-форму Ω = pr1* pr*2 на 1 ( ). Эта конструкция была обобщена М. Леном, К.
Леном, Зоргером и ван Стратеном [LLSV],они построили голоморфно симплектическое многообразие исходя изпространства скрученных кубик на кубической гиперповерхности, несодержащей плоскостей, в P5 . Позднее Лен и Аддингтон [AL] доказали,что полученное многообразие деформационно эквиалентно схеме Гильберта четырёх точек на 3.(ii) Обобщённое многообразие Куммера.
Если комплексный тор размерности два, то заметим, что схема Гильберта точек на торе [] обладает теми же свойствами, что и схема Гильберта 3[] , но неодносвязна.Групповая структура на торе задаёт отображение суммирования (1 , . . . , ) = 1 + . . . + +1 ,Σ : +1 → ,которое индуцирует отображение Σ : [+1] → . Легко видеть, чтоΣ совпадает с отображением Альбанезе. Обобщённым многообразием18Куммера K ( ), ассоциированным с тором , называется прообразΣ−1 (0) ⊂ [+1] нуля 0 ∈ . Это гиперкэлерово многообразие размерности 2 [Bea1]. В случае > 2 его второе число Бетти равно 7.(iii) Многообразие О’Грэди размерности десять 10 .
Пусть вновь является 3 поверхностью, и – пространство модулей стабильных расслоений ранга два на , с классами Черна 1 = 0, 2 = 4. IЭто про˜ , постранство модулей допускает естественную компактификацию лучаемую добавлением классов полустабильных пучков без кручения.Вдоль границы оно особо, но О’Грэди ([O1]) построил десингуляриза˜ , являющуюся новым гиперкэлеровым многообразием размерноцию сти десять. О’Грэди доказал, что 2 хотя бы 24 [O1], поэтому оно недеформационно эквивалентно схеме Гильберта.Позднее Рапаньетта определил, что второе число Бетти 2 (10 ) = 24[R]. Эйлерову характеристику 10 определил Мозговой [Mo].
Ромб Ходжа для многоообразия О’Грэди 10 неизвестен.(iv) Многообразие О’Грэди размерности шесть 6 . Аналогичная конструкция может быть использована для комплексного тора и расслоений ранга два с 1 = 0, 2 = 2. В этом случае, мы получаем гиперкэлерово многообразие размерности шесть [O2]. Его второе число Бетти 2 равно 8[O2]. Числа Ходжа 6 были недавно определены Монгарди, Рапаньеттой и Саккой [MRS] (см. замечание 3.4.2).Таким образом, мы имеем две серии (i) и (ii) и два спорадических примера (iii) и (iv). Все они имеют различные числа Бетти. При этом про многообразия О’Грэди в отличии от остальных примеров известно существенноменьше.Кроме приведённых конструкций гиперкэлеровых многообразий есть идругие, в частности конструкции Ёшиоки, О’Грэди [O3, Yo].
Но все они деформационно эквивалентны уже известным примерам.Бовиль предположил, что в каждой размерности примеров простых гиперкэлеровых многообразий существует конечное число.Гипотеза 2.1.11 (Гипотеза Бовиля, [Bea1]). Существует только конечное число простых компактных гиперкэлеровых многообразий в каждой размерно19сти с точностью до деформационной эквивалентности.В более слабой формулировке гипотеза утверждает, что в каждой размерности все числа Бетти гиперкэлеровых многообразий ограничены. Приэтом теоретически могут существовать деформационно неэквивалентные гиперкэлеровы многообразия с одинаковыми числами Бетти.Именно с этой гипотезой связана задача главы 3, в которой мы получим неравенство, связывающие числа Бетти гиперкэлеровых многообразий вразмерности шесть, а также ограничения на второе число Бетти в большейразмерности.Форма Бовиля-Богомолова-ФуджикиВажным объектом гиперкэлеровой геометрии является форма БовиляБогомолова-Фуджики, определённая ниже.([F]) Пусть – неприводимое гиперкэлеровое многообразие и 2 = dimC .
Тогда существует примитивная квадратичная формаR на 2 (, Z) и целое число > 0 такое, что 2 = (, ) для любойформы ∈ 2 ( ).Теорема 2.1.12.Форма называется формой Богомолова-Бовиля-Фуджики(ББФ). Она определяется соотношением Фуджики канонически, с точностью до знака. Для нечётных знак определён однозначно. В случае чётного выбор знака можно задать с помощью неравенства(Ω, Ω̄) > 0,0 ̸= Ω ∈ 2,0 ( ),или явной формулы для формы ББФ:Z(, ) = (/2) ∧ ∧ Ω−1 ∧ Ω̄−1 −⎛Z⎞⎛Z⎞− (1 − ) ⎝ ∧ Ω−1 ∧ Ω̄ ⎠ ⎝ ∧ Ω ∧ Ω̄−1 ⎠ ,20(2.1.2)где Ω – голоморфно симплектическая форма и > 0 – положительная константа. Вместо голоморфно симплектической формы, можно использоватькэлерову форму [V8, (1.1)].С помощью формулы 2.1.2 можно показать, что форма Бовиля-Богомолова-Фуджики имеет сигнатуру (3, 2 − 3) [V8].Примеры О’Грэди и решётка МукаиВыше мы привели четыре примера простых гиперкэлеровых многообразий.
Вернёмся к примерам О’Грэди и рассмотрим их конструкцию с помощьюрешётки Мукаи.Определение 2.1.13. Пусть – абелева или 3 поверхность. Рассмотрим˜()= 0 () ⊕ 2 () ⊕ 4 ()˜На ()можно задать структуру Ходжа следующим образом:˜ 2,0 () = 2,0 (),˜ 0,2 () = 0,2 (),˜ 1,1 () = 0 ()⊕ 1,1 ()⊕ 4 ().˜Решёткой Мукаи называется группа (), снабжённая симметрическойбиллинейной формойZ22∑︁∑︁( , ) = (2 ∧ 2 − 0 4 − 4 0 ).=0=0Для когерентного пучка обозначим за ( ) вектор√( ) := ch( ) Td = ch( )(1 + ),где ∈ 4 (, Z) и равно 1, если – 3 поверхность, и равно 0, если – абелева поверхность.Определение 2.1.14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
