Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1137339), страница 3

Файл №1137339 Диссертация (Числа Бетти и трианалитические подмногообразия гиперкэлеровых многообразий) 3 страницаДиссертация (1137339) страница 32019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Любое гиперкэлеро­во многообразие допускает конечное накрытие произведением торов и про­стых гиперкэлеровых многообразий.Теорема 2.1.6[Bea2]Пусть – компактное гиперкэлерово многообразие. Тогда следующиеусловия эквивалентны:Следствие 2.1.7.∙ – простое,∙ не представляется как произедение двух простых гиперкэлеровыхмногообразий положительной размерности.Определение 2.1.8.

Пусть является гиперкэлеровым многообразием и семейство индуцированных комплексных структур := + + , где, , ∈ R, 2 + 2 + 2 = 1. Тогда называется твисторным семействомкомплексных структур.16Двумерные неприводимые голоморфно симплектические многообразияэто 3 поверхности. В больших размерностях известно лишь несколько при­меров простых гиперкэлеровых многообразий. Приведём известные конструк­ции простых гиперкэлеровых многообразий, при этом компактные многооб­разия одного деформационного типа мы не различаем.(0) 3 поверхности.Определение 2.1.9. 3 повехностью называется компактная комплекс­ная поверхность с тривиальным каноническим классом и 1 (, ) =0.Сиу [Siu] показал, что любая 3 поверхность является кэлеровой. Вбольших размерностях, кэлеровость из тривиальности каноническогокласса и 1 (, ) = 0 не следует ([Gu2], [B2]).ПримеромНапример,3поверхностиявляетсяквартикавP3 .квартикаФерма,задаваемаяуравнением{︀}︀(0 : 1 : 2 : 3 )|40 + 41 + 42 + 43 = 0 .(i) Схема Гильберта точек на 3.Начиная с 3 поверхности , рассматриваем симметрическое произве­дение () = /S , которое параметризует подмногообразия из то­чек на 3 поверхности , посчитанные с учётом кратности; оно гладкоена открытом 0 , состоящем из подмножеств с различными точками, иособое в остальных случаях.

Далее сингулярную часть раздуваем вдольдиагоналей, получая гладкое компактное многообразие. Это и есть схе­ма Гильберта [] . Естесственное отображение [] → () изоморфизмна 0 , и является разрешением особенностей () . Говоря по-другому,схема Гильберта параметризует все 0-мерные подсхемы длины . Если – это 3 поверхность, то схема Гильберта точек над , обознача­емая Hilb (), это неприводимое голоморфно симплектической много­образие [Bea2]. Его размерность 2 и для > 1 его второе число Беттиравно 23.Рассмотрим детально наиболее простой случай, когда = 2.

Для любой3 поверхности схема Гильберта двух точек Hilb2 () – это раздутие17Hilb2 () → 2 () диагонали в симметрическом квадратеΔ = {{, } | ∈ } ⊂ 2 () = {{, } | , ∈ }.Иначе говоря, Hilb2 () это Z/2Z-фактор раздутия диагонали в × . Поскольку для 3 поверхности существует только однаZ/2Z-инвариантная 2-форма на × , то голоморфно симплектиче­ская структура на Hilb2 () единственна.Замечание 2.1.10. Если проективно, то Hilb () проективно, так какона может рассматриваться, как пространство модулей стабильных пуч­ков ранга один на с 2 = [HL].

Если же непроективно, то схемаГильберта в этом случае не схема, но всё же кэлерова согласно [Var].Примером многообразия деформационно эквивалентного схеме Гиль­берта двух точек на 3 поверхности служит многообразие Фано 1 ( )прямых на гладкой кубической гиперповерхности в P5 , построенноеБовилем и Донаги [BD]. При этом симлектическая структура можетбыть задана следующим образом: пусть ⊂ 1 ( )× обозначает уни­версальное семейство прямых и pr ( = 1, 2) – проекции на -ый сомно­житель. Для любой образующей ∈ 3,1 ( ) ∼= C мы можем построитьголоморфную 2-форму Ω = pr1* pr*2 на 1 ( ). Эта конструкция бы­ла обобщена М. Леном, К.

Леном, Зоргером и ван Стратеном [LLSV],они построили голоморфно симплектическое многообразие исходя изпространства скрученных кубик на кубической гиперповерхности, несодержащей плоскостей, в P5 . Позднее Лен и Аддингтон [AL] доказали,что полученное многообразие деформационно эквиалентно схеме Гиль­берта четырёх точек на 3.(ii) Обобщённое многообразие Куммера.

Если комплексный тор размер­ности два, то заметим, что схема Гильберта точек на торе [] облада­ет теми же свойствами, что и схема Гильберта 3[] , но неодносвязна.Групповая структура на торе задаёт отображение суммирования (1 , . . . , ) = 1 + . . . + +1 ,Σ : +1 → ,которое индуцирует отображение Σ : [+1] → . Легко видеть, чтоΣ совпадает с отображением Альбанезе. Обобщённым многообразием18Куммера K ( ), ассоциированным с тором , называется прообразΣ−1 (0) ⊂ [+1] нуля 0 ∈ . Это гиперкэлерово многообразие размерно­сти 2 [Bea1]. В случае > 2 его второе число Бетти равно 7.(iii) Многообразие О’Грэди размерности десять 10 .

Пусть вновь явля­ется 3 поверхностью, и – пространство модулей стабильных рас­слоений ранга два на , с классами Черна 1 = 0, 2 = 4. IЭто про­˜ , по­странство модулей допускает естественную компактификацию лучаемую добавлением классов полустабильных пучков без кручения.Вдоль границы оно особо, но О’Грэди ([O1]) построил десингуляриза­˜ , являющуюся новым гиперкэлеровым многообразием размерно­цию сти десять. О’Грэди доказал, что 2 хотя бы 24 [O1], поэтому оно недеформационно эквивалентно схеме Гильберта.Позднее Рапаньетта определил, что второе число Бетти 2 (10 ) = 24[R]. Эйлерову характеристику 10 определил Мозговой [Mo].

Ромб Ход­жа для многоообразия О’Грэди 10 неизвестен.(iv) Многообразие О’Грэди размерности шесть 6 . Аналогичная конструк­ция может быть использована для комплексного тора и расслоений ран­га два с 1 = 0, 2 = 2. В этом случае, мы получаем гиперкэлерово мно­гообразие размерности шесть [O2]. Его второе число Бетти 2 равно 8[O2]. Числа Ходжа 6 были недавно определены Монгарди, Рапаньет­той и Саккой [MRS] (см. замечание 3.4.2).Таким образом, мы имеем две серии (i) и (ii) и два спорадических при­мера (iii) и (iv). Все они имеют различные числа Бетти. При этом про мно­гообразия О’Грэди в отличии от остальных примеров известно существенноменьше.Кроме приведённых конструкций гиперкэлеровых многообразий есть идругие, в частности конструкции Ёшиоки, О’Грэди [O3, Yo].

Но все они де­формационно эквивалентны уже известным примерам.Бовиль предположил, что в каждой размерности примеров простых ги­перкэлеровых многообразий существует конечное число.Гипотеза 2.1.11 (Гипотеза Бовиля, [Bea1]). Существует только конечное чис­ло простых компактных гиперкэлеровых многообразий в каждой размерно­19сти с точностью до деформационной эквивалентности.В более слабой формулировке гипотеза утверждает, что в каждой раз­мерности все числа Бетти гиперкэлеровых многообразий ограничены. Приэтом теоретически могут существовать деформационно неэквивалентные ги­перкэлеровы многообразия с одинаковыми числами Бетти.Именно с этой гипотезой связана задача главы 3, в которой мы полу­чим неравенство, связывающие числа Бетти гиперкэлеровых многообразий вразмерности шесть, а также ограничения на второе число Бетти в большейразмерности.Форма Бовиля-Богомолова-ФуджикиВажным объектом гиперкэлеровой геометрии является форма Бовиля­Богомолова-Фуджики, определённая ниже.([F]) Пусть – неприводимое гиперкэлеровое многообра­зие и 2 = dimC .

Тогда существует примитивная квадратичная формаR на 2 (, Z) и целое число > 0 такое, что 2 = (, ) для любойформы ∈ 2 ( ).Теорема 2.1.12.Форма называется формой Богомолова-Бовиля-Фуджики(ББФ). Она определяется соотношением Фуджики канонически, с точно­стью до знака. Для нечётных знак определён однозначно. В случае чётного выбор знака можно задать с помощью неравенства(Ω, Ω̄) > 0,0 ̸= Ω ∈ 2,0 ( ),или явной формулы для формы ББФ:Z(, ) = (/2) ∧ ∧ Ω−1 ∧ Ω̄−1 −⎛Z⎞⎛Z⎞− (1 − ) ⎝ ∧ Ω−1 ∧ Ω̄ ⎠ ⎝ ∧ Ω ∧ Ω̄−1 ⎠ ,20(2.1.2)где Ω – голоморфно симплектическая форма и > 0 – положительная кон­станта. Вместо голоморфно симплектической формы, можно использоватькэлерову форму [V8, (1.1)].С помощью формулы 2.1.2 можно показать, что форма Бовиля-Богомо­лова-Фуджики имеет сигнатуру (3, 2 − 3) [V8].Примеры О’Грэди и решётка МукаиВыше мы привели четыре примера простых гиперкэлеровых многообра­зий.

Вернёмся к примерам О’Грэди и рассмотрим их конструкцию с помощьюрешётки Мукаи.Определение 2.1.13. Пусть – абелева или 3 поверхность. Рассмотрим˜()= 0 () ⊕ 2 () ⊕ 4 ()˜На ()можно задать структуру Ходжа следующим образом:˜ 2,0 () = 2,0 (),˜ 0,2 () = 0,2 (),˜ 1,1 () = 0 ()⊕ 1,1 ()⊕ 4 ().˜Решёткой Мукаи называется группа (), снабжённая симметрическойбиллинейной формойZ22∑︁∑︁( , ) = (2 ∧ 2 − 0 4 − 4 0 ).=0=0Для когерентного пучка обозначим за ( ) вектор√( ) := ch( ) Td = ch( )(1 + ),где ∈ 4 (, Z) и равно 1, если – 3 поверхность, и равно 0, если – абелева поверхность.Определение 2.1.14.

Характеристики

Список файлов диссертации

Числа Бетти и трианалитические подмногообразия гиперкэлеровых многообразий
Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6381
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее