Лекции Капустина (1134955), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Поэтому∫︁)︂| ()||()|| ()()| 6‖‖ +‖ ‖ =‖ ‖−1‖‖−1(︂)︂‖ ‖ ‖‖ ‖ ‖ ‖‖1 1=+= ‖ ‖ ‖‖+= ‖ ‖ ‖‖ . ∫︁ (︂46Неравенство Минковского. Пусть (), () ∈ (), > 1. Тогда () + () ∈ () и‖ + ‖ 6 ‖ ‖ + ‖‖ .Доказательство. Заметим, что| + | 6 2 (| | + || )⇒ + ∈ ()⇒| + | ∈ ().Поэтому в силу неравенства Гельдера∫︀| || + | 6 ‖ ‖ ‖ + ‖∫︀||| + | 6 ‖‖ ‖ + ‖Сложим эти два неравенства:∫︁∫︁| + | = | + || + |−1 6∫︁(| | + ||)| + | 666 (‖ ‖ + ‖‖ )‖ + ‖Поделив это неравенство на ‖ + ‖ , получим требуемое неравенство.Таким образом, аксиома 3 также выполняется, поэтому () является линейным нормированным пространством.Определение 2.
Последовательность { } в нормированном пространстве называется фундаментальной, еслиlim ‖ − ‖ = 0.→∞→∞Линейное нормированное пространство называется полным (банаховым), если для любой фундаментальной последовательности { } пространства найдется ∈ такое, чтоlim ‖ − ‖ = 0.→∞47Теорема 1. Пусть — измеримое множество конечной меры, тогдапространство (), > 1 — банахово.Доказательство. Рассмотрим фундаментальную последовательность { ()}.Тогда для любого > 0 найдётся такой номер , что при , > выполняется неравенство‖ () − ()‖ < .Следовательно, для любого ∈ N найдётся такой номер , что при, > выполняется неравенство1.2Это, в свою очередь, означает, что существует последовательность номеров 1 < 2 < · · · < < +1 < .
. . такая, что‖ () − ()‖ <‖+1 () − ()‖ <1.2Запишем неравенство Гельдера для функций |+1 () − ()| и 1:∫︁1|| |+1 () − ()| 6 ‖+1 () − ()‖ || < .21∞ 1∑︀Суммируя по от 1 до ∞ и учитывая тот факт, что= 1, получаем,=1 2что∞ ∫︁∑︁1|+1 () − ()| < || .=1 В силу конечности || это означает, что ряд∞ ∫︁∑︁|+1 () − ()|=1 сходится.
Следовательно, в силу следствия из теоремы Леви почти всюдуна множестве сходится ряд∞∑︁⃒⃒+1⃒() − ()⃒ ,=1а значит, сходится и ряд∞∑︁(︀)︀+1 () − () .=148Добавим к этому ряду функцию 1 (). Получим, что последовательность { ()} почти всюду на сходится к некоторой ().Рассмотрим последовательность { () − ()}. В силу фундаментальности последовательности { ()} для любого > 0 найдётся такойномер , что при , > справедливо неравенство‖ () − ()‖ 6 .С другой стороны, последовательность { ()− ()} почти всюду на сходится к предельной функции () − (). Применяя теорему Фату(теорема 11 параграфа 4), получаем, что для любого > 0 найдётсятакой номер , что при > справедливо неравенство‖ () − ()‖ 6 ,поэтомуlim ‖ () − ()‖ = 0.→∞Из этого следует, что пространство (), > 1, является банаховым.Определение.
Функция, принимающая конечное или счетное числозначений, называется простой. Все различные значения простой функции можно обозначить как , где = 1, 2, . . . .Определение. Характеристической функцией множества называют функцию{︃1, ∈ ; () =0, ∈/ .Очевидно, что () измерима тогда и только тогда, когда измеримо само множество .Любую простую функцию можно представить в виде () =∞∑︀ (),=1где для каждого из области определения только одно слагаемое отлично от нуля.Лемма 1.
Пусть — измеримое множество, функция () неотрицательна и измерима на . Тогда существует неубывающая последовательность простых функций, всюду сходящаяся к функции (), причем49на множестве конечных значений сходимость равномерна.Доказательство. Введем в рассмотрение множества[︂]︂+1() = 6 () <, = 0, 1, . . .
; = 1, 2, . . . ;22∞ = [ () = +∞].Тогда для любого номера ∈ N[︃ ∞]︃⋃︁ ()=∪ ∞ .=1Рассмотрим последовательность { ()}, где () =2()на .Получаем, что для любого ∈ N0 6 () − () 61,2то есть последовательность { ()} сходится к функции () (причёмна множестве конечных значений эта сходимость будет равномерной, поскольку верхняя оценка разности () и () не зависит от ).Докажем, что последовательность { ()} является неубывающей.()Для этого каждое из множеств представим в виде()(+1)(+1) = 2 ∪ 2+1(︂[︂)︂ [︂)︂ [︂)︂ )︂ +12 2 + 12 + 1 2 + 2другими словами,;; +1= +1 ; +1∪.2 2222+12(+1)Получаем, что на 2+1 () =2= (),2+1(+1)а на 2+12 + 11=()+.2+12+1Следовательно, последовательность { ()} — неубывающая.+1 () =50Замечание.
В терминах доказанной теоремы рассмотрим последовательность {˜ ()}, где{︃, () > ;˜ () = (), () 6 .Все ˜ () являются простыми функциями, последовательность {˜ ()}сходится к () при → ∞. При этом функции ˜ () принимают лишьконечное число значений.Теорема 2. Пусть E — (алт. множество конечной меры) ограниченноеизмеримое множество, > 1. Тогда пространство непрерывных функций() всюду плотно в пространстве (), то есть для любого > 0 илюбой функции () ∈ () найдётся функция () ∈ () такая, что‖ () − ()‖ () < .Доказательство. Не ограничивая общности, считаем, что функция ()всюду конечна (так как () ∈ (), множество, на котором она принимает бесконечные значения, имеет меру 0) и неотрицательна (обобщитьтеорему можно, используя неотрицательные функции + () и − ()).Тогда в силу леммы 1 существует последовательность простых функций { ()}, всюду равномерно сходящаяся к функции () и неубывающая, причём все () 6 (). Следовательно, по теореме Леви длялюбого > 0 найдётся номер 0 такой, что для всех > 0 справедливонеравенство ‖ () − ()‖ < .
При этом функции () принимаютлишь конечное число значений.Другими словами, функцию () можно с любой точностью приблизить простой функцией 0 (), принимающей лишь конечное число значений, то есть имеющей вид () =∑︁ ().=1Следовательно, для доказательства теоремы достаточно доказать, чтодля любого > 0 и любой функции () ∈ () найдётся функция() ∈ () такая, что‖0 () − ()‖ < (тогда в силу ‖0 () − ()‖ < справедливо и ‖ () − ()‖ < 2).51В силу следствия из теоремы 4 параграфа 2 и измеримости множества для любого > 0 найдутся замкнутое множество ⊂ и открытоемножество ⊃ такое, что | ∖ | < .).Введем () = (,(,{ )+(,{ )‖ () − ()‖∫︁=| () − ()| 6 | ∖ | < ∖Таким образом, мы с наперед заданной точностью приближаем (),что позволяет нам с любой наперед заданной точностью приблизить∑︀0 () = ().=1⎞ 1⎛∫︁‖ ()‖ () = ⎝| ()| ⎠ 6 ⎝Теорема доказана.⎞ 1⎛∫︁11 ⎠ = || = || ‖ ()‖()()Замечание.
Рассмотренные в теореме функции являются непрерывными на всем пространстве R . (алт. Можно заменить () на ( ))Теорема 3 (о непрерывности в метрике ). Пусть — ограниченное измеримое множество. Тогда для любой функции () ∈ () илюбого > 0 найдется число > 0 такое, что при |ℎ| < справедливонеравенство ‖ ( + ℎ) − ()‖ () < , где функция () продолжена вне тождественным нулем.Доказательство. В силу того, что множество ограничено, существует шар (0, ) (радиуса и с центром в начале координат), содержащий ( ⊂ (0, )).Рассмотрим множество 1 = (0, + 1). Если ∈ , а |ℎ| < 1, то + ℎ ∈ 1 . В силу теоремы 2 для любой функции () ∈ () и любого > 0 существует функция () ∈ () такая, что ‖ ()−()‖ (1 ) < .Тогда‖ ( + ℎ) − ()‖ () 66 ‖ ( + ℎ) − ( + ℎ)‖ () + ‖( + ℎ) − ()‖ () + ‖ () − ()‖ () 616 2‖ () − ()‖ (1 ) + || ‖( + ℎ) − ()‖(1 ) < 2 + = 3.52(тут важна теорема Кантора: непрерывность является равномерной непрерывностью на замкнутом ограниченном множестве)Теорема доказана.
§6. Метрические и нормированные пространстваОпределение 1. Множество называется метрическим пространством, если каждой паре (, ) элементов этого множества поставлено всоответствие неотрицательное число (, ) (называемое метрикой илирасстоянием между элементами и ), удовлетворяющее следующимусловиям (аксиомам):1. (, ) = (, ) (аксиома симметрии)2. (, ) = 0 ⇔ = (аксиома тождества)3. (, ) 6 (, ) + (, ) (так называемая аксиома треугольника){︃1, ̸= ,Дискретная метрика: (, ) =0, = .Определение 2.
Элемент метрического пространства называется пределом последовательности { } (обозначается = lim ), если→∞(, ) → 0 при → ∞. Сама последовательность { } называется тогда сходящейся.Определение 3. Последовательность { } элементов метрическогопространства называется фундаментальной, если для любого > 0найдётся номер 0 () такой, что при , > 0 ( , ) < (другимисловами, ( , ) → 0 при → ∞ и → ∞).Последовательности в метрическом пространстве обладают следующими свойствами:1. → , → ⇒ = .Для доказательства достаточно заметить, что в силу аксиомы 3(, ) 6 (, ) + (, ). → , → , поэтому при → ∞(, ) → 0 и (, ) → 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
