Лекции Капустина (1134955), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Линейный оператор, действующий из линейногонормированного пространства в линейное нормированное пространство , называется компактным, если он любое ограниченное множество переводит в предкомпактное.Определение. Линейный оператор, действующий из линейного нормированного пространства в линейное нормированное пространство , называется вполне непрерывным, если он любую слабо сходящуюсяпоследовательность переводит в сильно сходящуюся.// !!! не вычитывал следующие свойства и стер их нафигВ банаховом пространтсве компактность равносильна предкомпактности.Лемма 1. Если последовательность { } в банаховом пространстве является слабо сходящейся и компактной, то она является сильно сходящейся.Доказательство.

Пусть последовательность { } слабо сходится к ∈. Предположим, она не является сильно сходящейся, тогда найдутсятакие > 0 и подпоследовательность { }, что для любого номера будет верно‖ − ‖ > .Так как исходная последовательность компактна, из последовательности{ } можно выделить сильно сходящуюся подпоследовательность → .Из сильной сходимости вытекает слабая:сл. −→ .Но если слабый предел существует, то он определен однозначно; следовательно, = . Тогда, с одной стороны, → ,а с другой стороны,‖ − ‖ > ,Получили противоречие.101∀ .Лемма 2. Пусть и — банаховы пространства, — компактныйоператор, действующий из в .

Тогда он любую слабо сходящуюсяпоследовательность переводит в сильно сходящуюся последовательность(то есть является вполне непрерывным)Доказательство. Пусть последовательность { } элементов пространства слабо сходится к ∈ . Рассмотрим произвольный линейныйфункционал () ∈ * :() = (), ∈ * .По определению слабой сходимости( ) → ()⇒сл. −→ .Последовательность { } ограничена в силу слабой сходимости, поэтому оператор переводит ее в предкомпактную последовательность{ }. Тогда { } — предкомпактная и сходится слабо в банаховомпространстве ⇒ по лемме 1 она является сильно сходящейся.

Таким образом, компактный оператор является вполне непрерывнымв банаховом пространстве. Вполне непрервный оператор в банаховомпространстве переводит ограниченную последовательность в ограниченную последовательность. // !!!Лемма 3. Пусть — вполне непрерывный оператор, действующийиз в , где — сепарабельное гильбертово пространство. Тогда сопряженный оператор * также вполне непрерывен.Доказательство. Пусть последовательность { } элементов пространства слабо сходится к ∈ . Тогда справедливы следующие соотношения:‖* ( − )‖2 = (* − * , * − * ) == ( − , * ( − )) 6 ‖ − ‖‖* ( − )‖.Последовательность { } сходится слабо, поэтому она ограничена. Следовательно, ‖ − ‖ 6 для некоторого > 0.Так как вполне непрерывен, он ограничен:⃦⃦⃦ ⃦⃦⃦⃦ ‖‖ ⃦ 6 ⇒ ‖‖ 6 ‖‖, ∀ ̸= 0(образ ограниченного множества является компактом, следовательно, онявляется ограниченным множеством.) Тогда * является ограниченным102(по теореме 1 параграфа 11), а * — вполне непрерывным оператором(как произведение вполне непрерывного и ограниченного).

Следовательно,‖* ( − )‖ → 0, → ∞.Поэтому ‖* − * ‖ → 0, → ∞. Таким образом, оператор * любуюслабо сходящуюся последовательность переводит в сильно сходящуюся.Для любого ограниченного множества ⊂ рассмотрим его образ ′ при действии оператора * : ′ = { ∈ | = * , ∈ }.Произвольная последовательность элементов множества ′ имеет вид{* }.

Последовательность { } ограничена, и по теореме 7 параграфа 10 из нее можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность{ }, которую оператор * переводит в {* } - сильно сходящуюсяпоследовательность. Таким образом, из любой последовательности элементов ′ можно выделить сильно сходящуюся подпоследовательность,но тогда ′ — компактное множество по определению, и * являетсянепрерывным оператором. Так как мы рассматриваем гильбертово пространство, * является и вполне непрерывным. §13. Теория Фредгольма.Ранее (см. параграф 6) с помощью аппарата сжатых отображений доказывалось утверждение о существовании и единственности решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода∫︁() = (, )() + (), (, ) ∈ 2 ((; ) × (; )), () ∈ 2 (; )при достаточно малых значениях . Однако в случае∫︁() − (, )() = ()этот метод не дает результата.

Нужен другой подход.103Пусть — вполне непрерывный оператор, действующий в гильбертовом пространстве . Будем искать решения уравнения = , = − , ∈ , ∈ .Очевидно, * = − * .Лемма 1. Im = Im .Доказательство. Пусть есть последовательность { }, сходящаяся кнекоторому элементу пространства: ∈ Im , → , → ∞.Надо доказать, что ∈ Im . Заметим также, что = − = ,и рассмотрим последовательность { }.Если существует подпоследовательность { } такая, что ∈ ker для любого , то в силу замкнутости ядра = = 0 → = 0 ∈ Im .Поэтому мы можем считать, что, начиная с некоторого номера , все ортогональны ядру .

Таким образом, достаточно рассмотреть последовательность { }, в которой∀ ⊥ ker .Докажем, что последовательность { } ограничена, то есть ‖ ‖ 6 для некоторого положительного . Допустим, что это неверно; тогдаможно выделить подпоследовательность, стремящуюся к бесконечности:‖′ ‖ → ∞. В этом случае‖′ − ′ ‖‖′ ‖=→ 0 при → ∞,‖′ ‖‖′ ‖поскольку все ‖′ ‖ ограничены (так как последовательность {′ } сходится). — вполне непрерывный оператор, поэтому ограниченную последо′′вательность ′ он переводит в компактную ′ , в которой существу‖ ‖‖ ‖′′ет сходящаяся подпоследовательность ′′ .

Так как последовательности‖ ‖′′ − ′′,‖′′ ‖104′′‖′′ ‖сходятся, то будет сходиться и последовательность′′:‖′′‖′′→ при → ∞.‖′′ ‖ =При этом ‖ ‖ = 1 для любого , поэтому ‖‖ = 1. По определениюпоследовательности { } → 0, ⊥ ker ,но в силу непрерывности → , → ∞.Поэтому = 0 и ∈ ker , но по построению ⊥ ker (так как (ker )⊥замкнуто), откуда = 0.

Получили противоречие с ‖‖ = 1.Полученное противоречие доказывает, что { } ограничена. Следовательно, переводит ее в компактную, из которой можно выделитьсходящуюся подпоследовательность ˜ . Но последовательность˜ = ˜ − ˜также сходится как подпоследовательность сходящейся { }. Поэтомупоследовательность ˜ сходится к некоторому элементу ∈ , но тогдав силу непрерывности оператора верно ˜ → , → ∞.

Получаем, что = − = . Лемма 2. Пространство разложимо в прямую сумму = Im ⊕ ker * .Замечание. Или, что то же самое, = Im * ⊕ .Доказательство следует из леммы 1 и теоремы 2 параграфа 11, в силукоторой = Im ⊕ ker *для любого линейного ограниченного оператора .105Теорема 1 (первая теорема Фредгольма). Для того, чтобы операторное уравнение = было разрешимо, необходимо и достаточно,чтобы был ортогонален ядру сопряженного оператора: ⊥ , * = 0 ∀.Доказательство. Данное утверждение является прямым следствиемлеммы 2.

ОбозначимIm = 1 , . . . , Im = .Очевидно, выполнено соотношение = 0 ⊇ 1 ⊇ . . ..Лемма 2. Существует такой номер , что = −1 .Доказательство. Предположим, что такого номера не существует.По лемме 1 образ оператора — замкнутое множество, поэтому оноявляется подпространством. Применим теорему Леви: = 1 ⊕ ( 1 )⊥ .Тогда существует элемент 1 ∈ ( 1 )⊥ такой, что ‖1 ‖ = 1 (иначе = 1 , = 1). Применим теорему Леви для 1 : 1 = 2 ⊕ ( 2 )⊥ .Аналогично предыдущему случаю, существует элемент 2 ∈ ( 2 )⊥ , ‖2 ‖ =1, причем 1 ⊥ 2 .Так как по предположению не существует номера , при котором наступает стабилизация, продолжая этот процесс по всем , = 1, 2, .

. .,получим счетную ортонормированную систему.Рассмотрим теперь два элемента полученной системы и , где > . Справедливо равенство − = − − + ,из которого следует, что − = − −( − ), ∈ ( +1 )⊥ , − −( − ) ∈ +1 .Это означает, что‖ − ‖2 = ‖ ‖2 + ‖ − − ( − )‖2 > ‖ ‖2 = 1,106поэтому из последовательности { } нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность. Но это противоречит тому, что является вполненепрерывным оператором. Полученное противоречие доказывает требуемое утверждение.

Лемма 4. Если ядро оператора не содержит отличного от нуляэлемента, то его образ совпадает со всем пространством:ker = 0⇒Im = .Доказательство. Предположим обратное. Пусть Im = 1 ̸= , тогдасуществует элемент 0 ∈ ∖ 1 . По лемме 3, существует номер , такойчто = +1 .

Характеристики

Список файлов лекций