Лекции Капустина (1134955), страница 2
Текст из файла (страница 2)
По свойству 4 внешней меры ∀ > 0 ∃ — открытое, такое что ⊂ , ||* <| |* + . Множество — замкнутое, поэтому множество ( ∖ ) является открытым.А это значит, что оно представимо в виде суммы⋃︀Δпопарноне пересекающихся интервалов Δ .∖ = ∞=1Для любого Δ = (, ) за Δ будем обозначать интервал Δ = ( +,, −), а за Δ — сегмент Δ = [+, −] (имеется в виду, что < −2в противном случае получаем пустые множества). Для каждого номера⋃︀⋃︀⋃︀ определим множества =Δ , =Δ и =Δ .=1=1=1Так как ∀ > 0 и для всех множество не имеет общих точек смножеством , то в силу свойства 3 внешней меры| ∪ |* = | |* + | |* .8Кроме того, ∀ > 0 и для всех множество ∪ содержится в ,поэтому| ∪ |* 6 ||* .Получаем, что| |* + | |* 6 ||* < | |* + .Так как мы рассматриваем случай ограниченного , то | |* < ∞. Такимобразом, | |* < (∀ > 0 и для всех ).
Последовательно переходяв этом неравенстве к пределу при → 0 + 0 и → ∞, получим, что∞⋃︀| ∖ |* =|Δ | 6 . А это означает, что измеримо.=1б) Если множество не является ограниченным, то мы можем пред∞⋃︀ставить его в виде суммы = , где = ∩[−; ]. — замкнутое=1⇒ множество ∩ [−; ] тоже является замкнутым. Получаем, что каждое замкнуто и ограничено, а значит, и измеримо в силу пункта а).Но тогда и само множество тоже является измеримым по теореме 2.Таким образом, теорема полностью доказана. Теорема 4. Если множество измеримо, то и его дополнение {измеримо.Доказательство.
По определению измеримости ∀ ∈ R, > 0 найдёт1ся открытое множество , содержащее и такое, что | ∖ |* < .Тогда = { — замкнутое множество.Заметим, что ∀, ∀ ∖ = { ∖{. Поэтому { ∖ = { ∖{ = ∖ . А это значит, что| ∖ |* = | ∖ |* <Рассмотрим множество =∞⋃︀1. . Так как {∖ ⊂ {∖ , то |{∖ |* 6=11|{ ∖ | < . Поскольку это верно для любого , то |{ ∖ |* = 0, а,следовательно, это множество измеримо и |{ ∖ | = 0.// !!!*Получаем, что { = ({ ∖ ) ∪ . Множество ({ ∖ ) измеримо,множество также измеримо в силу теорем 2 и 3. Следовательно, {является измеримым множеством.
9Следствие. Для того, чтобы множество было измеримо, необходимо и достаточно, чтобы для ∀ > 0 нашлось замкнутое множество ⊂ такое, что | ∖ |* < .Доказательство. Из теоремы следует, что измеримость множества эквивалентна измеримости множества {, то есть эквивалентна требованию∀ > 0 ∃ — открытое, ⊃ {, | ∖ {|* < .В силу того, что {1 ∖ {2 ≡ 2 ∖ 1 , это эквивалентно требованию∀ > 0 ∃ = { — замкнутое, ⊂ , |∖ |* = |{ ∖{|* = |∖{|* < ,a это выполняется по условию следствия.Теорема 5. Пересечение конечного или счётного числа измеримыхмножеств измеримо.Доказательство.
Пусть даны измеримые множества 1 , 2 , . . . , их пе∞∞⋂︀⋃︀ресечение — = . Тогда верно равенство { ={ , а, следо=1∞⋃︀вательно, и равенство = {(теореме 4 ⇒ по теореме 2={∞⋃︀∞⋃︀=1{ ). Для любого { измеримо по=1{ измеримо ⇒ по теореме 4 измеримо=1{ .=1Теорема 6. Если множества и измеримы, то множество ∖ также измеримо.Доказательство. Вытекает из теорем 4, 5 и тождества ∖ ≡ ∩ {.Теорема 7 (-аддитивность меры). Пусть измеримое множество представимо в виде конечного или счётного объединения попарно непересекающихся измеримых множеств.
Тогда его мера равна сумме мерэтих множеств.// !!! Доказательство.а) Сначала рассмотрим случай, когда все ограничены.По следствию из теоремы 4 для любого > 0 и для каждого номера найдётся замкнутое множество ⊂ такое, что | ∖ | < (все2фигурирующие в доказательстве множества измеримы, поэтому вместовнешней меры будем писать просто меру). Все множества ограничены, замкнуты и попарно не пересекаются. Более того, из-за замкнутости10расстояние между ними больше 0. Поэтому в силу свойства 3 внешнеймеры для любого конечного выполняется равенство⃒⃒⃒ ⋃︁ ⃒ ∑︁⃒⃒| |.⃒ ⃒ =⃒⃒=1=1Так как сумма всех множеств содержится в , то для любого номера⃒⃒⃒ ⋃︁⃒∑︁⃒⃒| | = ⃒ ⃒ 6 ||.⃒⃒=1=1С другой стороны, = ( ∖ ) ∪ , поэтому | | 6 | ∖ | + | | <| | + .
Получаем, что2∑︁| | <=1∑︁| | + 6 || + .=1Перейдём в этом неравенстве к пределу при → ∞, → 0. Получаем,что∞∑︁| | 6 ||.=1С другой стороны,∞⋃︀ = , поэтому в силу свойства 2 внешней меры=1∞∑︁| | > ||.=1Из двух последних неравенств следует, чтовалось доказать.∞∑︀| | = ||, а это и требо-=1б) Пусть теперь множества не обязательно являются ограниченными. Тогда введём в рассмотрение множества = ∩ ( − 1 6 || < ),которые будут являться ограниченными.Так как =∞ ∑︀∞∑︀ , то=1 =1|| =∞ ∑︁∞∑︁| | ==1 =1∞∑︁=111| |.Таким образом, теорема полностью доказана.Определение 3. Множество называется множеством типа ,если оно представимо в виде пересечения счётного числа открытых мно∞⋂︀жеств ( = ), и множеством типа , если представимо в=1∞⋃︀виде объединения счётного числа замкнутых множеств ( = ).=1Теорема 8. Для любого измеримого множества существует множество 1 типа и множество 2 типа такие, что 1 ⊃ ⊃ 2 и|1 | = || = |2 |.Доказательство.
В силу измеримости и следствия из теоремы 4 длялюбого номера ∈ N ∃ ⊃ , ∃ ⊂ такие, что| ∖ | <Положим 1 =∞⋂︀ , 2 ==1∞⋃︀1,| ∖ | <1. . Так как для любого номера =11 ∖ ⊂ ∖ , ∖ 2 ⊂ ∖ ,то верны неравенства|1 ∖ | <1,| ∖ 2 | <1.В силу произвольности это означает, что |1 ∖ | = 0 и | ∖ 2 | = 0, а,значит, |1 | = || = |2 |. // !!! ⊂ 1 ⊂ , значит || 6 |1 | 6 | | = |( ∖)∪| = | ∖|+|| <1+||Пример неизмеримого множества.Рассмотрим единичную окружность.Выберем > 0.Φ — множество всех точек, которые можно совместить друг с другомповоротом на Π, содержащее точку . В этом классе счетное число точек.
Выберем такое множество , что для любых двух 1 , 2 ∈ классыне совпадают (Φ1 ̸= Φ2 ).Φ0 содержит по одной точке из каждого класса Φ . Поскольку имеет мощность континуум, то Φ0 тоже имеет мощность континуум.12∞⋃︀Очевидно, что вся окружность представима как =Φ , где=−∞Φ — поворот множества Φ0 на Π.Если Φ0 измеримо, то2Π = || = |∞⋃︁Φ | ==−∞∞∑︁|Φ | ==−∞∞∑︁|Φ0 |=−∞что приводит нас к противоречию. // !!!§3. Измеримые функцииОбозначим символом [ () > ] множество[ () > ] = { ∈ : () > }.В дальнейшем мы рассматриваем только функции, определённые на измеримых множествах, и допускаем, что они могут принимать значения−∞, +∞.Определение 1.
Функция (), определенная на измеримом множестве , называется измеримой на , если ∀ ∈ R [ () > ] — измеримое множество.Свойства измеримых функций:1. Для того, чтобы функция () была измеримой на множестве ,необходимо и достаточно, чтобы при любом ∈ R одно из множеств[ () > ],[ () 6 ],[ () < ]было измеримо.Доказательство.Тот факт, что измеримость ∀ ∈ R множества [ () > ] являетсянеобходимым и достаточным условием измеримости функции ()на множестве , следует из следующих соотношений:[ () > ] =∞⋃︁[ () > +1],[ () > −1].=1[ () > ] =∞⋂︁=113Тот факт, что измеримость ∀ ∈ R множества [ () 6 ] являетсянеобходимым и достаточным условием измеримости функции ()на множестве , следует из соотношения[ () 6 ] = ∖ [ () > ].Тот факт, что измеримость ∀ ∈ R множества [ () < ] являетсянеобходимым и достаточным условием измеримости функции ()на множестве , следует из соотношения[ () < ] = ∖ [ () > ].
2. Если функция () измерима на множестве , то она измерима ина любом измеримом подмножестве 1 ⊂ .Доказательство. Это непосредственно следует из тождества1 [ () > ] ≡ [ () > ] ∩ 1 .3. Если функция () измерима на множестве (при всех номерах∞⋃︀), то она измерима и на их объединении = .=1Доказательство. Это непосредственно следует из тождества[ () > ] =∞⋃︁ [ () > ].=14. Любая функция измерима на множестве меры 0 (так как любоеподмножество меры 0 имеет меру 0 и измеримо).Определение 2. Функции () и () называются эквивалентными на множестве , если |[ () ̸= ()]| = 0.5.
Если () измерима на множестве , то и любая эквивалентная ейна функция () измерима на .Доказательство. Рассмотрим множества 0 = [ () ̸= ()] и1 = ∖ 0 . В силу свойства 2 () измерима на 1 , () = () на1 ⇒ () измерима на 1 . С другой стороны, по свойству 4 ()измерима на 0 , так как это множество имеет меру 0 (в силу эквивалентности () и ()). Получаем, что () измерима на всём (в силу свойства 3). Определение 3. Говорят, что какое-то свойство выполняется почти всюду на множестве , если множество точек, на которых этосвойство не выполняется, имеет меру 0.146. Если функция () непрерывна почти всюду на измеримом множестве , то она измерима на этом множестве.Доказательство. Обозначим через ⊂ подмножество всех точек разрыва ().
Поскольку () непрерывна на почти всюду, имеет меру 0. Поэтому в силу свойств 3 и 4 достаточно доказать измеримость () на множестве 1 = ∖ . В силу теоремы 8S2 существует множество 2 типа , содержащееся в 1 и такое,что |2 | = |1 | = ||. Опять же, в силу свойств 3 и 4 достаточнодоказать, что () измерима на множестве 2 . Но 2 является множеством типа , поэтому оно представимо в виде счётной суммызамкнутых множеств . На каждом из функция () являетсянепрерывной ⇒ при любом вещественном множество [ () > ]замкнуто, а значит, и измеримо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
