Лекции Капустина (1134955), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

→+∞Убедимся в том, что неотрицательная интегрируемая на множестве функция () может обращатся в +∞ только на подмножестве 0 ⊂ ,имеющем меру 0. Положим 0 = [ () = +∞]. В силу свойств 4 и 5предыдущего пункта выполняются неравенства∫︁∫︁∫︁ = () > () = > |0 |.00Поскольку () интегрируема на множестве , существует конечныйпредел = lim , поэтому из записанных неравенств следует, что →∞|0 | = 0.Отметим, что для неотрицательных интегрируемых функций справедливы свойства 2–5, установленные в пункте 4.1 для ограниченныхнеотрицательных интегрируемых функций (доказательства проводятсяаналогично, с использованием функций срезки, которые являются ограниченными).Теорема 3 (о полной аддитивности).

Пусть || < +∞, () > 0 и∞⋃︀измерима на , представимо в виде = , ∩ = ∅ при ̸= .=1Тогда справедливы следующие два утверждения:291. Если () интегрируема на , то () интегрируема на и справедливо равенство∫︁∞ ∫︁∑︁ () = ().(*)=1 2. Если () интегрируема на и ряд в правой части (*) сходится,то () интегрируема на и (*) выполняется.Доказательство.а) Сначала докажем утверждения 1 и 2 для ограниченной неотрицательной интегрируемой функции (). Пусть существует константа такая,что | ()| 6 всюду на . Положим =∞⋃︁тогда | | = ,=+1Ряд∞⋃︁∞⋃︁| |.=+1| | = || — сходится,=1поэтому его остаток | | → 0 при → ∞.∫︁Тогда на основании свойств 1, 4 и 5∫︁∫︁ ∫︁∑︁ ()− () = () 6 6 | | → 0 при → ∞.=1 Это и означает правильность утверждений 1 и 2 в случае ограниченной ().б) Пусть теперь () — произвольная неотрицательная интегрируемая функция.

Суммируемость () на каждом из множеств напрямуюследует из неравенства∫︁∫︁ () 6 ()и неубывания по интеграла в левой части этого неравенства. Заметим, что функция срезки () является ограниченной, поэтому в силупункта а)∫︁∞ ∫︁∞ ∫︁∑︁∑︁ () = () 6 ().=1 =1 30Переходя в этом неравенстве к пределу при → ∞, получим∫︁ () 6∞ ∫︁∑︁ ().=1 С другой стороны, для любого номера ∫︁ () =∞ ∫︁∑︁ () >=1 ∫︁∑︁ ().=1 Последовательно переходя к пределу сначала при → ∞, а затем при → ∞, получим неравенство∫︁ >∞ ∫︁∑︁ ()=1 Из двух полученных нами неравенств следует, что∫︁ =∞ ∫︁∑︁ (),=1 что и доказывает правильность утверждения 1.Правильность утверждения 2 следует из неравенства для функции ():∫︁∞ ∫︁∞ ∫︁∑︁∑︁ () = () 6 ().=1 =1 Так как ряд в правой части этого неравенства сходится, функция ()будет являться суммируемой на множестве , а следовательно, для неёбудет выполняться равенство (*).

Теорема 4 (об абсолютной непрерывности интеграла Лебега).Пусть || < +∞, () — неотрицательная, интегрируемая на множестве по Лебегу функция. Тогда для любого > 0 найдётся число > 0такое, что для любого подмножества ⊂ , || < , будет выполнятьсянеравенство∫︁ () < .31Доказательство.а) Сначала проведём доказательство в случае, когда функция () ограничена, то есть существует константа такая, что | ()| 6 всюду на. Тогда∫︁∫︁. () 6 = || < < при <б) Пусть теперь () — произвольная неотрицательная, интегрируемаяна функция.

В силу интегрируемости для любого > 0 найдётся число = () такое, что∫︁( () − ()) < .2Но тогда∫︁∫︁∫︁ () = ( () − ()) + () << +2∫︁ = + || < + < 22при <.2 ()Теорема доказана.Теорема 5. Пусть множество имеет конечную ∫︀меру, функция ()неотрицательна и интегрируема по Лебегу на , а () = 0. Тогдафункция () эквивалентна тождественному нулю (то есть множество,на котором () ̸= 0, имеет меру 0).Доказательство. Для любого > 0 положим = [ > ]. Тогда∫︁∫︁ () > () > | |.Следовательно, для любого > 0∫︁1| | 6 () = 0⇒| | = 0.Заметим, что∞⋃︁[︂1[ > 0] = >=132]︂Поэтому]︂⃒∞ ⃒ [︂∑︁⃒⃒1⃒ >⃒=0|[ () > 0]| 6⃒⃒=1Теорема доказана.⇒|[ () > 0]| = 0.Теорема 6. Пусть множество имеет конечную меру, 1 () и 2 ()— неотрицательные, измеримые на функции и 1 () > 2 ().

Тогда,если функция 1 интегрируема по Лебегу на , то и 2 интегрируема поЛебегу на и∫︁∫︁2 () 6 1 ()Доказательство. Заметим, что∫︁∫︁∫︁2 () 61 () 61 ().Интеграл в левой части неравенства является неубывающим по , поэтому функция 2 () интегрируема на . Справедливость неравенства∫︁∫︁2 () 6 1 ()напрямую следует из свойства 5.4.3. Интеграл Лебега для неограниченной функциилюбого знакаРассматриваем измеримое множество конечной меры и измеримуюфункцию (), не являющуюся, вообще говоря, ограниченной на множестве и принимающую на этом множестве значения любых знаков.Введём в рассмотрение две неотрицательные функции1 + () = (| ()| + ()),21 − () = (| ()| − ()).2Очевидно, что + () + − () = | ()|,33 + () − − () = ().Определение 1. Функция () называется интегрируемой на множестве , если на этом множестве интегрируемы функции + (), − ().При этом интегралом Лебега от функции () по множеству называется∫︁∫︁∫︁+ () = − − .Определение 4.

(it is ok) Совокупность всех интегрируемых намножестве функций обозначают символом () или 1 (). Запись () ∈ () ( () ∈ 1 ()) означает, что функция () измерима иинтегрируема на множестве .Метрика — интеграл модуля разности. Сходимость определеняетсяпо ней.Из сходимости в () вытекает сходимость по мере. Обратное неверно: () = [ ∈ (0, 1 ]]А вообще это было на месте определения 2.Утверждение.

Измеримая на множестве функция () интегрируема на тогда и только тогда, когда функция | ()| интегрируема наэтом множестве.Доказательство.Необходимость: () ∈ ()⇒ + (), − () ∈ ()⇒ + ()+ − () = | ()| ∈ ().Достаточность: пусть функция | ()| ∈ (). Так как функции + () <| ()| и − () < | ()|, то в силу теоремы 6 пункта 4.3 + (), − () ∈().

Следовательно, + () − − () = () ∈ (). Пример. Рассмотрим функцию () = sin на множестве [0, 1]. Как∫︀1∫︀известно, sin сходится условно. Поэтому | ()| не существует.0Следовательно, функция () не интегрируема по Лебегу на множестве.Для неограниченных интегрируемых функций произвольного знакасправедливы свойства 2–5, установленные в пункте 4.1 для ограниченныхнеотрицательных интегрируемых функций (доказательства проводятсяаналогично, с использованием функций + () и − (), которые являются неотрицательными, и для которых свойства 2-5 тоже верны).34Теорема 7 (о полной аддитивности).

Она опущена Пусть мно∞⋃︀ , множества измеримы ижество представимо в виде ==1 ∩ = ∅ при ̸= . Тогда справедливы следующие два утверждения:1. Если () интегрируема на множестве , то () интегрируема ина каждом из множеств , причём справедливо равенство∫︁ () =∞ ∫︁∑︁ ().(*)=1 2. Если функция () измерима и интегрируема на каждом из мно∞ ∫︀∑︀| ()|, то () интегрируема на жеств и сходится ряд=1 и выполняеся равенство (*).Доказательство. Если функция () интегрируема на множестве ,то по определению неотрицательные функции + () и − () также интегрируемы на , а следовательно, к ним применима теорема 3. Поэтомуфункции + () и − () являются интегрируемыми на каждом из множеств и для них справедливы равенства∫︁+ () =∞ ∫︁∑︁∫︁+ (), () ==1 − − ().=1 ∞ ∫︁∑︁Тогда по определению функция () интегрируема на каждом из множеств и справедливо равенство∫︁∫︁∫︁ − () =+=∫︁∞∑︁ − =+ () −=1 ∞ ∫︁∑︁ − () ==1 =∞ ∫︁∑︁+−( () − ()) ==1 ∞ ∫︁∑︁ ().=1 Таким образом, мы доказали справедливость первой части теоремы.35Докажем вторую часть теоремы.

Так как функция () измерима иинтегрируема на каждом из множеств , то в силу доказанного вышеутверждения функция | ()| также интегрируема на каждом из мно∞ ∫︀∑︀| ()| сходится, для функциижеств . Тогда, поскольку ряд=1 | ()| справедливо второе утверждение теоремы 3. Следовательно, | ()|интегрируема на всём множестве . Тогда в силу доказанного вышеутверждения и функция () интегрируема на всём , а следовательно, справедливо равенство (*). Теорема 8 (об абсолютной непрерывности). Её нет. Если функция () интегрируема на множестве , то для любого > 0 найдётсячисло > 0 такое, что для любого измеримого подмножества ⊂ ,|| < , будет выполняться неравенство⃒⃒⃒⃒∫︁⃒⃒⃒ ()⃒ < .⃒⃒⃒⃒Доказательство.

Так как функция () интегрируема на множестве, неотрицательная функция | ()| также интегрируема∫︀на . Тогда к| ()| применима теорема 4 и справедливо неравенство | ()| < .Следовательно,⃒⃒⃒∫︁⃒ ∫︁⃒⃒⃒ ()⃒ 6 | ()| < . ⃒⃒⃒⃒Определение 2. Говорят, что последовательность интегрируемых намножестве функций { ()} сходится к интегрируемой на функции () в (), если∫︁| () − ()| = 0.lim→∞Замечание 1. Из определения непосредственно следует, что∫︁∫︁lim () = ().

(**)→∞Замечание 2. Если последовательность измеримых и интегрируемых на множестве функций { ()} сходится к измеримой и интегрируемой на функции () в (), то { ()} сходится к () и по мере36на .Доказательство. Для любого > 0 положим = [| () − ()| > ].Тогда∫︁∫︁| () − ()| > | |.| () − ()| >Следовательно, | | → 0 при → ∞, что и означает сходимость { ()}к () по мере на . Пример.

Рассмотрим последовательность { ()}, где⎧[︂]︂1⎪⎪⎪⎨, если ∈ 0, () =]︂(︂⎪1⎪⎪,1 .⎩0, если ∈Поскольку lim |[| () − 0| > ]| = 0, то { ()} сходится к () ≡ 0 по→∞мере на множестве = [0, 1]. С другой стороны,∫︁∫︁∀ () = 1,0 = 0,поэтому сходимости { ()} к () ≡ 0 в () нет. Однако при некоторых дополнительных условиях из сходимости по мере на всё-такиследует сходимость в (), что доказывает следующая теорема.Теорема 9 (теорема Лебега). Это теормеа 7. Если последовательность измеримых на множестве функций { ()} сходится к измеримой на функции () по мере на и существует интегрируемаяна множестве функция () такая, что для всех номеров и почтивсех точек множества справедливо неравенство | ()| 6 (), то последовательность { ()} сходится к функции () в ().Доказательство. В силу теоремы 6 параграфа 3 из последовательности{ ()} можно выделить подпоследовательность { ()} ( = 1, 2, .

. . ),сходящуюся к () почти всюду на . Тогда, переходя в неравенстве| ()| 6 () к пределу при → ∞, получим, что для почти всех точек справедливо неравенство | ()| 6 (). Значит, почти всюду на справедливо и неравенство () 6 (), а следовательно, в силу теоремы376 функция () интегрируема на множестве .Для произвольного > 0 положим = [| () − ()| > ].Тогда∫︁| () − ()| =∫︁∫︁| () − ()| +=| () − ()| 6∖∫︁2 () + ||.6Последовательность { ()} сходится к () по мере на , поэтому | | →0 при → ∞. Значит, в силу теоремы 8 для любого > 0⃒⃒⃒∫︁⃒⃒⃒⃒ ()⃒ < при → ∞,⃒⃒⃒⃒∫︀ () = 0. Второе слагаемое также можно устремить к∫︀0 в силу произвольности .

Характеристики

Список файлов лекций