Лекции Капустина (1134955), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Итак, при нашемпредположении множество {‖ ‖} не ограничено на любом замкнутомшаре.Пусть теперь 0 (0 , 0 ) — произвольный замкнутый шар в . Тогдав силу того, что {‖ ‖} не ограничена на этом шаре, существуют номер и элемент 1 ∈ 0 такие, что ‖1 1 ‖ > 1. Так как оператор1 непрерывен, то это неравенство выполняется в некотором замкнутом шаре 1 (1 , 1 ) ⊂ 0 , 1 < 1. На 1 последовательность {‖ ‖}снова не ограничена, поэтому снова найдутся номер 2 > 1 и элемент 2 ∈ 1 такие, что ‖2 2 ‖ > 2. Опять же, в силу непрерывностиоператора 2 это свойство выполняется в некотором замкнутом шаре 2 (2 , 2 ) ⊂ 1 , 2 < 21 и так далее ( < 1 ).Таким образом, мы получаем последовательность вложенных другв друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к 0 при →∞. Следовательно, будет существовать точка , принадлежащая всемэтим шарам.

Но тогда в этой точке для всех справедливо неравенство‖ ‖ > , а это противоречит условию теоремы о том, что для любого ∈ последовательность ‖ ‖ является ограниченной. Следовательно, наше предположение неверно. Теорема доказана. Следствие. Пусть и — банаховы пространства, задана последовательность линейных ограниченных операторов ∈ ( → ) исуществует последовательность { }, ∈ такая, что ‖ ‖ 6 1, а69‖ ‖ → +∞ при → ∞.

Тогда найдётся элемент ∈ , ‖0 ‖ 6 1,такой, что lim ‖ 0 ‖ = +∞.→∞Доказательство. Пусть это не так, то есть для всех ∈ с ‖0 ‖ 6 1 последовательность {‖ ‖} ограничена. Тогда при ̸= 0 элемент = ‖‖будет иметь норму ‖‖ = 1, а также будет справедливо неравенство‖ ‖= ‖ ‖ 6 , где — некоторая константа.‖‖Следовательно, ‖ ‖ 6 ‖‖, то есть для любого ∈ последовательность {‖ ‖} является ограниченной. Следовательно, в силу теоремыБанаха-Штейнгауза найдётся константа такая, что ‖ ‖ 6 . Получаем, что‖ ‖ 6 ‖ ‖‖ ‖ 6 ,что противоречит условию.

Значит, наше предположение неверно.Пример. Используя теорему Банаха-Штейнгауза, докажем существование непрерывной периодической функции, для которой ряд Фурье расходится. Итак, пусть () ∈ C[−; ], (−) = (). Сумма ряда Фурьеэтой функции имеет вид () =где1 =0 ∑︁ cos + sin ,+2=1∫︁∫︁1 = () cos ,− () sin .−Перепишем ():0 ∑︁ () =+ cos + sin =2=11=2∫︁−∫︁∞∑︁1 () +cos ( − ) () ==1−1=2∫︁−70sin( + 12 )( − ) ().sin −2Определим функцию () следующим образом:⎧⎨ 1 − 1 , ̸= 0;() = 2 tan 2⎩0, = 0.Тогда1 (0) =2∫︁−1=∫︁sin( + 21 ) () =sin 2sin 1 () +−∫︁1() sin () +2−=∫︁1∫︁cos () =−sin () + (1), где (1) → 0 при → ∞.−Рассмотрим оператор1 () =∫︁sin ().−̃︀ (пространства непрерывныхОператор действует из пространства ̃︀периодических функций) в пространство 1 и любой функции () ∈ ставит в соответствие частичную сумму её ряда Фурье (с точностью до(1)).

Рассмотрим следующую последовательность функций : () = sgn · sin ,‖ ‖ 6 1.Тогда1 =∫︁sin2 2 =||−∫︁sin2 =02=∫︁sin2 1 >0∫︁1 − cos 2 =111= ln −∫︁171cos 2.Интеграл1∫︁cos 21сходится, поэтому1ln + (1).Получаем, что при → ∞ → ∞. Следовательно, в силу следствия̃︀ что lim sup 0 () =к теореме 4 существует такая функция 0 () ∈ , =→∞+∞, то есть ряд Фурье этой функции в нуле расходится.§8. Обратные операторыПусть есть два линейных нормированных пространства — и . Рассмотрим оператор : → с областью определения () = иобластью значений () ⊂ .Если для любого ∈ () уравнение = имеет единственное решение, то говорят, что определен обратный оператор −1 : () → ,то есть = −1 . Очевидно, что −1 = и −1 = — тождественные операторы на () и соответственно.Если для оператора : → существует оператор −1 : () → такой, что−1 = , −1 = ,то операторы и −1 называются взаимно обратными.

Если выполняется только неравенство −1 = , то оператор −1 называется левым обратным оператором для ; если выполняется только неравенство−1 = , то оператор −1 называется правым обратным операторомдля .Легко показать, что оператор, обратный к линейному, также являетсялинейным.

Пусть оператор является линейным. Рассмотрим = −1 (1 + 2 ) − −1 1 − −1 2 .72Тогда = −1 (1 + 2 ) − (−1 1 ) − (−1 2 ) == −1 (1 + 2 ) − −1 1 − −1 2 == (1 + 2 ) − 1 − 2 = 0.Cледовательно, = −1 = −1 0 = 0,то есть−1 (1 + 2 ) = −1 1 + −1 2 .Таким образом, оператор −1 также является линейным.Теорема 1. Пусть A — линейный оператор, отображающий линейноенормированное пространство на линейное нормированное пространство , причём существует такая константа > 0, что ‖‖ > ‖‖для всех ∈ . Тогда существует обратный линейный ограниченныйоператор −1 , ‖−1 ‖ 6 1 ‖‖.Доказательство. Докажем, что уравнение = имеет единственноерешение. Предположим, что их два: = 1 = 2 . Тогда 1 − 2 =(1 − 2 ) = 0.

Следовательно,‖1 − 2 ‖ 6 ‖1 − 2 ‖ = 0⇒1 = 2 .Таким образом, существует обратный оператор −1 . Он линеен в силулинейности оператора и, кроме того, ограничен, так как для всех ∈() справедливо неравенство‖−1 ‖ 611‖−1 ‖ = ‖‖. Теорема 2 (теорема Неймана). Пусть — банахово пространство, оператор ∈ ( → ), и пусть ‖‖ 6 < 1. Тогда оператор( − ) имеет обратный линейный ограниченный оператор ( − )−1 ,1‖( − )−1 ‖ 6 1−.Доказательство.

Определим операторы, являющиеся степенями оператора , следующим образом:0 = , = (−1 ) при = 1, 2, . . . .Для линейных ограниченных операторов и в банаховом пространстве справедливо неравенство ‖‖ 6 ‖‖‖‖, поскольку длялюбого ∈ справедливо неравенство‖‖ 6 ‖‖ ‖‖ 6 ‖‖ ‖‖ ‖‖.73Поэтому ‖‖ 6 ‖‖ ‖‖ = ‖‖2 , и аналогично ‖ ‖ 6 ‖‖ 6 длявсех .Введём оператор =∑︀(−1) . Тогда=0( + ) = ( + )∑︁(−1) = + (−1) +1 .=0Но +1 → 0 при → ∞, так как ‖+1 ‖ 6 ‖‖+1 6 +1 → 0 при → ∞ в силу < 1.

Следовательно, существует обратный оператор∞∑︀ = ( + )−1 =(−1) .=0Легко заметить, что оператор является линейным. Кроме того, онявляется ограниченным:⃦⃦∞∞∞∞⃦∑︁⃦ ∑︁∑︁∑︁1⃦ ⃦. ‖ ‖ 6‖‖ 6 =‖‖ = ⃦ (−1) ⃦ 6⃦⃦1−=0=0=0=0Теорема 3. Пусть — банахово пространство, , −1 ∈ ( → )и существует линейный ограниченный оператор Δ такой, что ‖Δ‖ <1. Тогда оператор = +Δ имеет обратный оператор −1 , причём‖−1 ‖‖ −1 − −1 ‖ 6‖Δ‖‖−1 ‖2.1 − ‖Δ‖‖−1 ‖Доказательство. Представим оператор в виде + Δ = ( +−1 Δ). Из условия задачи следует, что‖−1 Δ‖ 6 ‖−1 ‖‖Δ‖ < 1.Следовательно, в силу теоремы Неймана у оператора + −1 Δ существует обратный оператор ( + −1 Δ)−1 .

Следовательно, произведение( + −1 Δ)−1 −1 является обратным оператором к , и при этом справедливы следующие неравенства:‖ −1 − −1 ‖ = ‖( + −1 Δ)−1 −1 − −1 ‖ 6∞∑︁−1−1−1−16 ‖ ‖‖( + Δ) − ‖ 6 ‖ ‖‖(−1 Δ) ‖ ==1‖−1 Δ‖‖−1 ‖‖Δ‖−1= ‖−1 ‖6‖‖. 1 − ‖−1 Δ‖1 − ‖−1 ‖‖Δ‖74Теорема 4 (теорема Банаха об обратном операторе). Пусть и — банаховы пространства, линейный ограниченный оператор отображает всё пространство на всё пространство взаимно однозначно.Тогда существует обратный линейный ограниченный оператор −1 .Доказательство.

Так как линейный оператор осуществляет взаимнооднозначное соответствие между элементами пространств и , то он,очевидно, будет иметь обратный оператор −1 , также являющийся линейным. Остаётся доказать ограниченность оператора −1 .Введём в рассмотрение множества = { ∈ : ‖−1 ‖ 6 ‖‖}.Любой элемент ∈ попадёт в множества при целочисленных >‖−1 ‖. Следовательно, все пространство можно представить в виде‖‖ =∞⋃︁ .=1Пространство является банаховым, поэтому в силу теоремы Бэра о категориях оно не может быть представлено в виде счётного числа нигдене плотных множеств.

Следовательно, найдётся хотя бы один номер 0такой, что множество 0 не является нигде не плотным. Это значит, чтосуществует шар (0 , 0 ), в котором множество (0 , 0 ) ∩ 0 являетсявсюду плотным, то есть (0 , 0 ) ∩ 0 = (0 , 0 ). Производя замыкание левой и правой частей этого множества, получим (0 , 0 ) ∩ 0 =(0 , 0 ) ∩ 0 = (0 , 0 ).Рассмотрим замкнутый шар (1 , 1 ) ⊂ (0 , 0 ) и такой, что 1 ∈ 0 .Тогда справедливо неравенство0 ⊃ (0 , 0 ) ∩ 0 = (0 , 0 ) ⊃ (1 , 1 ).Следовательно, (1 , 1 ) ⊂ 0 . Возьмём произвольный элемент с нормой ‖‖ = 1 . Тогда элемент + 1 ∈ (1 , 1 ), так как ‖( + 1 ) − 1 ‖ = 1 .В силу неравенства (1 , 1 ) ⊂ 0 найдётся последовательность элементов { () } из (1 , 1 )∩0 такая, что () → +1 при → ∞.

Обозначим () = () − 1 , тогда () → при → ∞. Кроме того, ‖‖ = 1 , поэтомупри > справедливы неравенства 21 6 ‖ () ‖ 6 1 .75Так как () и 1 принадлежат 0 , то‖−1 () ‖ 6 ‖−1 () ‖ + ‖−1 1 ‖ 66 0 (‖ () ‖ + ‖1 ‖) 6 0 (‖ () ‖ + 2‖1 ‖) 612020(1 + 2‖1 ‖) 6(1 + 2‖1 ‖)‖ () ‖.6121Обозначим за наименьшее целое число, превосходящее20(1 + 2‖1 ‖)‖ () ‖.1Тогда‖−1 () ‖ 6 ‖ () ‖,поэтому все () ∈ 0 .

Другими словами, любой элемент ∈ с нормой‖‖ = 1 , можно аппроксимировать элементами () ∈ 0 ( () → при → ∞). Возьмём теперь произвольный элемент ∈ . Рассмотримэлемент. = 1‖‖Получаем, что ‖‖ = 1 . Поэтому найдётся последовательность { () } ⊂0 , сходящаяся к . Но тогда последовательность () = ()‖‖→ .

1При этом‖−1 () ‖ =‖−1 () ‖‖‖‖‖6 ‖ () ‖= ‖ () ‖,11то есть все () ∈ . Таким образом, пространство является всюдуплотным в .Возьмём произвольный элемент ∈ ; пусть ‖‖ = . Найдём элемент1 ∈ такой, что‖ − 1 ‖ 6 , ‖1 ‖ 6 .2Это можно сделать в силу того, что ∈ (0, ) и множество (0, ) ∩ является всюду плотным в (0, ). Аналогично найдём элемент 2 ∈ такой, что‖( − 1 ) − 2 ‖ 6 , ‖2 ‖ 6 .4276Продолжая так далее, построим элементы ∈ такие, что‖ − (1 + 2 + · · · + )‖ 6Следовательно,∞∑︁ = lim→∞,2‖ ‖ 62−1. .=1Положим = −1 , тогда‖ ‖ 6 ‖ ‖ 6.2−1∑︀Это означает, что последовательность { }, = =1 в силу полнотыпространства сходится к некоторому пределу ∈ при → ∞, таккак является фундаментальной:⃦ + ⃦⃦ ∑︁ ⃦⃦⃦ ⃦ < −1 .‖+ − ‖ = ⃦⃦⃦ 2=+1Следовательно, = lim→∞∑︁ ==1∞∑︁ .=1Тогда(︃ = lim∑︁→∞=1)︃= lim→∞∑︁=1 = lim∞∑︁→∞ = ,=1поэтому‖(−1) ‖ = ‖‖ =⃦⃦∞⃦∑︁⃦∑︁∑︁⃦⃦= lim ⃦ ⃦ 6 lim‖ ‖ 6 lim=→∞ ⃦→∞⃦ →∞2−1=1=1=1= 2 = 2 ‖‖.Это и означает, что оператор −1 является ограниченным.77§9. Линейные функционалыЛинейный непрерывный оператор, значения которого принадлежат пространству R1 , называется линейным функционалом.

Характеристики

Список файлов лекций