Лекции Капустина (1134955), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Таким образом, () измерима навсех , поэтому она измерима и на 2 . Свойство доказано. Замечание. Эквивалентность () на множестве некоторой непрерывной функции следует отличать от непрерывности () почтивсюду на . Например, функция Дирихле{︃1, если ∈ Q() =0, если ∈/Qразрывна в каждой точке, но эквивалентна на сегменте [0; 1] непрерывной функции () ≡ 0 (поскольку на этом сегменте () ̸= ()только на множестве рациональных точек, которое счётно и потомуимеет меру 0) и, следовательно, является измеримой на [0; 1].Теорема 1. Пусть функция () измерима на множестве . Тогдафункции | ()|, · (), () + (где c = const) также измеримы на .Множество [ () > ()] измеримо в том случае, если () — измеримая функция.Доказательство.1) Достаточно рассмотреть следующие соотношения, выполняющиесядля любого вещественного :{︃[ () > ] ∪ [ () 6 −], если > 0[| ()| > ] =,если < 0[ () + > ] = [ () > − ],{︃[ () > ], если > 0[ · () > ] =[ () 6 ], если < 015Из них следует, что [| ()| > ] и [ ()+ > ] являются измеримымимножествами, множество [ · () > ] измеримо при ̸= 0, поэтому соответствующие функции измеримы на (при = 0 функция · () ≡ 0и также является измеримой).2) Занумеруем все рациональные числа действительной оси, тогда⋃︁[ () > ()] = ([ () > ] ∩ [() < ]).Поэтому в случае измеримости функции () множество [ () > ()]также будет являться измеримым.

Теорема 2. Пусть функции () и () измеримы на множестве . ()(при () ̸= 0) также измеТогда функции () ± (), () · (),()римы на множестве .Доказательство. Рассмотрим следующее соотношение:[ () ± () > ] = [ () > ∓() + ].В силу теоремы 1 из него следует, что функции () ± () измеримы намножестве .{︃√[| ()| > ], если > 02[ () > ] =,если < 0Из этого неравенства вытекает, что функция 2 () является измеримойна .1 () · () = [( () + ())2 − ( () − ())2 ]4Так как измеримость квадрата измеримой функции только что была доказана, функция () · () также измерима на .Если ̸= 0, то⎧1⎪⎨[() > 0] ∩ [() < ], если > 01[> ] = [() > 0],если = 0⎪()⎩1[() > 0] ∪ [() < ], если < 0Из этих соотношений вытекает измеримость функции () ·1 ()=также является измеримой на .()()161⇒ функция()Теорема 3.

Пусть E — измеримое множество, на котором определенапоследовательность измеримых функций (). Тогда () = lim ()→∞и () = lim () этой последовательности — измеримые функции.→∞Доказательство. Рассмотрим функции() = inf (),() = sup ().Они являются измеримыми на множестве , так как[() < ] =∞⋃︁[ () < ],=1[() > ] =∞⋃︁[ () > ].=1Теперь представим функции () и () в виде () = sup{inf ()}, () = inf {sup ()}.>1 >>1 >В силу измеримости функций () и () функции () и () такжеявляются измеримыми на . Теорема 4.

Пусть — измеримое множество, и на нем определенапоследовательность измеримых функций { ()}. Пусть { ()} почтивсюду сходится к функции (). Тогда () измерима на .Доказательство. Пусть { ()} сходится к () на всюду, кроме множества 0 меры 0. Получаем, что () измерима на множестве ∖ 0(в силу теоремы 3, поскольку на ∖ 0 функция () = lim () =→∞lim () = lim ()) и измерима на множестве 0 , так как оно имеет→∞→∞меру 0. Следовательно, () измерима на ( ∖ 0 ) ∪ 0 = .Определение 4. Пусть — измеримое множество, () ( = 1, 2, .

. . ), () — измеримые, почти всюду конечные на множестве функции. Говорят, что последовательность { ()} сходится к () по мере на множестве , если для любого > 0lim |[| () − ()| > ]| = 0,→∞то есть если для любых > 0, > 0 найдётся номер = (, ) такой,что при любом номере > справедливо неравенство|[| () − ()| > ]| < .17Теорема 5 (теорема Лебега). Пусть — измеримое множествоконечной меры, функции () ( = 1, 2, . . . ) и () измеримы и почтивсюду конечны на . Тогда из сходимости последовательности { ()} к () почти всюду на вытекает сходимость { ()} к () по мере намножестве .Доказательство. Рассмотрим множества = [| ()| = +∞], = [| ()| = +∞], = ∖ [ lim () = ()],→∞ =∪∪∞⋃︁ .=1Тогда по условию теоремы || = 0 и всюду на множестве ∖ последовательность { ()} сходится к (), а все функции () и () имеютконечные значения.Фиксируем произвольное .

Рассмотрим множества = [| () − ()| > ], =∞⋃︁ ,=∞⋂︁ .=1=Поскольку ⊂ , справедливо неравенство | | 6 | |, и для доказательства теоремы достаточно доказать, что | | → 0 при → ∞.Сначала докажем, что | | → || при → ∞. По построению +1 ⊂ для каждого номера , поэтому для любого ∖ =∞⋃︁( ∖ +1 ).=Заметим, что суммируемые множества попарно не пересекаются.

Поэтому для каждого ∞∑︁| ∖ | =| ∖ +1 |.=В силу того, что множество имеет конечную меру, | ∖ | < ∞. Поэтому ряд∞∑︁|1 ∖ | =| ∖ +1 |=118сходится, а его остаток | ∖ | → 0 при → ∞. В силу того, что = ( ∖ ) ∪ , выполняется равенство | | = | ∖ | + ||. Поскольку | ∖ | → 0 при → ∞, то | | → || при → ∞. Теперь длядоказательства теоремы достаточно доказать, что || = 0. В силу того,что || = 0, достаточно доказать, что ⊂ .Пусть 0 — любая точка, не принадлежащая . Тогда для произвольного фискированного нами > 0 найдётся номер = (0 , ) такой, чтопри любом > верно неравенство | (0 ) − (0 )| < . Это означает,что при > точка 0 ∈/ ⇒ при > точка 0 ∈/ ⇒ точка0 ∈/ .Итак, любая точка, не принадлежащая , не принадлежит и .

Этоозначает, что { ⊂ {. Следовательно, ⊂ . Теорема доказана. Замечание 1. Ключевым в теореме Лебега является ограничениеконечности меры множества . На множестве бесконечной меры из сходимости почти всюду сходимость по мере, вообще говоря, не следует.Пример:{︃1, если ∈ [, + 1] () =0 иначеПолучаем, что1 () → () = 0 на R, но при этом |[| () − 0| > ]| = 1.2Замечание 2.

Из сходимости по мере, вообще говоря, не следует сходимость почти всюду. Например, рассмотрим такую систему сегментов:1 = [0; 1]]︂[︂]︂112 = 0;, 3 = ; 122[︂]︂[︂]︂[︂]︂[︂]︂11 11 334 = 0;, 5 = ;, 6 = ;, 7 = ; 1 и так далее.44 22 44[︂Определим на сегменте [0; 1] последовательность функций { ()}, где{︃1, если ∈ () =0 если ∈ [0; 1] ∖ Получаем, что последовательность { ()} расходится в каждой точкесегмента [0; 1], но при этом сходится к функции () ≡ 0 по мере на этом19же сегменте.Теорема 6 (теорема Рисса). Пусть E — измеримое множество конечной меры, функции () ( = 1, 2, . . .

) и () измеримы и почтивсюду конечны на . Тогда, если последовательность { ()} сходится к () по мере на множестве , то из неё можно выделить подпоследовательность { ()}, сходящуюся к () почти всюду на множестве .Доказательство. Не ограничивая общности, можем считать, что функции () и () принимают конечные значения всюду на множестве (если это не так, то мы можем, как в доказательстве теоремы 5, исключить из рассмотрения множество меры 0, где эти функции не конечны).Последовательность { ()} сходится к () по мере на множестве, поэтому для любого номера ∈ N найдётся номер такой, что1для меры множества = [| − ()| > ] справедливо неравенство∞∞∞⋂︀∑︀⋃︀1| | < , = .

Тогда | | 6| | < . Положим =2=1==∞ 1∑︀16 −1 . Таким образом, | | → 0 при → ∞. Как и в теореме 5,2= 2доказываем, что | | → || при → ∞. Тем самым мы получаем, что|| = 0.Докажем, что подпоследовательность { ()} сходится к () всюдуна множестве ∖ . Пусть — произвольная точка ∖ . Тогда непринадлежит при некотором = (). Но это означает, что непринадлежит множеству при всех > (). Таким образом, для всех1 > () | ()− ()| < , то есть подпоследовательность { ()} сходится к (). Теорема 7. Пусть E — измеримое множество конечной меры, функции () ( = 1, 2, .

. . ), () и () измеримы и почти всюду конечнына , последовательность { ()} сходится к () и к () по мере на .Тогда () и () эквивалентны.Доказательство. Тогда в силу соотношения∀ > 0 [| () − ()| > ] ⊂(︂ [︁)︂[︁ ]︁ ]︁⊂ | () − ()| >∪ | () − ()| >,2220для любого > 0 справедливо неравенство|[| () − ()| > ]| 6⃒ [︁ ]︁⃒⃒ ⃒⃒ [︁ ]︁⃒⃒⃒6 ⃒ | () − ()| > ⃒ + ⃒ | () − ()| > ⃒ → 0.22Следовательно,∀ > 0|[| () − ()| > ]| = 0.Далее, из соотношения∞⋃︁[︂1[ () ̸= ()] = | () − ()| >=1]︂следует, что]︂⃒∞ ⃒ [︂∑︁⃒1 ⃒⃒⃒|[ () ̸= ()]| 6⃒ | () − ()| > ⃒ .=1Все суммируемые нормы в правой части равенства равны 0, поэтому|[ () ̸= ()]| = 0, а это означает, что функции () и () эквивалентны.

Теорема 8 (теорема Егорова). Пусть — измеримое множествоконечной меры, функции () ( = 1, 2, . . . ) и () измеримы и почтивсюду конечны на , последовательность { ()} сходится к () почтивсюду на . Тогда для любого > 0 существует такое измеримое множество ⊂ , что | | > || − и на множестве последовательность{ ()} сходится к () равномерно.Теорема 9 (теорема Лузина).

Характеристики

Список файлов лекций