Лекции Капустина (1134955), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Функция 2 (, ) интегрируема на Π, поэтому в силу теоремы Фубини функция∫︀ 2 (, ) интегрируема по на [, ]. Значит, и функция 2 () являетсяинтегрируемой по на [, ], причём справедливо неравенство⎛⎞∫︁∫︁ ∫︁∫︁⎝ 2 (, ) 2 ()⎠ . 2 () 661Оценим теперь (, ):(, ) =⎛∫︁⎡∫︁(, )() − ⎣⎜=⎝⎤2∫︁⎞ 21⎟(, )()⎦ ⎠ =⎛ ⎡⎤2 ⎞ 12∫︁ ∫︁⎟⎜= || ⎝ ⎣ (, )[() − ()]⎦ ⎠ 6⎡⎤⎡ ⎤ ⎞ 12∫︁∫︁ ∫︁6 || ⎝ ⎣ 2 (, )⎦ ⎣ [() − ()]2 ⎦ ⎠ =⎛⎛∫︁= || ⎝∫︁⎞ 21 ⎛ 2 (, )⎠ ⎝∫︁⎞ 12[() − ()]2 ⎠ =⎛∫︁= || ⎝∫︁⎞ 12 2 (, )⎠ (, ).Таким образом, при|| < (︂∫︀1∫︀)︂ 212 (, )мы находимся в условиях применимости принципа сжимающих отображений, то есть у оператора существует единственная неподвижнаяточка. А это и означает существование и единственность решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода.

Задача. Рассмотрим в произвольном метрическом пространстве оператор : : → , (, ) < (, ).Можно ли обобщить теорему о неподвижной точке (другими словами, влюбых ли метрических пространствах оператор имеет неподвижнуюточку)?[Правильный ответ — нет]Пример: = (0, 1) ∪ (1, ∞), () = 1 .62Перейдём к рассмотрению нормированных пространств.Линейным многообразием в линейном пространстве называетсянепустое подмножество пространства , обладающее тем свойством, чтодля любых элементов , ∈ их линейная комбинация + такжепринадлежит .Определение 4. Линейное многообразие в нормированном пространстве называется подпространством, если оно замкнуто относительносходимости по норме.Теорема 4 (теорема Рисса). Пусть — подпространство в нормированном пространстве , не совпадающее с .

Тогда для любого ∈ (0, 1) найдётся элемент ∈ ∖ , ‖‖ = 1 и такой, что ∀ ∈ ‖ − ‖ > 1 − .Доказательство. Выберем произвольный элемент 0 ∈ ∖ ( ∖ ̸=∅, так как — подпространство , не совпадающее с ). Рассмотримвеличину = inf ‖ − 0 ‖.∈От противного доказывается, что > 0 (если бы равнялось нулю, тосуществовала бы последовательность { }, ∈ , сходящаяся к 0 ∈/ ;тем самым нарушалась бы замкнутость относительно сходимости по норме).Таким образом, для любого > 0 найдётся элемент 0 ∈ такой,0 − 0.что 0 < 6 ‖0 − 0 ‖ < + .

Тогда выберем элемент =‖0 − 0 ‖Очевидно, что ‖‖ = 1. То, что ∈/ , доказывается от противного (еслибы принадлежал , то и элемент ‖0 − 0 ‖ + 0 = 0 принадлежал бы, а этого быть не может). Проверим, что он удовлетворяет требуемомунеравенству (учитывая, что 0 − ‖0 − 0 ‖ ∈ ):⃦⃦⃦0 − 0 ⃦⃦=⃦‖ − ‖ = ⃦ −‖0 − 0 ‖ ⃦‖0 − (0 − ‖0 − 0 ‖)‖=>=‖0 − 0 ‖ + 1=> 1 − . 1+63§7. Линейные операторыОпределение 1.

Оператор , действующий из линейного нормированного пространства в линейное нормированное пространство над одним и тем же полем чисел (R или C), называется линейным оператором,если1. ∀1 , 2 ∈ (1 + 2 ) = 1 + 2 ;2. ∀ ∈ , ∀ ∈ R ( ∈ C) = 1 .Эквивалентное условие.∀1 , 2 ∈ , , ∈ R (, ∈ C) (1 + 2 ) = 1 + 2Определение 2. Оператор : → называется непрерывным вточке x, если из сходимости по норме последовательности { } к впространстве следует сходимость по норме последовательности { }к в пространстве .Определение 3. Оператор : → называется непрерывным (вовсем пространстве), если он непрерывен в каждой точке.Теорема 1.

Для того, чтобы линейный оператор был непрерывным,необходимо и достаточно, чтобы он был непрерывен хотя бы в одной точке.Доказательство. Необходимость очевидна; докажем достаточность. Пустьв некоторой точке 0 ∈ оператор непрерывен: → 0 ⇒ →0 . Пусть теперь — произвольная точка пространства и → .Тогда − + 0 → 0 , поэтому в силу непрерывности оператора вточке 0( − + 0 ) = − + 0 → 0 .Из этого следует, что → .Пример. (стрёмные примеры какие-то. Лень разбираться, нокажется автор неправ) // !!! Рассмотрим линейное пространствонепрерывных на сегменте [0; 1] функций и оператор () = (0) на нём.1.

Сначала введем метрику [0; 1] : ‖ ()‖ = max | ()|. В этой мет∈[0,1]рике оператор будет являться непрерывным, так как он непрерывен в нуле: если ‖ () − 0‖ → 0, то ‖ () − 0‖ = ‖ ()‖ → 0.642. Теперь введём метрику 1 ([0, 1]) : ‖ ()‖ =∫︀1| ()|. Здесь непре-0рывности уже не будет. Например, возьмём последовательностьфункций следующего вида:⎧⎪если = 0⎨,3 () = − 2 + если ∈ (0; 22 )⎪⎩0,если ∈ [ 22 , 1])Тогда в нуле получаем ‖ () − 0‖ = ‖ ()‖ → 0, но при этом‖ () − 0‖ = ‖ (0) − 0‖ = ̸→ 0.Определение 4. Оператор : → называется ограниченным, если найдётся константа такая, что для всех ∈ будет справедливонеравенство ‖‖ 6 ‖‖ . При этом минимальная из таких констант.называется нормой оператора : ‖‖ ≡ = sup ‖‖‖‖̸=0Теорема 2. Для того, чтобы линейный оператор был непрерывным,необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен.Доказательство.

Сначала докажем необходимость. Пусть оператор непрерывен. Предположим, что он не ограничен (то есть "универсальной"константы не существует). Тогда найдётся последовательностьэлементов { } такая, что ‖ ‖ > ‖ ‖. Введём в рассмотрение элементы. =‖ ‖Тогда‖ ‖1‖ ‖ == → 0 при → ∞.‖ ‖С другой стороны,‖ ‖ =‖ ‖‖ ‖>= 1 ̸→ 0 = ‖0‖.‖ ‖‖ ‖Мы получили противоречие ({ } → 0, но { } ̸→ 0); следовательно,наше предположение неверно и оператор является ограниченным.Теперь докажем достаточность. Пусть линейный оператор ограничен, то есть существует константа такая, что для всех справедливо‖‖ 6 ‖‖.

Пусть → при → ∞, то есть ‖ − ‖ → 0 при → ∞. Но тогда‖ − ‖ = ‖( − )‖ 6 ‖ − ‖ → 0 при → ∞,65то есть оператор является непрерывным.В дальнейшем будем рассмаривать ограниченные операторы.Определение. Нормой оператора называется наименьшая из таких ограничивающих констант : ‖‖ =inf. :‖‖6 ‖‖,∀∈‖‖, ‖‖ = sup ‖‖.‖‖̸=0 ‖‖‖‖61Эквивалентные определения ‖‖ = sup‖‖очевидно следует из определения‖‖̸=0 ‖‖=inf.Доказательство: ‖‖ = sup‖‖ =inf :‖‖6 ‖‖,∀∈:‖‖6,∀∈‖‖Покажем, что ‖‖ = sup ‖‖‖‖61Действительно, если ‖‖ 6 1, то‖‖ 6 ‖‖‖‖ 6 ‖‖,поэтому иsup ‖‖ 6 ‖‖.‖‖61С другой стороны, для любого > 0 существует элемент такой, что‖ ‖ > (‖‖ − )‖ ‖.(рассматриваем случай ‖‖ ≠ 0, ‖ ‖ ≠ 0). Возьмём =.‖ ‖Тогда‖ ‖ =‖ ‖(‖‖ − )‖ ‖>= ‖‖ − .‖ ‖‖ ‖Так как ‖ ‖ = 1, тоsup ‖‖ > ‖ ‖ > ‖‖ − ,‖‖61поэтому sup ‖‖ > ‖‖. Но перед этим мы получили неравенство‖‖61sup ‖‖ 6 ‖‖. Эти два неравенства означают, что на самом деле‖‖61sup ‖‖ = ‖‖.‖‖6166Утверждение.

Пусть даны два линейных нормированных пространства, и . Тогда совокупность всех линейных ограниченных (// !!!)операторов, действующих из в (будем обозначать её ( → ))образует линейное нормированное пространство.Доказательство. Линейность этого пространства очевидна (в качественулевого элемента выбирается нулевой оператор). Покажем, что выполняются аксиомы нормированного пространства. ‖‖ = sup ‖‖ > 0;‖‖61Если ‖‖ = 0, то ‖‖ = 0 для всех таких, что ‖‖ 6 1.

Но тогда = 0 и для всех , и, следовательно, = 0. Получили, что перваяаксиома выполняется.‖‖ = sup ‖‖ = || sup ‖‖ = ||‖‖,‖‖61‖‖61то есть вторая аксиома также выполняется.‖ + ‖ = sup ‖ + ‖ 6 sup ‖‖ + sup ‖‖ = ‖‖ + ‖‖.‖‖61‖‖61‖‖61Таким образом, выполняется и третья аксиома, то есть пространство является нормированным. // !!! Здесь стремные примеры.Теорема 3.

Пусть — линейное нормированное пространство, —банахово пространство. Тогда ( → ) — банахово пространство.Доказательство. Пусть дана фундаментальная последовательность линейных ограниченных (// !!!) операторов { }:‖ − ‖ → 0 при , → ∞.Тогда для любого ‖ − ‖ 6 ‖ − ‖‖‖ → 0 при , → ∞.Следовательно, при каждом фиксированном последовательность { }является фундаментальной; в силу полноты пространства это означает, что { } имеет некоторый предел ∈ .

Таким образом, каждомуэлементу ∈ ставится в соответствие элемент ∈ , то есть задаётсянекоторый оператор : → .Докажем его ограниченность. По условию ‖ − ‖ → 0 при , →∞; значит,|‖ ‖ − ‖ ‖| 6 ‖ − ‖ → 0 при , → ∞,67то есть числовая последовательность {‖ ‖} фундаментальна, а поэтомуи ограничена. Значит, существует такая константа , что ‖ ‖ 6 длявсех . Следовательно, для всех справедливо и неравенство ‖ ‖ 6‖ ‖‖‖ 6 ‖‖.

Получаем, что‖‖ = lim ‖ ‖ 6 ‖‖.→∞А это как раз и означает, что оператор является ограниченным. Кроме того, оператор , очевидно, линеен. Таким образом, принадлежитрассматриваемому пространству линейных ограниченных операторов.Далее, для любого > 0 найдётся номер такой, что∀ ∈ , ‖‖ 6 1 ‖ − ‖ 6 ‖ − ‖‖‖ < , > 0; , > .Переходя в этом неравенстве к пределу при → ∞, получаем, что∀ ∈ , ‖‖ 6 1, ∀ > ‖ − ‖ 6 .Но тогда для > ‖ − ‖ = sup ‖ − ‖ 6 .‖‖61Следовательно, линейный ограниченный оператор = lim в смысле→∞сходимости по норме в рассматриваемом пространстве линейных ограниченных операторов, поэтому это пространство является банаховым.

Определение. Пространство * = (, R) называется сопряженным для линейиного нормированного пространства .Следствие из теоремы 3. Пространство * , сопряжённое с линейным нормированным пространством , является банаховым пространством.Теорема 4 (теорема Банаха-Штейнгауза, принцип равномерной ограниченности). Пусть и — банаховы пространства, на которых задана последовательность линейных ограниченных операторов:{ } ∈ ( → ). Тогда, если последовательность {‖ ‖} ограниченадля любого ∈ , то последовательность норм операторов также будетограниченной, то есть найдётся константа такая, что ‖ ‖ 6 .Доказательство.

Предположим обратное. Тогда множество {‖ ‖} неограничено на любом замкнутом шаре. Действительно, если ‖ ‖ 6 68для всех и всех из некоторого замкнутого шара (0 , ), то для любого ∈ , ̸= 0, элемент·+ 0‖‖принадлежит этому шару и, следовательно, для него при всех выполняются неравенства ‖ ‖ 6 . Тогда⃦⃦⃦ ‖ ‖ · ⃦‖ ‖ · ⃦− ‖ 0 ‖ 6 ⃦+ 0 ⃦⃦ 6 .‖‖‖‖Отсюда получаем, что‖ ‖ 6 + ‖ 0 ‖‖‖.Последовательность ‖ ‖ ограничена, поэтому для всех будет справедливо неравенство ‖ ‖ 6 2‖‖. Но из него следует, что ‖ ‖ 6 2,что противоречит сделанному нами предположению.

Характеристики

Список файлов лекций