Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1137339), страница 7

Файл №1137339 Диссертация (Числа Бетти и трианалитические подмногообразия гиперкэлеровых многообразий) 7 страницаДиссертация (1137339) страница 72019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

В размерности восемь ситуация сложнее, поскольку чис­ла Черна неоднозначно выражаются через [S]. Однако, неравенство 3.2.4остаётся верным и в больших размерностях.453.4. Применения Основного неравества3.4.1. Размерность четыреВ размерности четыре лемма 3.2.5 даёт в точности результат Гуана [Gu].При этом можно заметить, что 3.1.3 эквивалентно неравенству 3.2.4, посколь­ку инварианты Розанского-Виттена в этом случае выражаются в терминахвторого класса Черна.Действительно, воспользуемся теми же формулами (3.3.3 и 3.3.1) дляΘ2 и Θ2 и получим(︀)︀492 + 1 > (2 + 2) 60 + 1 .Первое число Хирцебруха 1 можно легко вычслить, в результате полу­чаем3− 22 + 4.2Тем самым, мы получаем одно из утверждений теоремы Гуана (3.1), что1 =3 ≤4(23 − 2 )(8 − 2 )(2 + 1).3.4.2.

Случай шестимерного О’ГрэдиКак показали О’Грэди и Рапаньетта ([O1, R]) второе число Бетти длямногообразия О’Грэди 6 равно восьми, а константа Фуджики равна 4 ([R]).Также Рапаньетте удалось вычислить эйлерову характеристику, она равна1920 ([R]).В своей работе ([R]) Рапаньетта использовал бирациональную симплек­тическую инволюцию схемы Гильберта трёх точек, которую также рассматри­вали Монгарди и Вандель в недавней работе про автоморфизмы, тривиальнодействующие на вторых когомологиях ([MW]). В частности, из их результа­тов следует, что нечётные числа Бетти равны нулю.Пусть является шестимерным гиперкэлеровыммногообразием с 2 = 8 и ( ) = 1920.

Тогда возможны следующие вариан­ты в зависимости от делимости 5 на 8:Предложение 3.4.1.∙ Если 5 = 8, то 3 = 4 , где ∈ [0, ] и 4 = 199 + 2 + 9 ,6 = 1504 + 12 − 10 , ℎ2,2 6 173 + 2 + ,46∙ Если 5 = 8 + 4, то 3 = 4 , где ∈ [0, ] и 4 = 200 + 2 + 9 ,6 = 1510 + 12 − 10 , ℎ2,2 6 174 + 2 + .∙ Если 5 = 0 (3 = 0 также), то 4 = 199, 6 = 1504, ℎ2,2 6 173 (случаймногообразия 6 ).Доказательство. Воспользуемся основным неравенством 3.3.4 и неравен­ством Саламона 2.4.3, а также вложением Sym3 ( 2 ( )) в 6 ( ) (2.4.4):97 +37195 233822 − 10302 + 75723 − 4 − + ℎ2,2 622222 + 1963 + 32 + 322 + 22 6 420 + 1802 + 364гдевовторомнеравенствемывоспользовалисьвложениемSym3 ( 2 ( )) ˓→ 6 ( ).Используя неравенство Саламона и эйлерову характеристику мнообра­зия О’Грэди 6 (2 = 8, = 1920), получаем1920 = 2 + 2 · 8 − 23 + 24 − 25 + 6 ,6 + 163 = 64 + 310,Дальше оставшееся утверждение про ℎ2,2 легко следует из 3.3.4.Замечание 3.4.2.

Недавно Монгарди, Рапаньетта и Сакка ([MRS]) удалосьопределить числа Ходжа для 6 . В своей работе они воспользовались ужеупомянутой инволюцией и подсчитали числа Ходжа для 6 :471010101017301730110006126000012114412000117317310601206010101001В случае шестимерного многообразия О’Грэди 6 неравенство 3.3.4 об­ращается в равенство.3.4.3. Шестимерные гиперкэлеровые многообразия⨁︀4Согласно 2.4.4 и [LL]=0 (, C) раскладывается в сумму неприво­димых представлений so(2 + 2, C) в соответствии с действием этой алгебрыЛи.При этом ромб Ходжа является проекцией на плоскость решётки весовso(2 + 2, C) [LL]. Положительные веса могут быть выбраны так, что доми­нантная клетка Вейля проецируется в октант ромба Ходжа.Случай размерности шесть изучен Сейвоном в [S-b2].

Он доказал следу­ющуюПусть – простое гиперкэлерово многообразие размерно­сти шесть, тогда 2 ( ) ≤ 23.Теорема 3.4.3.Доказательство следует из равенства Саламона 2.4.3 и соотношений начисла Бетти, получаемых из разбиения ромба Ходжа на неприводимые пред­ставления алгебры Ли so(2 +2).

Напомним, что в зависимости от чётности 2алгебра Ли so(2 + 2) имеет тип или . И, соответственно, имеется 2 + 248фундаментальных представления вида Λ C2 +2 , а также спинорные представ­ления. Остальные неприводимые представления – подмодули в тензорныхпроизведениях фундаментальных.Рассмотрим подробнее строение ромба Ходжа шестимерных гиперкэле­ровых многообразий, чтобы получить ограничения на числа Бетти из нера­венства 3.3.4.Положительные веса соответствуют элементам ромба Ходжа, при этомнеприводимое представление со старшим вектором 1 ∈ 0 (, C) в точностиподкольцо в кольце когомологий, порождённое 2 (, C). Напомним, что4 4 ( ) = Sym 2 ( ) ⊕ ( ).Соответственно, элементы из примитивной части четвёртых когомоло­3,12,2гий, лежащие в ( ) и ( ) также задают неприводимые модули.Таким образом, мы имеем следующие неприводимые модули∙ 1 , порождённое элементами 2,1 ( ) – спинорное представление,∙ 2 , порождённое элементами 3,1 ( ) – Λ2 C2 +2 размерности (2 +2)(2 +1)/2,∙ 3 , порождённое элементами 2,2 ( ) – C2 +2 размерности 2 + 2,∙ 4 , порождённое элементами 3,2 ( ) – спинорное представление,∙ 5 , порождённое элементами 3,3 ( ) – тривиальное размерности 1,Более того 2 сидит в ромбе Ходжа следующим образом (2 ):00000000000100000100022 −52 +102000490000000010000002 − 22 − 20012 − 22 − 200,А 3 сидит в ромбе Ходжа следующим образом (3 ):00000000000000000100000000000012 − 200000011000000000Таким образом, можно ролучить выражения для чисел Бетти 4 и 6 втерминах 2 ([S-b2]):(︂6 =)︂(︂ 2)︂(︂)︂2 + 22 − 2 + 22 + 1++ 2 + , 4 =+ 2 + .

(3.4.1)322где – кратность вхождения представления 2 в разложение когомоло­гий на неприводимые so(2 + 2, C)-модули, а – представления 3 .Равенство Саламона в случае шестимерных гиперкэлеровых многообра­зий принимает вид:184 − 483 + 902 + 210 = 36 .Подставляя в это равенство формулы 3.4.1, можно получить, что 2 ≤23.

А используя 3.3.3, мы можем доказать и следующую теорему.Теорема 3.4.4.Пусть – гиперкэлерово многообразие размерности шестьс 5 = 0. Тогда(1) Если 2 = 23, то возможны следующие комбинации чисел Бетти504 299 276 + 6 2554 2422 + 6где – от 0 до 10.(2) Равенство в 3.3.4 возможно при следующих значениях 2 –3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 15, 17, 19, 23.Доказательство.

Подставляя 3.4.1 в неравенство 3.3.4, получаем:(222(3822 − 10302 + 7572)− 222 + 23) + 2 + (22 − 23) + 97 ≤2 + 1(3.4.2)Если 2 = 23, то получаем2 + 23 ≤ 23,поскольку числа , – целые, то отсюда следует (1).Чтобы получить (2) достаточно заметить, что левая часть 3.4.2 всегдацелая, при равенстве правая часть тоже должна быть целой, это возможно,только при приведённых значениях 2 .3.5. Ограничения на2в размерностях восемь и десятьЧтобы найти ограничения в размерностях восемь и десять мы исполь­зуем метод, описанный Сейвоном [S-b2].

Действительно, как мы уже знаем,so(2 + 2, C) действует на когомологиях.Пусть – восьмимерное простое гиперкэлерово многооб­разие с 2+1 (, C) = 0. Тогда 2 6 24.Теорема 3.5.1.Замечание 3.5.2. Из 2+1 (, C) = 0 следует, что зануляются все нечётныечисла Бетти.Доказательство. Также как и в размерности четыре и шесть, выразим 4 , 6 ,и 8 в терминах 2 и кратности других представлений.Рассмотрим действие so(2 + 2, C) на комплексных когомологиях много­3,1образия . Элемент ( ) порождает неприводимый so(2 + 2, C)-модуль( +2)( +1)2. В ромб Ходжа он входит какразмерности 2 6 2510000000000000ℎ2 −ℎ+42h000010001000ℎ00000100010000ℎ000ℎ2 −ℎ+42ℎ0010ℎ2 −ℎ+4200ℎℎ3 −3ℎ2 −10ℎ−606ℎ000ℎ2 −ℎ+42ℎ01010ℎ000100000000Аналогично, мы имеем неприводимый so(2 + 2, C)-модуль, задаваемый2,2, которые не лежат в модуле, порождённом вторыми ко­теми элементами 3,1гомологиями, и в модулях, порождённых элементами из .

В ромб Ходжаон входит следующим образом000000000000001000000000000000001100000000ℎ1000ℎ2 −ℎ−4201ℎ000ℎℎ0000011100000000000000000Напомним, что 4 =3,1происходит из .(2 +1)222,2+ 2 + , где – та часть , которая не52Таким образом первый модуль даёт вклад в 8 ( ))︂(︂ 3)︂ℎ3 + 3ℎ2 − 4ℎ − 362 − 322 − 42 − 24=,66(︁ 2)︁(︁ 2 )︁(︁ 2)︁2 −2 −2ℎ −ℎ−4ℎ +3ℎвторой – + 2ℎ + 2 = =.222(︂Ясно, что в 8 ( ) есть элементы, которые приходят из тойчасти 6 ( ), которая не задаётся элементами Sym3 2 и двумя2,23,1.и so (2 + 2, C)-модулями, порождёнными элементами из (︂ 2)︂(2 + 2) (2 + 1) 22 − 2 + 26 =++ 2 + 623,3части задаёт so (2 + 2, C)-модуль размерностиКаждый элемент из (2 + 2). Это даёт в 8 следующий вклад (2 ).Таким образом, для 8 имеем(2 + 3) (2 + 2) (2 + 1) 28 >+24(︂32 − 322 − 42 − 246)︂(︂+22 − 2 − 22)︂+ 2Из соотношения Саламона (2.4.3) следует, что(︂22 − 2 + 22)︂(2 + 1) 2+ 2 + ++ 82 + 8 + 442+1042 + 188 + 7 − 713 − 235 >(︂ 3)︂(︂ 2)︂2(2 + 3) (2 + 2) (2 + 1) 22 − 32 − 42 − 242 − 2 − 2+ 2+ 2+ 22>22462(2 + 2) (2 + 1) 2+ 88·6)︂(︂Преобразуем, перенеся все члены, возникающие из симметрических степенейналево, всё остальное, кроме 7 налево:−2(︂)︂(2 + 2) (2 + 1) 2(2 + 1) 2(2 + 3) (2 + 2) (2 + 1) 2+8·+ 44+ 1042 + 188 + 7 >2462(︂ 3)︂(︀)︀ − 1522 − 1242 − 48> 2+ 22 − 92 − 46 + 2 (2 − 4) + 713 + 2353Левая часть−42 +1032 +30122 +5302 +225612+ 7 .Все нечётные числа Бетти нулевые, поэтому левая часть неотрицательна2 > 24, а правая часть положительна.53Замечание 3.5.3.

Характеристики

Список файлов диссертации

Числа Бетти и трианалитические подмногообразия гиперкэлеровых многообразий
Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6381
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее