Диссертация (1137339), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Вектором Мукаи называется элемент˜ 1,1 (), где ≥ 0 и эффективен, если = 0.Z21v= + + ∈Обозначим через ℳ ( ) = – полустабильный пучок, т.ч. ( ()) = () пространство модулей полустабильных пучков с фиксированным мно˜ 1,1 – вектор Мукаи, тогда многочлен Гильгочленом Гильберта. Пусть ∈ берта ( ()) пучков , таких что ( ) = , независит от .
Пусть ℳ ()– пространство модулей пучков с фиксированным вектором Мукаиℳ () := | | ∈ ℳ ( )|( ) = .Тогда () открыто и замкнуто в ( ).Все известные примеры простых гиперкэлеровых многообразий могутбыть получены как пространства модулей полустабильных пучков с определёнными свойствами [GS, O3, Mu].В частности,(Мукаи, Гётше, Хойбрехтс, О’Грэди, Ёшиока). Пусть –проективная 3 поверхность.
Пусть – вектор Мукаи, предположим, чтовектор Мукаи неделим, что −2 ≤ (, ), и, что (, ) ̸= (0, 0). Тогда ℳ ()деформационна эквивалентна схеме Гильберта точек над , где 2 =2 + (, ).Теорема 2.1.15Приведенная конструкция, как показали Каледин, Лен и Зоргер [KLS,Theorem B] чаще всего не имеет симплектического разрешения особенностей.Если либо ≥ 2 и ⟨0 , 0 ⟩ > 2, либо > 2 и ⟨0 , 0 ⟩ ≥ 2,то 0 локально факториальное сингулярное симплектическое многообразие. В частности, 0 не допускает симплектического разрешения особенностей.Теорема 2.1.16.Теоремы Хойбрехтса о конечностиВозвращаясь к гипотезе Бовиля (2.1.11) отметим, что Хойбрехтсу ([H1])удалось получить следующий результат, используя теорему конечности Коллара-Матсусаки [KM].Если заданы вторые целочисленные когомологии и однородный многочлен степени 2 − 2 на 2 (Z), определённый первым классомТеорема 2.1.17.22Понтрягина, то существует конечно число типов компактных гиперкэлеровых многообразий с точностью до диффеоморфизма, имеющих даннуюструктуру.Также Хойбрехтс показал, что, если фиксировать форму БогомоловаБовиля-Фуджики, равносильно тому, чтобы фиксировать класс Понтрягина([H1]).Более того, если задана диффеоморфная структура на гиперкэлеровом , то также возможно конечное число деформационных типов гиперкэлеровых метрик на .([H1]).
Пусть – компактное многообразие. Тогда существует конечное число деформационных типов голоморфно симплектических комплексных структур на .Теорема 2.1.18Используя инварианты Розанского-Виттена (см. раздел 2.3, [HS]) и результаты Нипер-Вайскирхен [N-W], Хойбрехтс доказал следующую теорему.Пусть (Λ, Λ ) – решётка.
Тогда существует толькоконечное число деформационных типов неприводимых голоморфно симплектических многообразий фиксированной размерности 2, таких что( 2 (, Z, ) изоморфна (Λ, Λ ), где – форма ББФ.Теорема2.1.19.2.2. Абсолютно трианалитические подмногообразияВ этом разделе мы определим один из из основных объектов диссертации – абсолютно трианалитические подмногообразия. Подробнее их примерыбудут рассмотрены в разделе 4.1.Определение 2.2.1. Замкнутое подмножество гиперкэлерового многообразия называется трианалитическим, если оно является комплексно-аналитическим по отношению к комплексным структурам , , .23Особенности трианалитических подмногообразий всегда допускают гиперкэлерово разрешение.[V5, Theorem 6.2.] Пусть является гиперкэлеровым многообразием, ⊂ – трианалитическое подмногообразие и – индуцированная комплексная структура.
Рассмотрим нормализациюТеорема 2.2.2.^(,) → (, )^^для (, ). Тогда (,) гладкое, и отображение (,) → является вло^жением, и индуцирует гиперкэлерову структуру на (,).(эквивалентная 2.1.3)Пусть – гиперкэлерово многообразие. Тогда существует единственнаягиперкэлерова метрика в данном кэлеровом классе.Теорема 2.2.3.Определение 2.2.4. Пусть (, , , )является компактным голоморфно симплектическим кэлеровым многообразием и ⊂ (, ) комплексное подмногообразие, которое является трианалитическим по отношению к любой гиперкэлеровой структуре, совместимой с .
Тогда называется абсолютнотрианалитическим подмногообразием.([SV]). Для любых гиперкэлеровых многообразий , ′ в одном деформационном классе существует диффеоморфизм, который отправляет абсолютно трианалитические подмногообразия в абсолютно трианалитические.Теорема 2.2.5Определение 2.2.6. Гиперкэлерово многообразие называется общим, если всеего подмногообразия абсолютно трианалитические.24Замечание 2.2.7. Общая деформация гиперкэлерового многообразия является общей в смысле определения 2.2.6 ([KV-book, Предложение 2.14]).([V2]) Пусть – гиперкэлерово многообразие, его твисторное семейство (см.
2.1.8). Тогда существует счётное подмножество1 ⊂ , такое что для любой комплексной структуры ∈ ∖1 , все компактные комплексные подмногообразия (, ) трианалитические.Теорема 2.2.8.Определение 2.2.9. Для данной комплексной структуры рассмотрим√оператор Вейля , действующий на (, )-формах как−1( − ).Пусть (, ) – наименьшая рациональная алгебраическая подгруппав Aut( * (, R), содержащая . Эта группа называется группой Мамфорда-Тейта для (, ). Группа, порождённая (, ) для всех комплексных структур из связной компоненты деформационного пространства,называется максимальной группой Мамфорда-Тейта для ([Del]).Оказывается, что как функция ⊂ Teich в топологии Зарисского дляTeich группа Мамфорда-Тейта для (, ) является полунепрерывной снизуфункцией ([Del]).
Тем самым, () постоянна вне счётного числа комплексных подмногообразий положительной коразмерности. Мы будем говорить,что ∈ Teich общая по Мамфорду-Тейту, если () максимальна.Если многообразие имеет максимальную голономию, то максимальнаягруппа Мамфорда-Тейта изоморфна Spin( 2 (, R), ) ([KV-book]). Любаякомплексная структура ∈ Teich за исключением счётного числа подмногообразий положительной коразмерности является общей по Мамфорду-Тейту.Замечание 2.2.10.
Пусть – комплексная структура общая по МамфордуТейту и целый (, )-класс. Тогда имеет тип (, ) для любой деформации.Абсолютно трианалитические многообразия могут быть охарактеризованы в терминах группы Мамфорда-Тейта. Ниже в разделе 4.2 мы рассмотримих ещё и как калибровочные многообразия.25Пусть (, , , ) – это гиперкэлерово многообразие, и ⊂ (, ) комплексное подмногообразие. Тогда является абсолютно трианалитическим подмногообразием тогда и только тогда, когдаего фундаментальный класс -инвариантен, где – максимальная группаМамфорда-Тейта для .
В частности, является абсолютно трианалитическим, если (, ) общее по Мамфорду-Тейту.Предложение 2.2.11.Доказательство. Утверждение следует из определений и Утверждения ([V6,Утверждение 4.4]).Как мы уже отмечали, множество абсолютно трианалитических подмногообразий не зависит от выбранной комплексной структуры внутри твисторного семейства в пределах одной компоненты пространства Тейхмюллера.Теорема 2.2.5 тогда будет звучать, какПусть 1 , 2 ∈ Teich – точки в одной связной компоненте пространства Тейхмюллера.
Тогда существует диффеоморфизм :(, 1 ) → (, 2 ), такой что любое абсолютно трианалитическое подмногообразие ⊂ (, 1 ) отображается в абсолютно трианалитическое подмногообрази () ⊂ (, 2 ).Теорема 2.2.12.Доказательство основано на том, что любые две структуры в пределаходной компоненты связности в пространстве Тейхмюллера Teich можно соединить последовательностью твисторных семейств ([V8]).2.3. Инварианты Розанского-ВиттенаОпределим инварианты Розанского-Виттена [RW], следуя Хитчину иСейвону [HS, S]. Напомним, что согласно классификации Берже [Ber] группа голономии гиперкэлеровых многообразий является подгруппой Sp().
Мыбудем рассматривать простые гиперкэлеровы многообразия (2.1.5), т.е. имеющие максимальную голономию.26Пусть – простое гиперкэлеровое многообразие. Тензор кривизны можно рассматривать как сечение ∈ Ω1,1 (End ). В локальных координатахтензор кривизны имеет вид ¯ . Поскольку, Ω индуцирует гомоморфизм → Ω и она везде невырожденна, то этот гомоморфизм биективен.Значит, касательное и кокасательное расслоения неприводимого голоморфно симплектического многообразия изоморфны. Используя голоморфно симплектическую 2-форму Ω, мы отождествляем касательное и кокасательноерасслоения и опускаем первый индекс, получая новую формуΦ ∈ Ω1,1 ( * ⊗ * ) = Ω0,1 ( * ⊗ * ⊗ * ),где * обозначает кокасательное расслоение многообразия , по формулеΦ¯ =∑︁Ω ¯ .Замечание 2.3.1.
Тензор Φ¯ симметричен по индексам , , поскольку связность без кручения и сохраняет комплексную структуру. Так как кривизнапринимает значения в алгебре Ли Sp(2, C) и состоит из матриц вида , где∑︀ = Ω и симметричные, поэтому тензор Φ¯ также симметриченпо индексам , . Значит, Φ ∈ Ω0,1 (Sym3 * ).Пусть Γ – тривалентный граф с 2 вершинами и без петель.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
