Диссертация (1137339), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Тогда Θ калибрация и её грани это -мерные ква2 (2)!4Теорема4.2.4.тернионные подпространства . Кроме того, форма Ξ :=же калибрация с теми же гранями.Подмногообразия, калибруемые формой Θ называютсяческими подмногообразиями.2 )(2 +(!)2 4тактрианалити4.3.
Основная теоремаВ этой секции мы докажем основную(Основная теорема). Пусть ( ) – обобщённое многообразие Куммера, и ⊂ ( ) абсолютно трианалитическое многообразие.Тогда не является тором.Теорема 4.3.1Вместе с теоремами 4.1.9 и 4.1.10 она позволяет сказать, что в известныхпримерах гиперкэлеровых многообразий нет абсолютно трианалитических торов.
Таким образом, в этой части классификация завершена. Если рассмат66ривать только известные деформационные типы гиперкэлеровых многообразий, то открытым остаётся вопрос существования абсолютно трианалитических подмногообразий деформационного типа 10 в обобщённом многообразии Куммера, а также схем Гильберта в 6 .4.3.1. Плоские торы вВ этом разделе, мы получим основные вспомогательные результаты,необходимые для доказательства основной теоремы 4.3.1.Пусть ⊂ ( ) – абсолютно трианалитическое подмногообразие вобобщённом многообразии Куммера, нормализацией которого является тор(4.1.1).Замечание 4.3.2.
Поскольку ( ) вложено в схему Гильберта тора [] , мыможем рассматривать как абсолютно трианалитическое подмногообразиев [] .Рассмотрим следующую диаграмму:∨ []> () < −1 (())> ∨> () <∨ ,(4.1)где [] – схема Гильберта тора, () – симметрическая степень тора,отображение это отображение Гильберта-Чжоу (2.1), отображение факторизации → () , и квадрат декартов.Замечание 4.3.3. По [EV, Theorem 7.7] можем выбрать общим (в смысле 2.2.6) в том же деформационном классе. Напомним, что по теореме 2.2.5трианалитические подмногообразия обладают следующим свойством: для любых , ′ в одном деформационном классе существует диффеоморфизм → ′ , который отображает абсолютно трианалитические подмногообразия в абсолютно трианалитические. Тем самым, достаточно доказать нашутеорему для общего тора .67Пусть ⊂ [] – абсолютно трианалитическийтор.
Тогда каждая неприводимая компонента −1 (()) общий тор в , ( −1 (())) = 0, и отображение : −1 (()) → () конечно.Предложение 4.3.4.Доказательство. Поскольку – общий тор, то все подмногообразия в являются абсолютно трианалитическими. Значит, −1 (()) вполне геодезично, и, следовательно, плоско. Тем самым, каждая неприводимая компонента −1 (()) является подтором в . Поскольку общий, то любой подторобщий, и, в частности, группа Пикара −1 (()) нулевая.
Конечность отображения очевидна. Действительно, ведь это отображение факторизации посимметрической группе.Пусть ⊂ [] – абсолютно трианалитический тор.Тогда отображение : → () конечное в общей точке.Предложение 4.3.5.Для доказательства этого утверждения нам понадобится следующееутверждение, доказанное Калединым.˜ → является глад([K, Лемма 2.9.]) Пусть : ким проективным разрешением особенностей симплектического многообра˜ симплектическую форму на многообразиизия . Обозначим за Ω ∈ Ω2 ()˜ . Пусть : → – гладкое отображение гладких связных алгебраических поверхностей, и предположим, что имеется следующая коммутативная диаграмма:Предложение 4.3.6.˜>(4.2)∨ 0 ∨>Тогда существует плотное открыто подмножество 0 ⊂ и 2-формаΩ ∈ Ω2 (0 ) на 0 , такая что * Ω = * Ωна −1 (0 ) ⊂ .68Доказательство Предложения 4.3.5. Существует каноническая стратификация на каждой симплектической особенности и эта стратификация совпадает со стратификацией диагоналями на () ([K, Предложение 3.1.]).
Крометого, каждый страт имеет симплектическую форму, и для () эти формыиндуцируются эквивариантной относительно перестановок симплектическойформой. Ограничение этой симплектической формы на гладкую часть прообраза −1 ( ) для произвольного страта в () является поднятием симплектической формы на этот страт в () ([K, Лемма 2.9.]).
Тогда плотное открытое подмножество в ⊂ [] проецируется на открытую часть некоторогострата. Поэтому, ограничение симплектической формы на это поднятиесимплектической формы на страт. Если проецируется на () с общимислоями положительной размерности, то эта форма не может быть невырожденной, а, значит, в этом случае несимплектично. Противоречие.Определение 4.3.7. Пусть 1 и 2 – абелевы многообразия одной размерностинадо полем . Изогенией между 1 и 2 называется плотный морфизм :1 → 2 многобразий, сохраняющий базовые точки (т.е. переводит единицуна 1 в единицу на 2 ).Пусть ⊂ [] – абсолютно трианалитический торв обобщённом многообразии Куммера.
Рассмотрим диаграммуПредложение 4.3.8.˜<>−1(())(4.3)><()где ˜ – расслоенное произведение и −1 (()). Тогда и любая компонента −1 (()) изогенные торы.Доказательство. Расслоенное проивзедение ˜ это подмногообразие в произведении × −1 (() общих торов. Тогда ˜ является трианалитическим и69поэтому плоским. Отображения плоского тора ˜ в и −1 (()) конечныв общей точке (конечность отображения ˜ → −1 (()) следует из 4.3.5),значит, эти торы изогенны.Зафиксируем неприводимую компоненту −1 (()) и обозначим её через ′.Обозначим степень отображения → () через и степень отображения −1 (()) → () через ˜.Замечание 4.3.9.
Из 4.3.4 и 4.3.8 следует, что () = 0.4.3.2. Отсутствие абсолютно трианалитических торов вобобщённом многообразии КуммераВ этом разделе мы доказываем основную Теорему 4.3.1.Определение 4.3.10. Голоморфно симплектическим объёмом голоморфно симR1плектического многообразия (, Ω) называется := Ω 2 dim ∧1Ω2dim .Определение 4.3.11. Кэлеровым объёмом кэлерова многобразия (, , ) наR12зывается 22 (2)! , где dimR ( ) = 2.Замечание 4.3.12.
: Для гиперкэлеровых многобразий (в частности, для абсолютно трианалитических подмногообразий) кэлеров объём совпадает с голоморфно симплектическим ([GV, Теорема 5.3.]). Будем называть это гиперкэлеровым условием.Теорема 4.3.1 Пусть ( ) – обобщённое многообразиеКуммера, и ⊂ ( ) абсолютно трианалитическое многообразие. Тогда не является тором.Теорема 4.3.13.70Доказательство. Во-первых, заметим, что любая комплексная структуракэлерового типа на плоском торе задаёт комплексную структуру кэлерового типа на [] . Рассмотрим стандартное отображение из 2 ( () , C) ⊕ C[]на 2 ( [] , C), где исключительный дивизор раздутия () в [] . Класскогомологий [] типа (1, 1).Зафиксируем гиперкэлерову структуру (, , ) на , и пусть Ω – соответствующая голоморфно симплектическая форма на .
Гиперкэлерова′одинакового кэлеровоготройка на задаётся тремя формами ′ , ′ , и ′] их классы когомологий. Посколькуобъёма. Обозначим через [′ ], [′ ], и [симплектическая форма на эквиварианта по отношению к перестановкам,то соответствующие классы когомологий на () , обозначаемые через [ ],[ ], и [ ] таковы, что′ * [ ] = [′ ], * [ ] = [′ ], * [ ] = [].Мы имеем дело именно с классами когомологий, поскольку само многообразие () имеет особенности и поэтому и симплектические формы и объёмы на нём не вполне определены. Другой подход заключается в рассмотрениисимметрического произведения как орбиообразия.По Предложению 4.3.5 на каждом открытом страте симметрической степени () существует кэлерова форма и класс этой формы является ограничением [ ] + [ ] на страт.Хорошо известно (см. например [OVV, Лемма 3.4]), что существует кэлерова метрика с кэлеровым классом [ [] ] = [ * () ] − [], где – исключительный дивизор и 0 < < 1.Напомним, что симплектический объём не меняется при раздутиях.
ПоТеореме 2.1.3 существует некоторая константа и гиперкэлерова структурана [] , такая что [˜ ] := [ * ] − [], [˜ ], и [˜ ] имеет тот же кэлеровобъём. После разрешения особенностей симметрической степени () при построении схемы Гильберта точек [] обратные образы [ ] и [ ] это [˜ ]и [˜ ]: * [ ] = [˜ ], * [ ] = [˜ ].Заметим, что * () ∪ [] = 0, и обозначим через = []2 .Тогда71Z˜ 2 = ()2 · − ()2 2 · = []Константа может быть определена из уравнения выше, в частности,имеем > 1.Вспомним, что по Предположению 4.3.5 и Предположению 4.3.4 отображение из в () и отображение ′ → () конечны в общей точке. Значит,˜симплектические объёмы и ′ отличаются умножением на ˜· = ′ ,где – степень отображения → () и ˜ – степень отображения −1 (()) → ().
Кэлеровы объёмы и ′ определяются гиперкэлеровымусловием.Поскольку ′ абсолютно трианалитическое подмногообразие в , его′объём по отношению к ′ и совпадает с объёмом по отношению к ′ . Однако, также абсолютно трианалитическое подмногообразие в [] , значит,его объём также совпадает с объёмом по отношению к [ * ] − [].Заметим, что [] ∪ [] = 0. Действительно, рассмотрим линейноерасслоение (), ограниченное на .
Так как группа Пикара нулевая(Предложени 4.3.9), то над нет нетривиальных линейных расслоений.Применяя гиперкэлерово условие для и ′ , получаемRR′ [ ]([]−[])′ ( )()R= R= R1== .′ ) (˜() [ ] ′ ( )R*С другой стороны > 1, что даёт противоречие.Замечание 4.3.14. На общие случаи абсолютно трианалитических подмногообразий обобщённого многообразия Куммера приведённое выше доказательство не обобщается. Действительно, в общем случае не изогенно неприводимым компонентам −1 (()) и группа Пикара также может быть ненулевой.72ЗаключениеДиссертация содержит следующие новые определения, результаты и методы:∙ Доказано отсутствие абсолютно трианалитических торов в обобщённоммногообразии Куммера;∙ Получено неравенство на числа Бетти гиперкэлеровых многообразий вразмерности шесть;∙ Получены следствия основного неравенства, включающие конечностьчисла простых гиперкэлеровых многообразий в размерности шесть с2 = 23.73Публикации по теме диссертации[Ku1] Курносов Н.М., “О неравенстве для чисел Бетти гиперкэлеровых многоообразийразмерности шесть” // Матем.
Заметки, 99:2 (2016), 309–313. An inequality forBetti numbers of hyper-Kähler manifolds of dimension 6 // Mathematical Notes., 99,1, pp. 330-334, 2016.[Ku2] Kurnosov N., Absolutely trianalytic tori in the generalized Kummer variety, Advancesin Mathematics, 298, 6, pp. 473-483, 2016.[Ku3] Kurnosov N., Boundness of 2 for hyperkähler manifolds with vanishing odd-Bettinumbers.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
