Диссертация (1137339), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Доклад “The second Betti number of hyperkahler manifolds”, Conference“Workshop on almost hermitian and contact geometry”, Bedlewo, Poland,18.10.-24.10.2015.11. Постер “Cohomology and subvarieties of hyperkähler manifolds”, BrAG,Edinburgh, 13-17 April, 2016.12. Доклады “Inequalities involving Betti numbers of hyperkähler manifolds”and “Trianalytic subvarities”, miniPAGES Semester, Warsaw, May, 2016.13. Доклад “Ограничения на когомологии гиперкэлеровых многообразий”, VI Международная конференция по алгебраической геометрии, комплексному анализу и компьютерной алгебре, Коряжма, 03-09.08.2016.ПубликацииРезультаты диссертации опубликованы в 5 работах (2 в рецензируемыхжурналах), список которых приведен в конце диссертации.Структура работыДиссертация состоит из четырёх глав и списка литературы.
Первая глава – введение. В ней формулируются основные вопросы, изучаемые в этойработе, даётся общий обзор хода доказательства, обозначаются перспективы7дальнейших исследований, вводятся используемые обозначения. Во второйглаве даются предварительные сведения, касающиеся понятий, возникающихв работе, а также техники работы с ними. Третья глава диссертации посвящена ограничениям на числа Бетти гиперкэлеровых многообразий. В четвёртойглаве мы изучаем абсолютно трианалитические торы в обобщённом многообразии Куммера.Полный объем диссертации – 78 страниц, список литературы состоит из75 наименований.1.2. Краткое содержание работы1.2.1. Ограничения на числа Бетти гиперкэлеровых многообразийВ размерности четыре ограничения на числа Бетти удалось получитьГуану в [Gu, Gu2].
Важной задачей является получение ограничений на числаБетти в больших размерностях.В данной диссертации (глава 3) исследуется задача, как можно обобщить теорему Гуана на размерность шесть и выше. На данный вопрос даётсяследующий ответ:Теорема 1.2.1.гдаПусть – шестимерное гиперкэлерово многообразие. То37195 23 2,2 3822 − 10302 + 757297 + 3 − 4 − + ℎ 6.22222 + 1(1.2.1)Доказательство этой теоремы основано на инвариантах Розанского-Виттена ([HS]), при этом результат Гуана также оказывается следствием неравенств на инварианты Розанского-Виттена:Пусть – неприводимое гиперкэлеровое многообразие комплексной размерности 2.
ТогдаЛемма 1.2.2.− Θ ≤ (2 + 2( − 1))Θ−2 Θ2 .8(1.2.2)Доказанное неравенство вместе с недавними результатами Сейвона позволяет получить ограничения на числа Бетти многообразия О’Грэди, а такжедоказать конечность числа возможных наборов чисел Бетти для гиперкэлеровых многообразий в размерности шесть. В частности, для фиксированного2 = 23 у нас имеется конечное число возможностей. При этом актуальнымостаётся вопрос, могут ли быть деформационно неэквивалентные схеме Гильберта многообразия с 2 = 23.1.2.2.
Абсолютно трианалитические подмногообразияРассмотрим гиперкэлеровое многообразие (, , , ). Любое трианалитическое подмногообразие гиперкэлерового многообразия → имеет̃︀ в ; эта иммерсия в общей точкегладкую гиперкэлерову нормализацию биективна на образ. Тем самым, естественным является вопрос, какие абсолютно трианалитические подмногообразия могут содержаться в известныхпримерах простых гиперкэлеровых многообразий.Вербицкий доказал, что любая деформация схемы Гильберта 3 поверхности не содержит комплексных подмногообразий [V3]. Аналогичное утверждение предполагалось Калединым и Вербицким и в случае обообщённойповерхности Куммера [KV].
Однако, затем они ([KV1]) обнаружили контрпример, действительно, рассмотрим инволюцию : → −, действующуюна торе. Эта инволюция может быть продолжена до инволюции схемы Гильберта тора [+1] , и, так как она коммутирует с отображением Альбанезе [+1] −→ , то сохраняет обобщённое многообразие Куммера ( ).
Замыкание множества пар неподвижных точек деформационно эквивалентносхеме Гильберта. Случай многообразий О’Грэди рассмотрен в [SV].[SV] Пусть является гиперкэлеровым многообразиеммаксимальной голономии, – гиперкэлеров тор, и → гиперкэлероваиммерсия с абсолютно трианалитическим образом. ТогдаТеорема 1.2.3.dimC ( ) > 2где 2 ( ) – второе число Бетти.92 ( )−1)2,Это позволяет доказать, что в многообразиях О’Грэди нет абсолютнотрианалитических торов.
Также из соображений размерности вторых когомологий следует отсутствие известных простых гиперкэлеровых многообразий в качестве абсолютно трианалитических подмногообразий многообразияО’Грэди 10 [SV].Согласно следующей теореме [GV] трианалитические многообразия связаны с теорией калибраций.Пусть (, , , , ) – гиперкэлерово многообразие,( 2 + 2 + 2 ) , , соответствующие симплектические формы и Θ := стандартная (2)-инвариантная 4-форма, нормированная константой∑︀(!)2− = =1 (!). Тогда Θ калибрация и её грани это -мерные ква2 (2)!4Теорема1.2.4.тернионные подпространства .
Кроме того, форма Ξ :=же калибрация с теми же гранями.2 (2 +)2(!) 4такПодмногообразия, калибруемые формой Θ называются трианалитическими подмногообразиями.В нашей диссертации исследуется вопрос наличия абсолютно трианалитических торов в многообразии Куммера. Выясняется, что таких торов тамнет(Основная теорема). Пусть ( ) – обобщённое многообразие Куммера, и ⊂ ( ) абсолютно трианалитическое многообразие.Тогда не является тором.Теорема 1.2.5Вместе с результатами предыдущих исследователей она позволяет сказать, что в известных примерах гиперкэлеровых многообразий нет абсолютно трианалитических торов.
Таким образом, в этой части классификациязавершена. Если рассматривать только известные деформационные типы гиперкэлеровых многообразий, то открытым остаётся вопрос существованияабсолютно трианалитических подмногообразий деформационного типа 10в обобщённом многообразии Куммера, а также схем Гильберта точек на3 в многообразии О’Грэди 6 .10Для доказательства основного результата мы рассматриваем образ ()трианалитического тора в симметрической степени тора (общего) и соответствующий прообраз −1 (()) в .> () < −1 (())> ∨> () <∨ []∨ ,где [] – схема Гильберта точек тора, () – симметрическая степеньтора, отображение это отображение Гильберта-Чжоу (2.1), отображениефакторизации → () , и квадрат декартов.Было доказано, что отображения : −1 (()) → () и : → ()конечны в общей точке (Предложения 4.3.4, 4.3.5).
Из этого, в частности, следует изогенность абсолютно трианалитического тора и прозвольной компоненты в −1 (()).Пусть ⊂ [] – абсолютно трианалитический торв обобщённом многообразии Куммера. Рассмотрим диаграммуПредложение 1.2.6.˜<> −1 (())><()где ˜ – расслоенное произведение и −1 (()). Тогда и любая компонента −1 (()) изогенные торы.Далее, используя теорию калибраций, были подсчитаны симплектический и кэлеров объёмы для исходного тора и для подтора −1 (()) в .
Отношения этих объёмов из-за гиперкэлерового условия должны бытьравны, однако, в нашем случае, это оказывается не так, что приводит к противоречию.11БлагодарностиАвтор выражает благодарность своему научному руководителю М. Вербицкому, без внимания и неоценимой помощи которого эта диссертация немогла быть написана. Также автор выражает благодарность за обсуждениярезультатов работы Ф.
Богомолову, С. Галкину, В. Жгуну, Д. Каледину, А.Солдатенкову.Работа была выполнена при поддержке Лаборатории АлгебраическойГеометрии и ее приложений НИУ-ВШЭ в рамках государственной поддержки ведущих университетов Российской Федерации “5-100” и гранта правительства РФ дог. 11.G34.31.0023, гранта РНФ (соглашение 14-21-00052 от11.08.14). Автор поддержан грантом Фонда Саймонса (2013), грантом “Молодая математика России” (2016) и грантом МК-1297.2014.1 (соисполнитель).Также автор признателен всем близким и друзьям за поддержку во время работы над диссертацией.121.3. Обозначения и сокращенияВ этой работе мы будем использовать следующие обозначения:Голоморфно симлектическая форма – Ω,Группа Пикара многообразия – Pic(),Дифференциал Дольбо – ,Класс Тода многообразия – Td( ),Обобщённое многообразие Куммера – ( ),Пространство Тейхмюллера – Teich,Симметрическая степень – Sym () или () ,Схема Гильберта точек для поверхности – Hilb () или [] ,Тензор кривизны – ,Числа Бетти, числа Черна – , соответственно.13Глава 2Предварительные сведенияЭта глава носит подготовительный характер.
В ней приведены необходимые определения и предварительные сведения о гиперкэлеровых многообразиях и их когомологиях, абсолютно трианалитических подмногоообразиях,инвариантах Розанского-Виттена.2.1. Гиперкэлеровые многообразия и их примерыОпределения и примерыВ дальнейшем мы будем всегда рассматривать дифференцируемые многообразия без края, класса ∞ .Определение 2.1.1. Гиперкэлеровым многообразием называется риманново многоообразие (, ) с тройкой согласованных с метрикой комплексныхструктур , и , удовлетворяющих следующим свойствам:(i) метрика на кэлерова для этих комплексных структур,(ii) для эндоморфизмов , и вещественного касательного расслоениявыполнено ∘ = − ∘ = , 2 = 2 = 2 = −1.Любая тройка чисел , , ∈ R, удовлетворяющих 2 + 2 + 2 = 1, определяет оператор := + + , который удовлетворяет 2 = −1 и задаёт кэлерову структуру на (, ). Такую комплексную структуру называютиндуцированной гиперкэлеровой структурой.
Комплексные подмногообразия (, ) для разных (, , ) изучались в [V1], [V2].Также гиперкэлеровыми многообразиями называют те многообразия,группа голономии которых по классификации Берже ([Ber], [J]) лежит вSp(). В этом случае, на касательном пространстве имеется кватерионннаяструктура и естественно возникает тройка комлексных структур , , , удовлетворяющих всем необходимым свойствам [GHJ, Часть 1]. При этом, любоегиперкэлерово многообразие является также многообразием Калаби-Яу.14Другим, крайне близким объектом являются голоморфно-симплектические многообразия.
Зачастую эти понятия используют как синонимы.Определение 2.1.2. Многообразие называется голоморфно симплектическим, если это комплексное многообразие с замкнутой голоморфной2-формой Ω на , такой что Ω = Ω ∧ Ω ∧ ... ∧ Ω является нигде невырожденным сечением канонического класса многообразия , где 2 = dimC ( ).Пусть (, , , ) – гиперкэлерово многообразие и пусть , , –соответствующие кэлеровы формы, определяемые следующим образом: = (, ),где = , , .Простое алгебраическое вычисление ([Bes]) показывает, что формаΩ = +√−1(2.1.1)имеет тип (2, 0).
Посколько она замкнута, то она также и голоморфна. Дей¯ = 0, т.е. Ω голоморфна.ствительно, из замкнутости следует, что Ω = ΩБолее того, эта форма, как легко видеть, нигде невырожденна. Она называется голоморфно симплектической формой многообразия . Таким образом, соответствующее комплексное многообразие (, ) является голоморфно симплектическим для данного гиперкэлерового и индуцированной комплексной структуры . Гиперкэлерова структура на компактном комплексном многообразии существует тогда и только тогда, когда оно кэлерово иголоморфно симплектическое.([Bea2], [Bes, Chapter 11]) Пусть – это компактное голоморфно симплектическое кэлерово многообразие с голоморфно симплектической формой Ω, кэлеров классом [] ∈ 1,1 ( ) и комплексной структуройRR .
Пусть = dimC . Предположим, что = (ℜΩ) . Тогда существует единственная гиперкэлерова структура (, , , (·, ·)) на , такаячто класс когомологий формы = (·, ·) равен [] и каноническая симплек√тическая форма + −1 совпадает Ω.Теорема 2.1.3.15Это утверждение является следствием теоремы Калаби-Яу.(Теорема Калаби-Яу). ([Y], [GHJ, Chapter 1]) Пусть (, )– компактное комплексное многообразие и – кэлерова метрика на скэлеровой формой . Предположим, что ′ – вещественная, замкнутая(1,1)-форма на , такая что [′ ] = 21 ( ). Тогда существует единственная кэлерова метрика ′ на с кэлеровой формой ′ , такая что[ ′ ] = [] ∈ 2 (, R) и формой Риччи ′ , равной ′ .Теорема 2.1.4Определение 2.1.5. Компактное гиперкэлерово многообразие называется простым, или неприводимым голоморфно симплектическим или2,0максимальной голономии, если 1 ( ) = 0, ( ) = C.Этот класс многообразий особенно важен, поскольку, оказывается, чтовсе компактные гиперкэлеровые многообразия накрываются простыми.(теорема Богомолова о разложении, [B]).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
