Лекции Капустина (1134955), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Таким образом, | () − ()| → 0 прито есть lim→∞ → 0 и → ∞. Из этого следует, что последовательность { ()} сходится к функции () в (). Следствие. Если последовательность измеримых на множестве функций { ()} сходится к функции () почти всюду на и существует интегрируемая на множестве функция () такая, что длявсех номеров и почти всех точек множества справедливо неравенство | ()| 6 (), то функция () суммируема на и справедливоравенство (**).Доказательство. Так как последовательность измеримых функций { ()}сходится к () почти всюду на , то в силу теоремы 4 параграфа 3функция () также будет измерима на . Следовательно, по теореме5 параграфа 3 из сходимости { ()} к () почти всюду на следует сходимость { ()} к () по мере на . Но тогда в силу теоремы 9функция () суммируема на , { ()} сходится к () по мере на и38выполняется требуемое равенство (**).Теорема 10 (теорема Леви).

Это теорема 8. Пусть { ()} последовательность измеримых и интегрируемых на множестве функций, и пусть для всех номеров и для почти всех точек множества справедливо неравенство () 6 +1 (). Пусть существует⃒⃒ константа⃒⃒∫︀⃒ такая, что для всех номеров справедливо неравенство ⃒ ()⃒⃒ 6 . Тогда для почти всех точек ∈ существует конечный пределlim () = (), причём предельная функция () суммируема на мно→∞жестве и справедливо равенство (**).Доказательство.

Не ограничивая общности, будем считать, что все () > 0 почти всюду на (в противном случае вместо функций ()можно рассматривать функции () = () − 1 (), которые по условию будут являться неотрицательными для почти всех точек ).Так как последовательность { ()} почти всюду на не убывает, топочти во всех точках определена предельная функция (), котораяпринимает в этих точках либо конечные значения, либо равна = ∞.

Еслимы докажем, что () интегрируема на , то из этого будет следовать,что () является конечной почти всюду на , а следовательно, почтивсюду на будет существовать конечный предел lim () = () и вы→∞полняться равенство (**).Итак, для доказательства теоремы достаточно установить интегрируемость предельной функции () на множестве .Заметим, что для любого > 0 последовательность {( ) ()} почтивсюду на сходится к функции ( ) (), причём для всех номеров ипочти всех точек справедливо неравенство ( ) () 6 ( ) ().

Крометого, функция ( ) () является измеримой и ограниченной, а следовательно, и интегрируемой на множестве . Поэтому применимо следствиеиз теоремы 9, в силу которого∫︁∫︁lim ( ) () = ( ) ().→∞Из этого соотношения и очевидного неравенства∫︁∫︁ () > ( ) ()39заключаем, что∫︁∫︁( ) (). () >lim→∞Кроме того, по условию существует такая константа , что для всехномеров ∫︁ () 6 .Следовательно, и∫︁( ) () 6 .Интеграл в левой части этого неравенства является неубывающим по ,поэтому существует конечный предел∫︁lim( ) () = (), →∞а это и означает, что функция () интегрируема на множестве .Следствие (формулировка теоремы Леви в терминах функциональных рядов).

Если каждая функция () неотрицательна почти всюду на множестве , измерима и интегрируема на этом множестве,и если сходится ряд∞ ∫︁∑︁ (),=1 то почти всюду на сходится ряд∞∑︁ (),=1причём сумма () этого ряда интегрируема на множестве и удовлетворяет условию∫︁∞ ∫︁∑︁() = ().=1 Теорема 11 (теорема Фату). Если последовательность измеримыхи интегрируемых на множестве функций { ()} сходится почти всюдуна к предельной функции () и если существует∫︀константа такая,что для всех номеров справедливо неравенство | ()| 6 , то40предельная функция ∫︀ () интегрируема на множестве и для неё справедливо неравенство | ()| 6 .Доказательство. Введём в рассмотрение функции () = inf | ()|.>Заметим, что последовательность { ()} является неубывающей и почти всюду на сходится к | ()|, а каждая функция () неотрицательна и является измеримой в силу теоремы 3 параграфа 3. Кроме того, для любого справедливо неравенство () 6 | ()|, из которогов силу теоремы 6 следует интегрируемость функций () на множестве.

Наконец, справедливо неравенство∫︁∫︁ () 6 | ()| 6 .Получаем, что к последовательности { ()} применима теорема 10. Следовательно, предельная функция | ()| интегрируема (откуда сразу следует интегрируемость функции ()) и выполняется равенство∫︁∫︁lim () = | ()|.→∞Так как для любого номера ∫︁ () 6 ,то верно и неравенство∫︁| ()| 6 .Таким образом, теорема полностью доказана.Теорема 12 (теорема Лебега). Пусть измеримое множество имеет конечную меру.

Для того, чтобы ограниченная функция () былаинтегрируема на множестве по Лебегу, необходимо и достаточно, чтобы она была измерима.Доказательство. Достаточность доказана в теореме 2. Докажем необходимость.41Пусть функция () ограничена и интегрируема по Лебегу на измеримом множестве . Следовательно, её верхний и нижний интегралыЛебега совпадают, а это значит, что существует последовательность раз()биений = { } множества такая, что соответствующие последовательности верхних { } и нижних { } сумм удовлетворяют условию(+1) − < 1 , причём каждое последующее разбиение +1 = {}()является измельчением предыдущего разбиения = { }.

(Для построения такой последовательности разбиений достаточно там, где этонеобходимо, брать произведение вводимых разбиений.)По определению =()∑︀()()() | |,где = sup ();=1 =()∑︀()()()() | |,где = inf ().()=1Определим две последовательности функций { ()} и { ()}, где()() () = на ,()() () = на .Для каждого номера обе функции () и () измеримы на множестве , так как они представляют собой линейные комбинации харак()теристических функций измеримых множеств .

Кроме того, последовательность { ()} не возрастает, а последовательность { ()} неубывает на множестве , причём для любого номера в каждой точкемножества справедливы неравенства () 6 () 6 ().Положим () = lim (), () = lim (),→∞→∞тогда в каждой точке множества () 6 () 6 ().Из теоремы 10 (Леви) получаем, что∫︁∫︁lim [ () − ()] = [ () − ()].→∞42С другой стороны, из определения функций () и () вытекает, что∫︁∫︁ () = , () = ,причём по построению lim ( − ) = 0.

Следовательно,→∞∫︁[ () − ()] = 0.Кроме того, функция [ () − ()] ограничена и измерима, а значит, иинтегрируема на множестве . Кроме того, эта функция ещё и неотрицательна, поэтому в силу теоремы 5 () − () = 0 почти всюду на .Следовательно, () = () = () почти всюду на , и поэтому из измеримости функций () и () вытекает измеримость функции ()на множестве . 4.4. Случай || = +∞Мы рассматриваем случай, когда множество имеет бесконечную меру,но может быть представлено в виде суммы счётного числа множеств конечной меры (в таком случае говорят, что мера множества является-конечной).Определение 1.

Говорят, что последовательность множеств { } исчерпывает множество с -конечной мерой, если для каждого номера∞⋃︀ | | < +∞, ⊂ +1 и = .=1Определение 2. Измеримая функция (), определённая на множестве с -конечной мерой, называется интегрируемой на , еслиона интегрируема на каждом измеримом подмножестве ⊂ конечной меры и если для каждой последовательности { }, исчерпывающеймножество , предел∫︁ = lim ()→∞существует и не зависит от выбора этой последовательности. Тогда называется интеграломЛебега от () по множеству и обозначается∫︀символом = ().43Теорема 1 (теорема Фубини). Пусть функция (, ) интегрируема на Π = {(, ) : 6 6 , 6 6 }. Тогда для почти всех ∈ [, ]∫︀∫︀существует (, ), для почти всех ∈ [, ] существует (, ) и∫︁∫︁ ∫︁ (, ) =Π∫︁∫︁ (, ) =∫︁ (, ).Замечание.

Обратное, вообще говоря, неверно.⎧⎨вне нуля2Пример — функция (, ) = ( + 2 )2на множе⎩0при = = 0стве = [−1; 1] × [−1; 1].§5. Пространство , > 1.Рассматриваем случай, когда — измеримое множество.Линейным (векторным пространством) над полем называется непустое множество , на котором введены следующие операции:1.

операция сложения: каждой паре элементов , множества ставится в соответствие элемент , обозначаемый + ;2. операция умножения на скаляр (элемен поля ): любому элементу ∈ и любому элементу ∈ ставится в соответствие элемент, обозначаемый .При этом должны выполняться следующие условия:1. + = + ∀, ∈ ;2. + ( + ) = ( + ) + ∀, , ∈ ;3. ∃ ∈ : + = ∀ ∈ ;4.

∀ ∈ ∃(−) ∈ : + (−) = ;5. () = () ∀ ∈ ;6. 1 · = ∀ ∈ ;447. ( + ) = + ∀ ∈ ;8. ( + ) = + ∀, ∈ .В дальнейшем будем рассматривать пространства над полем действительных чисел R.Линейное пространство называется нормированным, если любомуэлементу ∈ ставится в соответствие действительное число (называемое нормой этого элемента и обозначаемое символом ‖ ‖ ), и при этомвыполняются следующие условия (аксиомы):1.

∀ ∈ ‖ ‖ > 0,‖ ‖ = 0 ↔ = 0;2. ∀ ∈ , ∀ ∈ R ‖ · ‖ = ||‖ ‖;3. ∀, ∈ ‖ + ‖ 6 ‖ ‖ + ‖‖.Определение 1. Говорят, что функция () принадлежит пространству (), если () измерима на множестве , а функция | ()| интегрируема на .Введём в пространстве () норму с помощью следующим образом:⎛⎞ 1∫︁‖ ‖ () = ‖ ‖ = ⎝ | ()| ⎠ .Линейность этого пространства очевидна; докажем, что оно являетсянормированным.Рассмотрим первую аксиому: неотрицательность введённой нормыочевидна, равно как и справедливость выражения = 0 ⇒ ‖ ‖ = 0;справедливость выражения ‖ ‖ = 0 ⇒ = 0 следует из теоремы 5 параграфа 4.

Таким образом, первая аксиома выполняется. Справедливостьаксиомы 2 также очевидна. Остаётся доказать, что в пространстве ()выполняется аксиома 3 (так называемое неравенство треугольника). Перед этим докажем несколько вспомогательных утверждений.Неравенство Юнга. Пусть числа , > 0 и связаны соотношением1 1+ = 1. Тогда для любых чисел > 0 и > 0 выполняется неравенство 1 1 · 6 + . 45Доказательство.

Рассмотрим функцию Ψ() = − , > 0, ∈(0, 1). Тогда Ψ′ () = (−1 − 1). Получаем, что Ψ′ () > 0 при ∈ (0; 1)и Ψ′ () < 0 при ∈ (1; +∞). Следовательно,max Ψ() = Ψ(1)>0Ψ() 6 Ψ(1), или 6 + (1 − ).⇒Рассмотрим = , > 0, > 0. Тогда · 1− 6 + (1 − ). Положим11 = , тогда 1− = . Подставляя эти значения в неравенство, получим1 1 · 6 + . Неравенство Гельдера. Пусть > 1, 1 + 1 = 1, () ∈ (),() ∈ (). Тогда () · () — интегрируемая функция, и⎞1 ⎛⎞1∫︁∫︁∫︁⎝⎠⎝⎠| ()()| 6| ()| ·|()| ⎛Доказательство. Введём в рассмотрение функции() = (),‖ ‖() =().‖‖Подставим в неравенство Юнга числа = || , = || :| () · ()|| ()| |()|+;6‖ ‖ ‖‖‖ ‖‖‖| ()||()|| () · ()| 6‖‖ +‖ ‖ .‖ ‖−1‖‖−1Так как в правой части неравенства стоит интегрируемая функция, функция () · () также является интегрируемой.

Характеристики

Список файлов лекций