Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1137339), страница 6

Файл №1137339 Диссертация (Числа Бетти и трианалитические подмногообразия гиперкэлеровых многообразий) 6 страницаДиссертация (1137339) страница 62019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Вчастности, 3 ⊕ 5 является спинорным представлением Spin (2 + 2), и по­2 +2этому 23 делится на 2[ 2 ] . В случае, если 2 = 7, получаем, таким образом,.что 3 ..8.Естественным является желание обобщить результаты Гуана. К сожа­лению, прямое обобщение не позволяет получить неравенств на числа Беттии Ходжа гиперкэлеровых многообразий.

В следующих разделах мы рассмот­рим использование инвариантов Розанского-Виттена, в частности, докажем36неравенство на инварианты Розанского-Виттена (см. раздел 3.2.5). Оказыва­ется, что с использованием этого неравенства можно получить наше основноенеравенство – некоторый аналог Предложения 3.1.4 в размерности шесть.Отдельным вопросом является ограниченность второго числа Бетти,для этого требуется рассмотреть неприводимые представления алгебры Лиso(2 + 2), на которые распадается ромб Ходжа согласно теореме Луенги­Лунца (теорема 2.4.11).

В малых размерностях ограниченность 2 доказанаСейвоном ([S-b2]) и автором ([Ku3]). В заключение главы (см. раздел 3.5) мыприведём некоторые результаты и сформулируем ряд гипотез.Отдельное место занимает вопрос изучения гиперкэлеровых многообра­зий с заданными числами Бетти. Наиболее "простой"случай – многообразияразмерности четыре с 2 = 23. Но даже в этом случае полной классификациипока нет. Некоторые результаты удалось получить Капустке [Ka].Оказывается, что для гиперкэлерового многообразия с 2 = 23 любойобильный дивизор имеет самопересечение вида 12 2 для некоторого натураль­ного .

В работе [Ka] изучен случай минимального возможного самопересе­чения, т.е. когда есть дивизор с 4 = 12. Напомним, что идеал для ||задаёт структуру схемы на особой части образа || () ⊂ P5 . Известно,что ⊂ P5 Коэн-Макалеево размерности 3.Напомним, что EPW секстикой ⊂ P5 =: P( ) называется секстика,определяемая детерминантом морфизма ⊗ P5 → Ω2P5 (3) ⊂ P( ) ×⋀︀3(3.1.2)⋀︀3соответствующего выбору 10-мерного Лагранжиана ⊂ по отно­шению к естественной симметрической форме ([EPW, Ex. 9.3]).Пусть – четырёхмерное гиперкэлерово многообразие с2 = 23, допускающее обильный дивизор с 4 = 12, такой что зада­ёт бирациональный автоморфизм || .

Тогда существует единственнаясекстика, содержащая схему с особенностями ⊂ P5 , определённую по|| () ⊂ P5 выше. Более того, эта секстика – EPW секстика .Теорема 3.1.6.373.2. Инварианты Розанского-Виттена для некоторыхграфовИнварианты Розанского-Виттена для простых графов были определеныв работах Сейвона и Хитчина ([HS, S]). В этом разделе мы докажем неравен­ство 3.2.5, связывающее инварианты Розанского-Виттена простых графов.Напомним, что определение самих инвариантов было дано в разделе 2.3.Наиболее простыми являются граф Θ, имеющий две вершины, соединён­ные тремя рёбрами и граф Θ2 , у которого четыре вершины.В большей размерности чаще всего рассматривают графы Θ ( дизъ­юнктных копий графа Θ на двух вершинах) и Θ−2 Θ2 ( дизъюнктных копийграфа Θ на двух вершинах и один граф Θ2 на 4 вершинах).Оказывается, что для графа Θ его инвариант Розанского-Виттена намногообразии является геометрической характеристикой самого многооб­разия [HS, (10)].Предложение 3.2.1.Пусть – гиперкэлерово многообразие размерности2 .

ТогдаR!(2) ( 2 Ω−1 Ω̄−1 )||||2RΘ ( ) ==(4 2 ) ( ( )−1!( Ω Ω̄ )−1(3.2.1)В частности, если = 1, т.е. в случае 3 имеемΘ ( ) = 22 ( ) = 48.Более того, верно следующее утверждение:Пусть – компактное неприводимое гиперкэлеровомногообразие размерности 2 . ТогдаПредложение 3.2.2.1||||2= 1/2 [ ],2−1(192 ) ( ( )(3.2.2)где 1/2 мультипликативная последовательностьклассов Понтряги­√/2на, определённая степенным рядом ( ℎ√/2 )1/2 .38Следующим по сложности графом является граф Θ−2 Θ2 , состоящий изграфа Θ2 и −2 копий графа Θ.

Для того, чтобы вычислить его инвариант Ро­занского-Виттена можно воспользоваться ”пузырьковой” теоремой, котораяпозволяет осуществлять перестроения графов в соответствии со следующейкартинкой:(пузырьковая теорема, [HS, Глава 4, Предложение 14])Граф Θ− Θ при от 1 до может быть выражен как линейная ком­бинация поликолёс (т.е. не тривалентных графов, состоящих из круга и2-"спиц") и несвязных объединений графов Θ, Θ2 , ..., Θ−1 .Теорема3.2.3.В частности, из результатов Хитчина и Сейвона [S, Chapter 5] следует,чтоПредложение 3.2.4.RR 2 −2 −2−1 −1 −2(ΩΩ̄)(Ω̄ )2 2 2 ΩR(3.2.3)Θ ( )+2Θ−2 Θ2 ( ) =( − 2)!( Ω Ω̄ )−2 −2Теперь докажем следующую важнуюПусть – неприводимое гиперкэлеровое многообразие ком­плексной размерности 2.

ТогдаЛемма 3.2.5.− Θ ≤ (2 + 2( − 1))Θ−2 Θ2 .39(3.2.4)Доказательство. Ранее мы говорили о вложении Sym2 ( 2 (, Q)) в 4 (, Q) по теореме 2.4.4. Таким образом 2 можно представить как + ,4где ∈ Sym2 ( 2 (, Q)) и ∈ ( ) (примитивные формы).Обозначим двойственную к форме ББФ форму в Sym2 2 (, Q) за .Заметим, что – единственный элемент из Sym2 2 (, Q) с точностью доконстанты, который имеет тип (2,2) при любой вариации комплексной струк­туры из 2 -семейства комплексных структур, согласованных с гиперкэлеро­вой метрикой 2.1.12.

Значит, так как 2 также имеет тип (2,2), то – кратно. Тогда 2 представляется в виде + , где лежит в примитивных кого­4( ). Поэтомумологиях 22 = 2 2 + 2 + 2 ,умножая на Ω−2 Ω̄−2 и интегрируя, имеемZZ22 Ω−2 Ω̄−2=2Z2−2Ω−2Ω̄2+Z−2Ω−2Ω̄22 Ω−2 Ω̄−2 ,≥где мы воспользовались ортогональностью Ω−2 Ω̄−2 и . Константу можно определить, домножив равенство 2 = + на Ω−1 Ω̄−1 и проинте­грировав:ZZ−12 Ω−1Ω̄Ω−1 Ω̄−1 .=Таким образом, получаемZ(Z22 Ω−2 Ω̄−2 )(Z−1ΩΩ̄Z−1 2−1) ≥ ( 2 ΩΩ̄−1 2) ( 2 Ω−2 Ω̄−2 )RRДомножив обе части неравенства на ( 2 Ω−1 Ω̄−1 )−2 /( Ω Ω̄ ) и,используя формулы для Θ (3.2.1) и Θ−2 Θ2 (3.2.4), получаем неравенствоZZZ(Θ + 2Θ−2 Θ2 )( Ω−1 Ω̄−1 )2 ≥ ( − 1)Θ ( 2 Ω−2 Ω̄−2 )( Ω Ω̄ )Заметим, что мы можем перейти от ΩΩ̄ к Ω + Ω̄.

Поскольку полученноенеравенство остаётся верным и после деформации комплексной структуры,40значит, мы можем заменить Ω + Ω̄ на произвольную форму ∈ 2 (, Q).Тем самым мы получаем неравенствоZZ2−2 2(2 − 1)(Θ + 2Θ−2 Θ2 )( Z2 2−4) ≥ (2 − 3)Θ ( )( 2 ) (3.2.5)Пусть 1 , . . . 2 – ортонормальный базис на 2 (, C) такой, что =∑︀2 2∑︀2=1 . Возьмём в качестве формы сумму=1 . Тогда, пользуясь фор­мулой Фуджики (Теорема 2.1.12) и [H2, Следствие 23.17], имеемZ2−2 = ()−1иZ2 2−4 = 2 ()−2,где и 2 – константы.Чтобы найти и 2 можно подставить = , в этом случае−1 = ( )Z ∑︁ZZ2 2−22= ( )= + (2 − 1) 2 2−2== + (2 − 1)2 + 2 − 2·= ().(2)(2 − 1)2 − 1и2 = 2 ( )−2ZZ2 +(2 −1)=Z ∑︁∑︁= (4 +2 2 )2−4=Z4 2−4 +(2 −1)(2 −2)̸=2 2 2−4=(2 + 2 − 2)(2 + 2 − 4).(2 − 1)(2 − 3)Значит,Z∑︁(2 + 2 − 2)(2 + 2 − 4) −22 2−4 = 2 ( ))−2 = ()2 ,(2 − 1)(2 − 3)41Таким образом,Z∑︁2 + 2 − 2 −12−2 = ( ))−1 = ()22 − 1иZ2 2−4∑︁(2 + 2 − 2)(2 + 2 − 4) −2)2 ,= 2 ( ))−2 = ((2 − 1)(2 − 3)Rгде = 2 .

Таким образом, подставляя всё это в неравенство 3.2.5,получаем требуемое.3.3. Основное неравенствоВ этом разделе мы получим основное неравенство из Леммы 3.2.5. Дляначала напомнимОпределение 3.3.1. Нормированными классами Черна называются классы1tr 2 ] ∈ 4 (, Z),2(2)где – тензор кривизны.2 = [В этих терминах, например, характер Черна выглядит следующим об­разом:ch( ) =∑︁ 2.(2)!Оказывается, что именно в терминах нормированных классов Черна про­ще всего выражаются инварианты Розанского-Виттена [HS, Section 4.2.].Используя формулу "пузырьков"(3.2.3, [S, стр. 68]), получаем выраже­ние для инварианта Розанского-Виттена графа Θ−2 Θ2 :Θ−2 Θ2 = −2−2 (24)−1 ( − 2)!(48 + 2 ) 1/2 ,42(3.3.1)где 1/2 мультипликативная последовательностьклассов Понтрягина,√/2определённая степенным рядом ( ℎ√/2 )1/2 , а 2 – второй нормированныйкласс Черна. Производящая функция для 1/2 получена в [S, Теорема 10] иможет быть выражена в терминах нормированных классов Черна: 1/2 = 1 −114112642 + 2 (22 + 4 ) − 3 (32 + 2 4 + 6 ) + ...

(3.3.2)4848 2!548 3!535Для графа Θ имеем ([HS])Θ−2 Θ2 = 48 ! 1/2 .(3.3.3)Определение 3.3.2. Числами Хирцебруха называются суммы =∑︁ℎ, .=0Надо отметить, что нормированные (и обычные) классы Черна выража­ются через числа Хирцебруха в малых размерностях ([S, стр. 121-122]).Теперь докажем неравенство, аналогичное неравенству 3.1.3, в размер­ности шесть.Теорема 3.3.3.Пусть – шестимерное простое гиперкэлерово многооб­разие.

Тогда37195 23 2,2 3822 − 10302 + 757297 + 3 − 4 − + ℎ 6,22222 + 1(3.3.4)или в терминах чисел Ходжа:1,278 + 36ℎ1,3− 20ℎ2,2+ 2ℎ2,3+ℎ38(ℎ1,1 )2 − 878ℎ1,1 + 56646,ℎ1,1 + 3(3.3.5)Доказательство. Воспользуемся доказанной в предыдущем разделе леммой3.2.5 для случая размерности шесть ( = 3). Из значения инвариантов Ро­занского-Виттена для графов Θ3 (из 3.3.3) и 2 (из 3.3.1) и формулы 3.3.2,получаем следующее неравенство43(−32 −641122 4 − 6 ) ≥ (2 + 4)(2 · 242 (48 · 3 + 2 )(1 − ( )2535484112641+( 2 )(22 + 4 ) − ( 3 )(32 + 2 4 + 6 )),48 2!548 3!535(3.3.6)выразив классы Черна через числа Хирцебруха, это неравенство можноупростить ([S, стр. 123].В частности, в размерности шесть имеем32 = −581760 + 14721 + 642 ,2 4 = −181440 − 9281 − 322 ,6 = −65520 − 7841 − 562 .Подставляя в 3.3.6 получаем3(3948 + 191 + 2 ) ≥ (2 + 4)(1068 + 191 + 2 ).(3.3.7)Заметим, что по определению 1 = 5 − 22 + 3 − 21 4 + 12 ℎ2,2 и 2 =2 − 21 3 + 2ℎ2,2 − 12 5 .

Подставив в предыдущее неравенство, получаем искомое3.3.4. Чтобы получить неравенство 3.3.5 необходимо переписать числа Беттив терминах чисел Ходжа.Замечание 3.3.4. В случае Hilb3 (3) выполнено равенство.Пример 3.3.5. Ромбы Ходжа схемы Гильберта трёх точек над 3 и обобщён­ного многообразия Куммера 3 ( ) были получены Гётше и Зоргелем [GS]:∙ Схема Гильберта трёх точек над 3:Мы знаем, что для неё 2 = 23, 3 = 5 = 0, и ромб Ходжа имеет вид4410010100210253012220040253253002122210100110022000253010220121010101∙ Обобщённая поверхность Куммера:В случае 3 ( ) ромб Ходжа устроен более сложно:10010101453724374163726024240146405437243740565044111010101Замечание 3.3.6. Поскольку различных чисел Бетти пять, а чисел Ходжашесть, то, в отличии от случая размерности четыре, полностью исключитьпоследние нельзя.

Характеристики

Список файлов диссертации

Числа Бетти и трианалитические подмногообразия гиперкэлеровых многообразий
Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее