Лекции Капустина (1134955), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Следовательно, 0 ∈ и ∃ ∈ ,+1 = 0 .Тогда справедлива цепочка равенств = −1 0 ,−1 = −2 0 ,..., = 0 .Получили 0 ∈ 1 , что противоречит изначальному предположению0 ∈ ∖ 1 . Замечание. Аналогично доказывается, что ker * = 0 ⇒ Im * = .Лемма 5. Если образ оператора совпадает со всем пространством,его ядро содержит только нулевой элемент:Im = ⇒ker = 0.Доказательство.

По лемме 2 представимо в виде = Im ⊕ ker * .Из этого разложения следует, что ker * = 0. Cледовательно, по лемме 4Im * = . С другой стороны, представимо в виде = Im * ⊕ ker ,откуда следует, что ker = 0.Теорема 2 (вторая теорема Фредгольма, альтернатива Фредгольма). Либо операторное уравнение = разрешимо при любой107правой части, либо соответствующее однородное уравнение = 0 имеет нетривиальное решение.Доказательство. Допустим, что уравнение = разрешимо при любой правой части. Это означает, что Im = , и по лемме 5 ker = 0.То есть однородное уравнение имеет только тривиальное решение.Если же уравнение = разрешимо не для всех , то Im ̸= .Следовательно, ker ̸= 0 и однородное уравнение имеет нетривиальноерешение.

Теорема 3 (третья теорема Фредгольма). Размерности ядра оператора и сопряженного оператора * конечны и равны:dim ker = dim ker * < +∞.Доказательство. Обозначимdim ker * = .dim ker = ,Если = +∞, то в ker можно выбрать счетный ортонормированныйбазиз { }. Но тогда√ = для любого и ‖ − ‖ = ‖ − ‖ = 2,то есть из { } нельзя выбрать сходящейся подпоследовательности. Этопротиворечит компактности оператора .Аналогичным образом доказывается, что < +∞.Предположим теперь, что > .

Выберем в ker ортонормированный базис { }, а в ker * — ортонормированный базис { }.Рассмотрим следующий оператор: = −∑︁(, ) .=1Он будет являться вполне непрерывным. Если = 0, то∑︁(, ) =(, )( , ) = (, ) = 0.=1108Из последнего соотношения получаем, что все коэффициенты Фурье разложения элемента по базису { } равны нулю, поэтому = 0 и одновременно выполнено ⊥ ker и ∈ ker . Следовательно, = 0.Таким образом, если = 0, то = 0. По второй теореме Фредгольмав этом случае существует решение уравнения = −∑︁(, ) = +1 .=1Умножив скалярно обе части на +1 , получим 0 = 1 (так как ker * =(Im )⊥ и в силу того, что { } — ортонормированная система).

Следовательно, 6 .Аналогичным образом рассматривая случай > , получим 6 .Следовательно, = . §14. Спектральная теория в бесконечномерном пространстве.Рассмотрим линейный ограниченный оператор , действующий из линейного нормированного пространства в линейное нормированное пространство : ∈ ( → ). Если ∈ ( → ), то для произвольного ∈ C можем определить оператор − .Определение 1. Число ∈ C называется регулярным значениемоператора , если оператор = ( − )−1 определен на всем пространстве и является ограниченным: // !!! Или здесь "если выполнены следующие условия то лямбда — регулярное значение A"?∙ ker( − ) = {0} (иначе не существует обратного)∙ Im( − ) = (чтобы действовал на всем пространстве)∙ ‖( − )−1 ‖ < +∞Если — банахово, то из ограниченности по теореме Банаха будетследовать ограниченность оператора .109Определение.

Резольвентой называется (, ) = ( − )−1 .Определение 2. Множество всех регулярных значений оператора называется резольвентным множеством оператора :Определение 3. Спектром оператора называется множество всехкомплексных чисел, не являющихся регулярными значениями :() = C ∖ ().Определение 4. Если ker( − ) ̸= {0}, то называется собственным значением оператора .Элемент ̸= 0, ∈ ker( − ) называется в таком случае собственным элементом оператора .В конечномерном пространстве спектр состоит из собственных значений. Спектр в бесконечномерном пространстве может состоять не толькоиз собственных значений. В доказательство можно привести следующийПример.

Рассмотрим оператор (()) = (), действующий в пространстве [0; 1]. Для него верны следующие соотношения:( − )() = ( − )();().−Допустим, () ∈ ker( − ), тогда ( − )() ≡ 0. Cледовательно,() ≡ 0. Это означает, что у оператора нет ни одного собственногозначения.( − )−1 () =Посмотрим на спектр оператора . Если оператор ( − )−1 существует, то он имеет вид, указанный выше. Поэтому при любых ∈R ∖ [0; 1] он определен на всем пространстве. Следовательно, спектромоператора является отрезок () = [0; 1]. При этом, как уже было показано выше, не имеет ни одного собственного значения.

По определению спектра, если резольвентное множество открыто, тоспектр будет являться замкнутым множеством.Теорема 1 (Гильберта - Шмидта). Пусть — самосопряженныйоператор, действующий в гильбертовом пространстве .110Если является вполне непрерывным, то любой элемент ∈ Im представим в виде∑︁=(, ) , ̸=0где { } — собственные значения оператора , а { } — соответствующиеим собственные элементы.111.

Характеристики

Список файлов лекций