Диссертация (1137339), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Вчастности, 3 ⊕ 5 является спинорным представлением Spin (2 + 2), и по2 +2этому 23 делится на 2[ 2 ] . В случае, если 2 = 7, получаем, таким образом,.что 3 ..8.Естественным является желание обобщить результаты Гуана. К сожалению, прямое обобщение не позволяет получить неравенств на числа Беттии Ходжа гиперкэлеровых многообразий.
В следующих разделах мы рассмотрим использование инвариантов Розанского-Виттена, в частности, докажем36неравенство на инварианты Розанского-Виттена (см. раздел 3.2.5). Оказывается, что с использованием этого неравенства можно получить наше основноенеравенство – некоторый аналог Предложения 3.1.4 в размерности шесть.Отдельным вопросом является ограниченность второго числа Бетти,для этого требуется рассмотреть неприводимые представления алгебры Лиso(2 + 2), на которые распадается ромб Ходжа согласно теореме ЛуенгиЛунца (теорема 2.4.11).
В малых размерностях ограниченность 2 доказанаСейвоном ([S-b2]) и автором ([Ku3]). В заключение главы (см. раздел 3.5) мыприведём некоторые результаты и сформулируем ряд гипотез.Отдельное место занимает вопрос изучения гиперкэлеровых многообразий с заданными числами Бетти. Наиболее "простой"случай – многообразияразмерности четыре с 2 = 23. Но даже в этом случае полной классификациипока нет. Некоторые результаты удалось получить Капустке [Ka].Оказывается, что для гиперкэлерового многообразия с 2 = 23 любойобильный дивизор имеет самопересечение вида 12 2 для некоторого натурального .
В работе [Ka] изучен случай минимального возможного самопересечения, т.е. когда есть дивизор с 4 = 12. Напомним, что идеал для ||задаёт структуру схемы на особой части образа || () ⊂ P5 . Известно,что ⊂ P5 Коэн-Макалеево размерности 3.Напомним, что EPW секстикой ⊂ P5 =: P( ) называется секстика,определяемая детерминантом морфизма ⊗ P5 → Ω2P5 (3) ⊂ P( ) ×⋀︀3(3.1.2)⋀︀3соответствующего выбору 10-мерного Лагранжиана ⊂ по отношению к естественной симметрической форме ([EPW, Ex. 9.3]).Пусть – четырёхмерное гиперкэлерово многообразие с2 = 23, допускающее обильный дивизор с 4 = 12, такой что задаёт бирациональный автоморфизм || .
Тогда существует единственнаясекстика, содержащая схему с особенностями ⊂ P5 , определённую по|| () ⊂ P5 выше. Более того, эта секстика – EPW секстика .Теорема 3.1.6.373.2. Инварианты Розанского-Виттена для некоторыхграфовИнварианты Розанского-Виттена для простых графов были определеныв работах Сейвона и Хитчина ([HS, S]). В этом разделе мы докажем неравенство 3.2.5, связывающее инварианты Розанского-Виттена простых графов.Напомним, что определение самих инвариантов было дано в разделе 2.3.Наиболее простыми являются граф Θ, имеющий две вершины, соединённые тремя рёбрами и граф Θ2 , у которого четыре вершины.В большей размерности чаще всего рассматривают графы Θ ( дизъюнктных копий графа Θ на двух вершинах) и Θ−2 Θ2 ( дизъюнктных копийграфа Θ на двух вершинах и один граф Θ2 на 4 вершинах).Оказывается, что для графа Θ его инвариант Розанского-Виттена намногообразии является геометрической характеристикой самого многообразия [HS, (10)].Предложение 3.2.1.Пусть – гиперкэлерово многообразие размерности2 .
ТогдаR!(2) ( 2 Ω−1 Ω̄−1 )||||2RΘ ( ) ==(4 2 ) ( ( )−1!( Ω Ω̄ )−1(3.2.1)В частности, если = 1, т.е. в случае 3 имеемΘ ( ) = 22 ( ) = 48.Более того, верно следующее утверждение:Пусть – компактное неприводимое гиперкэлеровомногообразие размерности 2 . ТогдаПредложение 3.2.2.1||||2= 1/2 [ ],2−1(192 ) ( ( )(3.2.2)где 1/2 мультипликативная последовательностьклассов Понтряги√/2на, определённая степенным рядом ( ℎ√/2 )1/2 .38Следующим по сложности графом является граф Θ−2 Θ2 , состоящий изграфа Θ2 и −2 копий графа Θ.
Для того, чтобы вычислить его инвариант Розанского-Виттена можно воспользоваться ”пузырьковой” теоремой, котораяпозволяет осуществлять перестроения графов в соответствии со следующейкартинкой:(пузырьковая теорема, [HS, Глава 4, Предложение 14])Граф Θ− Θ при от 1 до может быть выражен как линейная комбинация поликолёс (т.е. не тривалентных графов, состоящих из круга и2-"спиц") и несвязных объединений графов Θ, Θ2 , ..., Θ−1 .Теорема3.2.3.В частности, из результатов Хитчина и Сейвона [S, Chapter 5] следует,чтоПредложение 3.2.4.RR 2 −2 −2−1 −1 −2(ΩΩ̄)(Ω̄ )2 2 2 ΩR(3.2.3)Θ ( )+2Θ−2 Θ2 ( ) =( − 2)!( Ω Ω̄ )−2 −2Теперь докажем следующую важнуюПусть – неприводимое гиперкэлеровое многообразие комплексной размерности 2.
ТогдаЛемма 3.2.5.− Θ ≤ (2 + 2( − 1))Θ−2 Θ2 .39(3.2.4)Доказательство. Ранее мы говорили о вложении Sym2 ( 2 (, Q)) в 4 (, Q) по теореме 2.4.4. Таким образом 2 можно представить как + ,4где ∈ Sym2 ( 2 (, Q)) и ∈ ( ) (примитивные формы).Обозначим двойственную к форме ББФ форму в Sym2 2 (, Q) за .Заметим, что – единственный элемент из Sym2 2 (, Q) с точностью доконстанты, который имеет тип (2,2) при любой вариации комплексной структуры из 2 -семейства комплексных структур, согласованных с гиперкэлеровой метрикой 2.1.12.
Значит, так как 2 также имеет тип (2,2), то – кратно. Тогда 2 представляется в виде + , где лежит в примитивных кого4( ). Поэтомумологиях 22 = 2 2 + 2 + 2 ,умножая на Ω−2 Ω̄−2 и интегрируя, имеемZZ22 Ω−2 Ω̄−2=2Z2−2Ω−2Ω̄2+Z−2Ω−2Ω̄22 Ω−2 Ω̄−2 ,≥где мы воспользовались ортогональностью Ω−2 Ω̄−2 и . Константу можно определить, домножив равенство 2 = + на Ω−1 Ω̄−1 и проинтегрировав:ZZ−12 Ω−1Ω̄Ω−1 Ω̄−1 .=Таким образом, получаемZ(Z22 Ω−2 Ω̄−2 )(Z−1ΩΩ̄Z−1 2−1) ≥ ( 2 ΩΩ̄−1 2) ( 2 Ω−2 Ω̄−2 )RRДомножив обе части неравенства на ( 2 Ω−1 Ω̄−1 )−2 /( Ω Ω̄ ) и,используя формулы для Θ (3.2.1) и Θ−2 Θ2 (3.2.4), получаем неравенствоZZZ(Θ + 2Θ−2 Θ2 )( Ω−1 Ω̄−1 )2 ≥ ( − 1)Θ ( 2 Ω−2 Ω̄−2 )( Ω Ω̄ )Заметим, что мы можем перейти от ΩΩ̄ к Ω + Ω̄.
Поскольку полученноенеравенство остаётся верным и после деформации комплексной структуры,40значит, мы можем заменить Ω + Ω̄ на произвольную форму ∈ 2 (, Q).Тем самым мы получаем неравенствоZZ2−2 2(2 − 1)(Θ + 2Θ−2 Θ2 )( Z2 2−4) ≥ (2 − 3)Θ ( )( 2 ) (3.2.5)Пусть 1 , . . . 2 – ортонормальный базис на 2 (, C) такой, что =∑︀2 2∑︀2=1 . Возьмём в качестве формы сумму=1 . Тогда, пользуясь формулой Фуджики (Теорема 2.1.12) и [H2, Следствие 23.17], имеемZ2−2 = ()−1иZ2 2−4 = 2 ()−2,где и 2 – константы.Чтобы найти и 2 можно подставить = , в этом случае−1 = ( )Z ∑︁ZZ2 2−22= ( )= + (2 − 1) 2 2−2== + (2 − 1)2 + 2 − 2·= ().(2)(2 − 1)2 − 1и2 = 2 ( )−2ZZ2 +(2 −1)=Z ∑︁∑︁= (4 +2 2 )2−4=Z4 2−4 +(2 −1)(2 −2)̸=2 2 2−4=(2 + 2 − 2)(2 + 2 − 4).(2 − 1)(2 − 3)Значит,Z∑︁(2 + 2 − 2)(2 + 2 − 4) −22 2−4 = 2 ( ))−2 = ()2 ,(2 − 1)(2 − 3)41Таким образом,Z∑︁2 + 2 − 2 −12−2 = ( ))−1 = ()22 − 1иZ2 2−4∑︁(2 + 2 − 2)(2 + 2 − 4) −2)2 ,= 2 ( ))−2 = ((2 − 1)(2 − 3)Rгде = 2 .
Таким образом, подставляя всё это в неравенство 3.2.5,получаем требуемое.3.3. Основное неравенствоВ этом разделе мы получим основное неравенство из Леммы 3.2.5. Дляначала напомнимОпределение 3.3.1. Нормированными классами Черна называются классы1tr 2 ] ∈ 4 (, Z),2(2)где – тензор кривизны.2 = [В этих терминах, например, характер Черна выглядит следующим образом:ch( ) =∑︁ 2.(2)!Оказывается, что именно в терминах нормированных классов Черна проще всего выражаются инварианты Розанского-Виттена [HS, Section 4.2.].Используя формулу "пузырьков"(3.2.3, [S, стр. 68]), получаем выражение для инварианта Розанского-Виттена графа Θ−2 Θ2 :Θ−2 Θ2 = −2−2 (24)−1 ( − 2)!(48 + 2 ) 1/2 ,42(3.3.1)где 1/2 мультипликативная последовательностьклассов Понтрягина,√/2определённая степенным рядом ( ℎ√/2 )1/2 , а 2 – второй нормированныйкласс Черна. Производящая функция для 1/2 получена в [S, Теорема 10] иможет быть выражена в терминах нормированных классов Черна: 1/2 = 1 −114112642 + 2 (22 + 4 ) − 3 (32 + 2 4 + 6 ) + ...
(3.3.2)4848 2!548 3!535Для графа Θ имеем ([HS])Θ−2 Θ2 = 48 ! 1/2 .(3.3.3)Определение 3.3.2. Числами Хирцебруха называются суммы =∑︁ℎ, .=0Надо отметить, что нормированные (и обычные) классы Черна выражаются через числа Хирцебруха в малых размерностях ([S, стр. 121-122]).Теперь докажем неравенство, аналогичное неравенству 3.1.3, в размерности шесть.Теорема 3.3.3.Пусть – шестимерное простое гиперкэлерово многообразие.
Тогда37195 23 2,2 3822 − 10302 + 757297 + 3 − 4 − + ℎ 6,22222 + 1(3.3.4)или в терминах чисел Ходжа:1,278 + 36ℎ1,3− 20ℎ2,2+ 2ℎ2,3+ℎ38(ℎ1,1 )2 − 878ℎ1,1 + 56646,ℎ1,1 + 3(3.3.5)Доказательство. Воспользуемся доказанной в предыдущем разделе леммой3.2.5 для случая размерности шесть ( = 3). Из значения инвариантов Розанского-Виттена для графов Θ3 (из 3.3.3) и 2 (из 3.3.1) и формулы 3.3.2,получаем следующее неравенство43(−32 −641122 4 − 6 ) ≥ (2 + 4)(2 · 242 (48 · 3 + 2 )(1 − ( )2535484112641+( 2 )(22 + 4 ) − ( 3 )(32 + 2 4 + 6 )),48 2!548 3!535(3.3.6)выразив классы Черна через числа Хирцебруха, это неравенство можноупростить ([S, стр. 123].В частности, в размерности шесть имеем32 = −581760 + 14721 + 642 ,2 4 = −181440 − 9281 − 322 ,6 = −65520 − 7841 − 562 .Подставляя в 3.3.6 получаем3(3948 + 191 + 2 ) ≥ (2 + 4)(1068 + 191 + 2 ).(3.3.7)Заметим, что по определению 1 = 5 − 22 + 3 − 21 4 + 12 ℎ2,2 и 2 =2 − 21 3 + 2ℎ2,2 − 12 5 .
Подставив в предыдущее неравенство, получаем искомое3.3.4. Чтобы получить неравенство 3.3.5 необходимо переписать числа Беттив терминах чисел Ходжа.Замечание 3.3.4. В случае Hilb3 (3) выполнено равенство.Пример 3.3.5. Ромбы Ходжа схемы Гильберта трёх точек над 3 и обобщённого многообразия Куммера 3 ( ) были получены Гётше и Зоргелем [GS]:∙ Схема Гильберта трёх точек над 3:Мы знаем, что для неё 2 = 23, 3 = 5 = 0, и ромб Ходжа имеет вид4410010100210253012220040253253002122210100110022000253010220121010101∙ Обобщённая поверхность Куммера:В случае 3 ( ) ромб Ходжа устроен более сложно:10010101453724374163726024240146405437243740565044111010101Замечание 3.3.6. Поскольку различных чисел Бетти пять, а чисел Ходжашесть, то, в отличии от случая размерности четыре, полностью исключитьпоследние нельзя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
