Лекции Капустина (1134955), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Следовательно, (, ) = 0, то есть = .532. → ⇒ → .∀ > 0 ∃ : ∀ > ( , ) < ⇒ ∀ > ( , ) < .3. → ⇒ ( , ) 6 ∀.Опять же, в силу аксиомы треугольника для любого верно неравенство ( , ) 6 ( , ) + (, ) 6 + (, ) = .Введём следующие обозначения:∙ Шаром с центром в точке и радиусом называется множествоточек (, ) = {(, ) < };∙ Замкнутым шаром с центром в точке и радиусом называетсямножество точек (, ) = {(, ) 6 };∙ Множество называется ограниченным, если оно содержится в какомлибо шаре;∙ Окрестностью точки называется любой шар (, );∙ В метрическом пространстве точка называется предельнойточкой множества ( ⊂ ), если в любой окрестности точки содержится хотя бы одна точка множества , отличная от ,то есть если ∀ (, ) ∩ { ∖ {}} ≠ ∅;∙ Замыканием множества называется множество, полученное присоединением к всех его предельных точек;∙ Множество называется замкнутым, если оно совпадает со своимзамыканием ( = );∙ Множество называется открытым, если замкнуто его дополнение { = ∖ ;∙ Множество называется всюду плотным в метрическом пространстве , если = ;∙ Множество называется нигде не плотным в метрическом пространстве , если любой шар пространства содержит в себешар без точек множества .Пример.

Любое конечное множество чисел.54Пример. Рассмотрим на множестве действительных чисел следующую метрику:{︃1, ̸= ,(, ) =0, = .В таком метрическом пространстве ни одно множество не будет иметьпредельных точек, поэтому любое множество будет одновременно и замкнутым, и открытым.Определение 3. Метрическое пространство называется полным,если любая фундаментальная последовательность в сходится к некоторому пределу, являющемуся элементом .Рассмотрим множество всех числовых последовательностей веществен∞∑︀ных чисел = (1 , 2 , .

. . ) таких, что| | < +∞ ( > 1). Для его=1элементов = (1 , 2 , . . . ) и = (1 , 2 , . . . ) определим расстояние поформуле(︃ ∞)︃ 1∑︁. (, ) =| − |=1Эта метрика удовлетворяет трём аксиомам метрического пространства.Полученное пространство называется пространством .Утверждение. — полное пространство.Доказательство. Рассмотрим в произвольную фундаментальную по()()следовательность { }, где = (1 , 2 , . . .

):∀ > 0 ∃ = () : ∀, > ( , ) =(︃ ∞∑︁)︃ 1()|() − |()()<=1Получаем, что∞∑︁()|() − | < ⇒()|() − | < ⇒|− | < .=1()А это означает, что последовательность { } сходится к некоторому .Поэтому последовательность { } сходится к некоторому = (1 , 2 , . . . ).Докажем, что ∈ .55Так как∞∑︁()|() | < ,− =1то для любого числа будет верно неравенство∑︁()|() | < .− =1Устремляя к бесконечности сначала , а затем , а также возводя неравенство в степень 1 , получаем неравенство∞ (︁∑︁()| − |)︁ 16 .=1Таким образом, при любом ( − ) ∈ .

Кроме того, сами такжеявляются элементами Рассмотрим два числа, и . Очевидно, что | + | 6 || + ||. Если|| > ||, то| + | 6 2||⇒| + | 6 2 || 6 2 (|| + || ).⇒| + | 6 2 || 6 2 (|| + || ).Если же || 6 ||, то| + | 6 2||Таким образом, неравенство | + | 6 2 (|| + || ) выполняется всегда.()()Положим = − , = , = . Получаем, что(︃∞∑︁)︃ 1| |=16(︃=∞∑︁)︃ 1()| − ()+ |6=1(︃ ∞∑︁)︃ 1(︀()() )︀2 | − | + | |=2(︃ ∞∑︁=1=156()| − | +∞∑︁=1)︃ 1()| |.∞∑︀Теперь применим то же самое неравенство для =∞∑︀()| − | , ==1()| | ,=1(︃∞∑︁ = 1 :)︃ 1| |(︃62∞∑︁| −() |+∞∑︁=1=1)︃ 1()| |6=1⎛(︃16 21+ ⎝∞∑︁)︃ 1()| − |+(︃ ∞∑︁)︃ 1 ⎞()| |⎠.=1=1В силу того, что ( − ) и являются элементами , справедливынеравенства // !!!(︃ ∞∑︁)︃ 1| −() |(︃< +∞,=1∞∑︁)︃ 1()| |< +∞.=1Но тогда справедливо и неравенство(︃ ∞∑︁)︃ 1| |< +∞,=1а оно означает, что ∈ .Теорема 1 (о вложенных шарах).

Пусть в полном метрическомпространстве имеется последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю:1 (1 , 1 ) ⊃ 2 (2 , 2 ) ⊃ . . . , → 0 при → ∞.Тогда существует одна и только одна точка, принадлежащая всем этимшарам.Доказательство. Рассмотрим последовательность { } центров этихшаров. Так как + ⊂ , то + ∈ . Следовательно, (+ , ) < и поэтому стремится к нулю при → ∞ равномерно по всем .

Это означает, что последовательность { } является фундаментальной. Так какпо условию задачи рассматриваемое метрическое пространство являетсяполным, то { } сходится к некоторому элементу этого же пространства.57Возьмём любой шар . Тогда точки , +1 , . . . принадлежат .Так как шар по условию замкнут, предел последовательности { }∞=также принадлежит . Следовательно, предел последовательности{ }∞=1 принадлежит всем шарам.Допустим, что существует точка , принадлежащая всем шарам и отличная от (то есть (, ) = > 0). Так как , ∈ ∀, то справедливонеравенство = (, ) 6 (, ) + ( , ) 6 2 → 0 при → ∞.Мы получили противоречие; следовательно, всем шарам принадлежиттолько одна точка.

Определение 4. Множество метрического пространства называется множеством 1-й категории, если его можно представить ввиде не более чем счётного объединения нигде не плотных множеств.Множество, не являющееся множеством 1-й категории, называется множеством 2-й категории.Множество рациональных точек на R является множеством 1-й категории, множество иррациональных точек — множеством 2-й категории.Теорема 2 (теорема Бэра о категориях). Полное метрическоепространство является множеством 2-й категории.Доказательство.

Пусть это не так. Тогда рассматриваемое простран∞⋃︀ство представимо в виде = , где множества , = 1, 2, . . .=1нигде не плотны.Рассмотрим шар (, 1), где — произвольная точка пространства.Так как множество 1 нигде не плотно, то внутри шара (, 1) найдётсяподшар 1 (1 , 1 ) радиуса 1 < 1, не содержащий точек 1 . Так как множество 2 нигде не плотно, то внутри шара 1 (1 , 1 ) найдётся подшар2 (2 , 2 ) радиуса 2 < 21 , не содержащий точек 2 . Проводя аналогичныерассуждения дальше ( < 1 ), получим последовательность замкнутыхшаров, вложенных друг в друга:1 (1 , 1 ) ⊃ 2 (2 , 2 ) ⊃ .

. . ,причём шар ( , ) не содержит точек ни одного из множеств 1 ,2 , . . . , . По теореме 1 существует точка ∈ , принадлежащая всемэтим шарам. Но тогда эта точка не принадлежит ни одному из множеств58 , объединением которых является ∋ . Мы получили противоречие⇒ наше предположение неверно. Теорема доказана. Рассмотрим оператор : → . Оператор называется сжимающим отображением (сжимающим оператором) на , если существуетчисло < 1 такое, что для всех , ∈ справедливо неравенство(, ) 6 (, ).Неподвижной точкой оператора называется точка, удовлетворяющаяусловию = .Теорема 3 (Принцип сжимающих отображений). Пусть —полное метрическое пространство, — сжимающее отображение на .Тогда имеет единственную неподвижную точку в .Доказательство. Фиксируем произвольный элемент 0 ∈ и построимдля него итерационную последовательность { } следующим образом:∀ ∈ N = −1 .Заметим, что(2 , 1 ) = (1 , ) 6 (1 , 0 ) = (0 , 0 );...(+1 , ) 6 ( , −1 ) 6 (0 , 0 ).Тогда(+ , ) 6 (+1 , ) + (+2 , +1 ) + · · · + (+ , +−1 ) 66 (0 , 0 ) + +1 (0 , 0 ) + · · · + +−1 (0 , 0 ) = (1 − )(0 , 0 ) 6(0 , 0 ).=1−1−Так как < 1, то (+ , ) → 0 при → ∞ равномерно по всем .

Этоозначает, что последовательность { } является фундаментальной. Поусловию — полное метрическое пространство; следовательно, существует точка ∈ , являющаяся пределом { } при → ∞. Докажемнеподвижность :(, ) 6 (, ) + ( , ) == (, −1 ) + ( , ) 66 (, −1 ) + ( , ) → 0 при → ∞.59Устремив к бесконечности, получим, что (, ) = 0; следовательно,точка действительно является неподвижной.Утверждение о том, что неподвижная точка единственна, докажем отпротивного. Пусть существуют две неподвижных точки: = , = .Тогда(, ) = (, ) 6 (, ) ⇒ (, ) = 0,то есть = .

Теорема полностью доказана.Пример. // !!! Одним из применений принципа сжимающих отображений является доказательство существования и единственности решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода. Пусть (, ) — действительная функция, (, ) ∈ 2 (Π), где Π — квадрат ( 6 , 6 ) (это∫︀ ∫︀условие, вообще говоря, можно заменить условием 2 (, ) <+∞), и пусть, кроме того, функция () ∈ 2 (, ). Докажем, что тогда интегральное уравнение∫︁() = (, )() + ()имеет при достаточно малых значениях параметра единственное решение () ∈ 2 (, ).Рассмотрим соответствующий оператор∫︁ = (, )() + () = 1 + (),∫︁где 1 =(, )().Докажем, что оператор переводит каждую функцию () ∈ 2 (, )в функцию, также принадлежащую 2 (, ).

Так как () ∈ 2 (, ), тодостаточно доказать, что оператор 1 обладает тем же свойством.Так как (, ) ∈ 2 (Π), то при каждом фиксированном ∈ [, ]функция (, ), являясь функцией (), принадлежит пространству2 ([, ]). Функция () также принадлежит 2 ([, ]). Но тогда и функции ((, ) + ()), ((, ) − ()) ∈ 2 ([, ]) ⇒ функции ((, ) +60())2 , ((, )−())2 интегрируемы по на [, ] ⇒ функция (, )() =1(( + )2 − ( − )2 ) также является интегрируемой по на [, ]. Сле4довательно, для всех ∈ [, ] существует интеграл∫︁() =(, )().Применяем к 2 () неравенство Коши-Буняковского:⎛2⎞2∫︁ () = ⎝(, )()⎠ 6Интеграл∫︀∫︁2∫︁ (, )2 ().2 () представляет собой некоторую постоянную.

Характеристики

Список файлов лекций