Лекции Капустина (1134955), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Пусть — измеримое множествоконечной меры, функция () измерима и почти всюду конечна на множестве . Тогда для любого > 0 существует множество ⊂ такое,что | | > || − , а функция () такая, что () = () на ("сужение" функции () на множество ), является непрерывной на .// Добавил почти всюду конечность, так вроде бы правильнее.§4. Интеграл Лебега4.1.
Интеграл Лебега от ограниченной функции на измеримом множестве конечной меры| ()| 6 ,|| < +∞.21Назовем разбиением множества конечный набор его подмножеств, попарно не пересекающихся и составляющих его в объединении: ∩ = ∅, ̸= ;⋃︁ = { }=1 . = ;=1Рассмотрим на измеримом множестве конечной меры произвольнуюограниченную функцию (). Для произвольного разбиения = { }=1множества обозначим символами и соответственно точнуюверхнюю и точную нижнюю грани функции () на множестве : = inf ().
= sup (),∈∈Кроме того, определим верхнюю интегральную сумму и нижнююинтегральную сумму разбиения следующим образом: =∑︁ | |, =∑︁ | |.=1=1Очевидно, что 6 при любом разбиении .Для любой ограниченной на множестве конечной меры функции () как множество всех верхних интегральных сумм { }, так и множество всех нижних интегральных сумм { } (отвечающих всевозможнымразбиениям множества ) ограничено. Поэтому существует inf = ,который мы назовём верхним интегралом Лебега, и существует sup =, который мы назовём нижним интегралом Лебега.Определение 1. Если = = , то функция () называется интегрируемой по Лебегу на множестве .При этом называется интеграломЛебега от функции () по множеству и обозначается∫︁ = ().Разбиение * = {* }=1 будем называть измельчением разбиения ={ }=1 , если для любого номера , 1 6 6 , найдётся номер () такой, что 1 6⋃︀ () 6 и * ⊂ () .
При этом, очевидно, выполняетсяравенство* = .()=22Точная верхняя грань подмножества * ⊂ всегда не превосходитточную верхнюю грань всего множества , поэтому для всех номеров, для которых () = , справедливо неравенство * 6 . Применимэто неравенство: * =∑︁* |* |=1=∑︁∑︁* |* | 6=1 ()=6∑︁∑︁=1 ()= |* | =∑︁=1∑︁()=|* | =∑︁ | | = .=1Таким образом, выполняются неравенства * 6 , * > (доказательство второго неравенства проводится аналогично).Разбиение будем называть произведением множеств 1 и 2 , еслионо состоит из множеств, являющихся пересечениями всевозможных парэлементов 1 и 2 .Очевидно, что является измельчением 1 и 2 . Таким образом, длядвух произвольных разбиений 1 , 2 и их произведения справедливынеравенства 1 6 , 6 2 .
Кроме того, 6 . Из этих неравенствследует, что 1 6 6 6 2 , то есть 1 6 2 для любых двухпроизвольных разбиений 1 , 2 .Фиксируем произвольное разбиение 2 . Так как для любого разбиения 1 выполняется неравенство 1 6 2 , то 2 является одной изверхних граней множества {1 }, поэтому sup 1 = 6 2 . Но так как 6 2 для произвольного фиксированного нами разбиения 2 , то является одной из нижних граней множества {2 }, а это означает, чтоinf 2 = > .Итак, верхний и нижний интегралы Лебега связаны соотношением 6 .Теорема 1. Если функция () интегрируема по Риману на сегменте[; ], то она интегрируема по Лебегу на этом сегменте, причем интегралы Лебега и Римана от () совпадают.Доказательство. Римановское разбиение — частный случай разбиенияЛебега; точная верхняя грань подмножества не превосходит точной верхней грани всего множества, точная нижняя грань множества не превос23ходит точной нижней грани подмножества, поэтому 6 6 6 .Интегрируемость функции () по Риману означает, что = = .Из этого следует, что = = = = = .
Пример. Рассмотрим следующую функцию:{︃0, если ∈ Q ∩ [0; 1] () =1, если ∈ [0; 1] ∖ QОна не интегрируема по Риману на сегменте [0; 1], так как = 0, = 1.Разобьем сегмент [0; 1] на два множества:1 = Q ∩ [0; 1],2 = [0; 1] ∖ 1Тогда 1 = 1 = 0, 2 = 2 = 1. Поэтому⃒∑︀ = 2=1 | | = 1⃒⃒∑︀=> = 1. = 2=1 | | = 1 ⃒Таким образом, функция () не интегрируема по Риману на сегменте[0; 1], но является интегрируемой по Лебегу на этом же сегменте.Теорема 2. Любая ограниченная и измеримая на измеримом множестве конечной меры функция () интегрируема по Лебегу на этоммножестве.Доказательство.
Положим = inf (), = sup (). С помощьюточек = 0 < 1 < · · · < = разобьём сегмент [, ] на частичные полуинтервалы (−1 , ] ( = 2, 3, . . . , ) и сегмент [0 , 1 ] введёмобозначение = max ( − −1 ).166Разобьём множество на сегменты1 = [0 6 () 6 1 ], = [−1 < () 6 ], = 2, .Такое разбиение = { }=1 множества называется лебеговским разбиением . Верхняя и нижняя суммы и , соответствующие лебеговскому разбиению , называются лебеговскими верхней и нижней24суммой.Заметим, что для любого номера , 1 6 6 , справедливы неравенства−1 6 6 6 .Получаем, что0 6 − =∑︁( − )| | 6=1∑︁( − −1 )| | 6 ||.=1Для любого разбиения справедливы неравенства 6 6 6 ,поэтому0 6 − 6 − 6 ||.В силу произвольности > 0 из этого следует, что = = .Свойства интеграла Лебега:1.∫︁1 = ||.Для доказательства достаточно заметить, что при () ≡ 1 = = || для любого разбиения множества .2.
Если функция () ограничена и интегрируема на множестве конечной меры и — произвольное вещественное число, то и функция () интегрируема на множестве , причём∫︁∫︁ () = ().Доказательство. Для произвольного разбиения = { } множества обозначим верхнюю и нижнюю суммы функции () символами и , а верхнюю и нижнюю суммы функции () —()()символами и . Тогда{︃{︃ при > 0 при > 0()() =, =. при < 0 при < 025Обозначим через и верхний и нижний интегралы функции (),()и () верхний и нижний интегралы функции ().а через Тогда{︃{︃ при > 0 при > 0(), () =. = при < 0 при < 0Так как () интегрируема на , справедливо равенство∫︁ = = ().А это значит, что()=()∫︁= ().
3. Если функции 1 () и 2 () ограничены и интегрируемы по Лебегуна множестве конечной меры , то функция 1 () + 2 () интегрируема по Лебегу на множестве , причём∫︁∫︁∫︁[1 () + 2 ()] = 1 () + 2 ().Доказательство. Положим () = 1 () + 2 (). Пусть = { }— произвольное разбиение множества . Для функции () обозначим через и точные грани на множестве , через и — верхнюю и нижнюю суммы разбиения , через и — верхнийи нижний интеграл Лебега. Аналогичные величины для функций1 () и 2 () обозначим теми же символами, но с верхними индексами (1) и (2) соответственно.Заметим, что точная верхняя грань суммы не больше суммы точных верхних граней слагаемых, а точная нижняя грань суммы неменьше суммы точных нижних граней слагаемых. Поэтому для любого номера (1)(2)(1)(2) + 6 6 6 + .Значит, для любого разбиения (1)(2)(1)(2) + 6 6 6 + .26В свою очередь, это означает, что (1) + (2) 6 6 6 (1)+(2).В силу интегрируемости функций 1 () и 2 () на множестве ∫︁∫︁(1)(2)(1)(2) = = 1 (), = = 2 ().Из этого следует, что∫︁∫︁2 ().1 () +==Это и означает справедливость доказываемого свойства.4.
Если множество представимо в виде = 1 ∪ 2 , где 1 и 2— измеримые непересекающиеся множества конечной меры, функция () интегрируема по Лебегу на множествах 1 и 2 , то ()интегрируема по Лебегу и на множестве , причём∫︁∫︁∫︁ () = () + ().12Доказательство. Заметим, что объединение произвольного разбиения 1 множества 1 и произвольного разбиения 2 множества2 образует разбиение множества = 1 ∪ 2 .
Обозначим верхние суммы (), отвечающие разбиениям 1 , 2 и , соответственночерез 1 , 2 и , а нижние суммы (), отвечающие разбиениям1 , 2 и , соответственно через 1 , 2 и . Тогда = 1 + 2 , = 1 + 2 .Обозначим верхний и нижний интегралы функции () на множе(1)(2)стве 1 через и (1) , на множестве 2 — через и (2) , намножестве — через и . Тогда (1) + (2) 6 6 6 (1)+(2).В силу интегрируемости функции () на множествах 1 и 2∫︁∫︁(1)(2)(1)(2) = = (), = = ().1227Из этого следует, что∫︁∫︁ (). () +==21Это и означает справедливость доказываемого свойства.5. Если функции 1 () и 2 () ограничены и интегрируемы на множестве конечной меры , и почти всюду на 1 () > 2 (), то∫︁∫︁1 () > 2 ().Доказательство.
При любом разбиении множества нижняяинтегральная сумма функции () = 1 () − 2 () будет неотрицательна, поэтому > 0. В силу свойств 2 и 3 функция () интегрируема на , причём∫︁∫︁∫︁ () = 1 () − 2 ().Получаем, что∫︁∫︁1 () −2 () > 0,что и означает справедливость доказываемого свойства.4.2.
Интеграл Лебега от неотрицательной измеримойфункции на измеримом множестве конечной меры|| 6 +∞, () > 0Для любого > 0 положим{︃ (), если () 6 () = {, ()} =.,если () > Функция () называется срезкой функции ().
Заметим, что для любой измеримой на множестве функции () её срезка также будет измеримой, поскольку для любого вещественного является измеримым28множество{︃[ () > ] при < [ () > ] =.∅при > Поэтому для любой измеримой на множестве функции () существует интеграл∫︁ (). =Определение 2. Если существует конечный предел = lim , то →∞функция () называется интегрируемой по Лебегу на множестве конечной меры , а указанный предел называется интегралом от функции () по множеству и обозначается∫︁ = lim = ().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
